Radykalne rozszerzenie

W matematyce , a dokładniej w teorii pola , radykalne rozszerzenie pola K jest rozszerzeniem K , które uzyskuje się przez dołączenie sekwencji n -tych pierwiastków elementów.

Definicja

Proste radykalne $rozszerzenie$ to $b$ rozszerzenie fa / K pojedynczy element spełniający element K _ _ W charakterystyce p przyjmujemy również rozszerzenie o pierwiastek wielomianu Artina-Schreiera jako proste rozszerzenie radykalne. Szereg radykalny to wieża ${\ Displaystyle K = F_ {0}<F_ {1}<\ cdots <F_ {k}}$ gdzie każde rozszerzenie ${\ displaystyle F_ {i} /F_{i-1}}$ to proste radykalne rozszerzenie.

Nieruchomości

Jeśli E jest radykalnym rozszerzeniem F i F jest radykalnym rozszerzeniem K, to E jest radykalnym rozszerzeniem K .
Jeśli E i F są rodnikowymi rozszerzeniami K w polu rozszerzenia C K , to compositum EF (najmniejsze podpole C , które zawiera zarówno E, jak i F ) jest radykalnym rozszerzeniem K .
Jeśli E jest radykalnym rozszerzeniem F i E > K > F , to E jest radykalnym rozszerzeniem K .

Rozwiązywalność przez rodniki

Radykalne rozszerzenia występują naturalnie podczas rozwiązywania równań wielomianowych w pierwiastkach . W rzeczywistości rozwiązanie w pierwiastkach jest wyrażeniem rozwiązania jako elementu szeregu pierwiastkowego: mówi się, że wielomian f nad polem K jest rozwiązywalny przez pierwiastki, jeśli istnieje rozszczepialne pole f nad K zawarte w radykalnym rozszerzeniu K. _

Abela -Ruffiniego stwierdza, że takie rozwiązanie przez rodniki na ogół nie istnieje dla równań stopnia co najmniej piątego. Évariste Galois wykazał, że równanie jest rozwiązywalne w rodnikach wtedy i tylko wtedy, gdy jego grupa Galois jest rozwiązywalna . Dowód opiera się na fundamentalnym twierdzeniu teorii Galois i następującym twierdzeniu.

Niech K będzie ciałem zawierającym n różnych $n-$ tych pierwiastków jedności . Przedłużenie K stopnia n jest rozszerzeniem rodnikowym generowanym przez n- ty pierwiastek elementu z K wtedy i tylko wtedy , gdy jest to rozszerzenie Galois , którego grupa Galois jest grupą cykliczną rzędu n .

Dowód dotyczy resolwentów Lagrange'a . Niech będzie $pierwotnym$ n- tym pierwiastkiem jedności ( do K ). Jeśli rozszerzenie jest generowane przez $,$ $jako$ minimalny mapowanie α $alfa }$ ${\ Displaystyle \ alfa \$ \ indukuje K -automorfizm rozszerzenia generującego grupę Galois, pokazujący implikację „tylko jeśli”. I odwrotnie, jeśli jest K $-automorfizmem$ generującym grupę Galois i jest generatorem rozszerzenia, niech $\ displaystyle \ beta}$

{\ Displaystyle \ alfa = \ suma _ {i = 0} ^ {n-1} \ omega ^ {-i} \ phi ^ {i} (\ beta).}

ϕ $(\ alfa) = \ omega \ alfa}$ { \ Displaystyle \ $alpha}$ implikuje, że iloczyn koniugatów ( to znaczy obrazów $}$ ${\ Displaystyle \$ $n$ K - automorfizmy) należy do K i równe iloczynowi przez iloczyn - tych pierwiastków jednostki. Jako iloczyn n pierwiastki jednostek to $±$ $}$ , oznacza to, że rozszerzenie jest radykalnym

Z tego twierdzenia wynika, że rozszerzenie Galois można rozszerzyć do rozszerzenia radykalnego wtedy i tylko wtedy, gdy jego grupa Galois jest rozwiązywalna (ale istnieją nierodnikowe rozszerzenia Galois, których grupa Galois jest rozwiązywalna, na przykład ${\ textstyle \ mathbb {Q} (\ cos (2 \ pi / 7)) / \ mathbb {Q} } )$ . Jest to, we współczesnej terminologii, kryterium rozwiązywalności przez rodniki, które zostało dostarczone przez Galois. Dowód wykorzystuje fakt, że domknięcie Galois prostego radykalnego rozszerzenia stopnia n jest jego przedłużeniem o prymitywny n -ty pierwiastek jedności, a grupa Galois n-tego pierwiastka jedności jest cykliczna.

Lang, Serge (2002), Algebra , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 211 (poprawione wydanie trzecie), Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556
Roman, Steven (2006). Teoria pola . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 158 (wyd. 2). Nowy Jork, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-27677-7 . Zbl 1172.12001 .