Równanie septyczne

Wykres wielomianu stopnia 7, z 7 pierwiastkami rzeczywistymi (przecięcia osi

x

) i 6 punktami krytycznymi . W zależności od liczby i pionowego położenia minimów i maksimów septyka mogła mieć 7, 5, 3 lub 1 pierwiastek rzeczywisty liczony z ich krotnością; liczba złożonych pierwiastków nierzeczywistych wynosi 7 minus liczba pierwiastków rzeczywistych.

W algebrze równanie septyczne jest równaniem postaci

{\ Displaystyle ax ^ {7} + bx ^ {6} + cx ^ {5} +dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,}

gdzie $a \neq 0$ .

Funkcja septyczna jest funkcją formy

{\ Displaystyle f (x) = ax ^ {7} + bx ^ { 6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h\,}

gdzie $a \neq 0$ . Innymi słowy, jest to wielomian stopnia siódmego . Jeśli $a = 0$ , to f jest funkcją sekstyczną ( $b \neq 0$ ), funkcją kwintyczną ( $b = 0, c \neq 0$ ) itd.

Równanie można otrzymać z funkcji przyjmując $f (x) = 0$ .

Współczynniki $a, b, c, d, e, f, g, h$ mogą być liczbami całkowitymi , liczbami wymiernymi , liczbami rzeczywistymi , liczbami zespolonymi lub bardziej ogólnie członkami dowolnego ciała .

Ponieważ mają nieparzysty stopień, funkcje septyczne na wykresie wydają się podobne do funkcji kwintycznej lub sześciennej , z wyjątkiem tego, że mogą posiadać dodatkowe lokalne maksima i lokalne minima (do trzech maksimów i trzech minimów). Pochodna funkcji septycznej jest funkcją sekstyczną .

Rozpuszczalne septyki

Niektóre równania siódmego stopnia można rozwiązać, rozkładając pierwiastki na czynniki , ale inne septyki nie. Évariste Galois opracował techniki określania, czy dane równanie można rozwiązać za pomocą rodników, co dało początek dziedzinie teorii Galois . Aby podać przykład nieredukowalnej, ale rozwiązywalnej septyki, można uogólnić rozwiązywalny kwintyk de Moivre'a , aby otrzymać:

{\ Displaystyle x ^ {7} + 7 \ alfa x ^ {5} + 14 \ alfa ^ {2} x ^ {3 }+7\alpha ^{3}x+\beta =0\,}

,

gdzie jest równanie pomocnicze

{\ Displaystyle y ^ {2} + \ beta y- \ alfa ^ {7} = 0 \,}

.

Oznacza to, że septyczny jest uzyskiwany przez wyeliminowanie $u$ i $v$ między $x = u + v$ , $uv + α = 0$ i $u 7 + v 7 + β = 0$ .

Wynika z tego, że siedem korzeni septycznych jest podanych przez

{\ Displaystyle x_ {k} = \ omega _ {k} {\ sqrt [{7}] {y_ {1}}} + \ omega _ {k }^{6}{\sqrt[{7}]{y_{2}}}}

gdzie $ω k$ jest dowolnym z 7 pierwiastków siódmych jedności . Grupa Galois tej septyki to maksymalna rozwiązywalna grupa rzędu 42. Można to łatwo uogólnić na dowolne inne stopnie $k$ , niekoniecznie pierwsze.

Inną rozwiązywalną rodziną jest

{\ Displaystyle x ^ {7} -2x ^{6}+(\alfa +1)x^{5}+(\alfa -1)x^{4}-\alfa x^{3}-(\alfa +5)x^{2}-6x -4=0\,}

bazie danych pól liczbowych firmy Kluner . Jego wyróżnikiem jest

{\ Displaystyle \ Delta = -4 ^ {4} \ lewo (4 \ alfa ^ {3} + 99 \ alfa ^ {2} -34\alpha +467\right)^{3}\,}

Grupa Galois tych septyków to grupa dwuścienna rzędu 14.

Ogólne równanie septyczne można rozwiązać za $A7 pomocą$ $S7 naprzemiennych$ lub symetrycznych grup Galois lub . Takie równania wymagają do rozwiązania funkcji hipereliptycznych i związanych z nimi funkcji theta rodzaju 3 . Jednak równania te nie były specjalnie badane przez dziewiętnastowiecznych matematyków badających rozwiązania równań algebraicznych, ponieważ równania sekstyczne rozwiązania były już na granicy swoich możliwości obliczeniowych bez komputerów.

Septiki to równania najniższego rzędu, dla których nie jest oczywiste, że ich rozwiązania można uzyskać przez nałożenie funkcji ciągłych dwóch zmiennych. Trzynastym problemem Hilberta było przypuszczenie, że nie jest to możliwe w ogólnym przypadku równań siódmego stopnia. Vladimir Arnold rozwiązał to w 1957 roku, pokazując, że zawsze było to możliwe. Jednak sam Arnold uważał, że prawdziwym problemem Hilberta jest to, czy dla septyków ich rozwiązania można uzyskać przez nałożenie funkcji algebraicznych dwóch zmiennych (problem nadal pozostaje otwarty).

grupy Galois

Samolot Fano

Równania septyczne, które można rozwiązać rodnikami, mają grupę Galois , która jest albo grupą cykliczną rzędu 7, albo grupą dwuścienną rzędu 14, albo grupą metacykliczną rzędu 21 lub 42.
Grupa $L (3, 2)$ Galois (rzędu 168) jest utworzona przez permutacje 7 etykiet wierzchołków, które zachowują 7 „linii” na płaszczyźnie Fano . Równania septyczne z tą grupą Galois $L (3, 2)$ wymagają funkcji eliptycznych , ale nie funkcji hipereliptycznych do ich rozwiązania.
W przeciwnym razie grupa Galois szamba jest albo naprzemienną grupą rzędu 2520, albo grupą symetryczną rzędu 5040.

Równanie septyczne dla kwadratu powierzchni cyklicznego pięciokąta lub sześciokąta

Kwadrat pola pięciokąta cyklicznego jest pierwiastkiem równania septycznego, którego współczynniki są funkcjami symetrycznymi boków pięciokąta. To samo dotyczy kwadratu pola cyklicznego sześciokąta .

Zobacz też

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f R. Bruce King (16 stycznia 2009), Beyond the Quartic Equation , Birkhaüser, s. 143 i 144, ISBN 9780817648497
^ Vasco Brattka (13 września 2007), „Twierdzenie superpozycji Kołmogorowa” , Dziedzictwo Kołmogorowa w matematyce , Springer, ISBN 9783540363514
^ VI Arnold, Od problemu superpozycji Hilberta do układów dynamicznych , s. 4
^ Weisstein, Eric W. „Cykliczny Pentagon”. Z MathWorld — zasób internetowy firmy Wolfram. [1]
^ Weisstein, Eric W. „Cykliczny sześciokąt”. Z MathWorld — zasób internetowy firmy Wolfram. [2]

[BeyondQuartic-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f R. Bruce King (16 stycznia 2009), Beyond the Quartic Equation , Birkhaüser, s. 143 i 144, ISBN 9780817648497

[2] Vasco Brattka (13 września 2007), „Twierdzenie superpozycji Kołmogorowa” , Dziedzictwo Kołmogorowa w matematyce , Springer, ISBN 9783540363514

[3] VI Arnold, Od problemu superpozycji Hilberta do układów dynamicznych , s. 4

[4] Weisstein, Eric W. „Cykliczny Pentagon”. Z MathWorld — zasób internetowy firmy Wolfram. [1]

[5] Weisstein, Eric W. „Cykliczny sześciokąt”. Z MathWorld — zasób internetowy firmy Wolfram. [2]

Wielomiany i funkcje wielomianowe
Według stopnia	Zerowy wielomian (stopień nieokreślony lub −1 lub −∞) Funkcja stała (0) Funkcja liniowa (1) Równanie liniowe Funkcja kwadratowa (2) Równanie kwadratowe Funkcja sześcienna (3) Równanie sześcienne Funkcja kwarty (4) Równanie kwarty Funkcja Quintic (5) Równanie sekstyczne (6) Równanie septyczne (7)
Według właściwości	Jednowymiarowy Dwuwymiarowy Wielowymiarowe Jednomianowy Dwumianowy Trójmian Nieskracalny Bez kwadratów Jednorodny Prawie jednorodny
Narzędzia i algorytmy	Faktoryzacja Największy wspólny dzielnik Dział Metoda oceny Hornera Wynikowy dyskryminujący podstawa Gröbnera