Ciąg fraktali

Siedem iteracji konstrukcji trójskładnikowego zbioru Cantora , przykład fraktalnej struny.

Zwykły ciąg fraktalny $rzeczywistych$ ograniczonym, otwartym podzbiorem osi liczb . Taki podzbiór można zapisać jako co najwyżej policzalną sumę połączonych przedziałów otwartych z powiązanymi długościami ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ {\ ell _ {1 },\ell _{2},\ldots \}}$ zapisane w kolejności nierosnącej; odnosimy się również do fraktalnego ciągu znaków . L $\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$$9}},{\frac {1}{9}},\ldots \right\}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ lewo \ {{\ Frac {1} {3}}, {\ Frac$ {1} to fraktalny ciąg odpowiadający zbiorowi Cantora . Struna fraktalna jest analogiem jednowymiarowego „bębna fraktalnego” i zazwyczaj zbiór ma granicę, która odpowiada fraktalowi, takiemu jak zbiór Cantora $}$$Displaystyle \ częściowy \$ . Heurystyczna idea struny fraktalnej polega na badaniu (jednowymiarowego) fraktala przy użyciu „przestrzeni wokół fraktala”. Okazuje się, że sekwencja długości sam ciąg fraktalny ( $L$$mathcal {L}}}$ niezależnie od określonej geometrycznej realizacji tych długości jako odpowiadającej wyborowi zbioru $informacje$ o fraktalu, któremu odpowiada.

Dla każdego fraktalnego ciągu możemy powiązać geometryczną funkcję zeta $}}}$$}$${\ Displaystyle$$\ zeta _ {\ mathcal {$ : szereg Dirichleta ${\ Displaystyle \ zeta _ {\ mathcal {L}} (s) = \ suma _ {j \ w \ mathbb {J}} \ell_{j}^{s}}$ . Nieformalnie geometryczna funkcja zeta niesie informacje geometryczne o fraktalu leżącym u podstaw, w szczególności o położeniu jego biegunów i pozostałościach funkcji zeta na tych biegunach. Te bieguny ( analitycznej kontynuacji ) geometrycznej funkcji zeta są wtedy nazywane zespolonymi wymiarami fraktalnej struny $}} (s)$$} mathcal {L}}}$ , a te złożone wymiary pojawiają się we wzorach opisujących geometrię fraktala.

W przypadku fraktalnych ciągów powiązanych ze zbiorami, takimi jak zbiory Cantora, utworzonych z usuniętych przedziałów, które są potęgami wymiernymi o podstawowej długości, wymiary zespolone pojawiają się w postępie arytmetycznym równoległym do wyimaginowanej osi i nazywane są fraktalnymi ciągami kratowymi (na przykład wymiary zespolone zbioru Cantora to ${\ Displaystyle s = {\ Frac {\ log 2 + 2 \ pi ik} {\ log 3}}} ,$ które są postępem arytmetycznym kierunek urojonej osi). W przeciwnym razie nazywane są nie-kratowymi . W rzeczywistości zwykły fraktalny ciąg jest mierzalny według Minkowskiego wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest kratą.

Uogólniony ciąg fraktalny $,$$jako$ lokalna miara dodatnia ${\ Displaystyle |\ eta | (0, x_ {0}) = 0}$ taka dla pewnego ${\ Displaystyle x_ {0}> 0}$ , gdzie miara dodatnia ${\ displaystyle | \ eta |}$ to całkowita miara zmienności związana z ${\ displaystyle \ eta}$ . Te uogólnione ciągi fraktalne pozwalają na nadawanie długościom wielokrotności niecałkowitych (między innymi), a każdy zwykły ciąg fraktalny może być powiązany z miarą, która czyni go uogólnionym ciągiem fraktalnym.

Zwykłe ciągi fraktali

Zwykły ciąg fraktalny jest ograniczonym, otwartym podzbiorem osi liczb $.$ Każdy taki podzbiór można zapisać jako najwyżej policzalną sumę połączonych przedziałów otwartych z powiązanymi długościami ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ {\ ell _ {1 },\ell _{2},\ldots \}}$ zapisane w kolejności nierosnącej. Pozwalamy, $się$$składa$ ze skończenie wielu otwartych przedziałów, w którym to przypadku ze skończenie wielu długości. Odnosimy się do fraktalnego ciągu znaków . L $\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$

Przykład

środkowej tercji jest konstruowany przez usunięcie środkowej tercji z przedziału jednostkowego ${\ Displaystyle (0,1)}$ , a następnie usunięcie środkowych tercji kolejnych przedziałów ad infinitum . Usunięte interwały ${\ Displaystyle \ Omega = \ lewo \ {\ lewo ({\ Frac {1 }{3}},{\frac {2}{3}}\right),\left({\frac {1}{9}},{\frac {2}{9}}\right),\left ({\frac {7}{9}},{\frac {8}{9}}\right),\ldots \right\}}$ mają odpowiednie długości ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ lewo \ {{\ Frac {1} {3}}, {\ Frac {1} {9}}, {\ Frac {1} {9}}, \ ldots \prawo\}}$ . Indukcyjnie możemy pokazać, że istnieją odstępy odpowiadające każdej długości $}$$-$ { Zatem mówimy, że krotność długości wynosi 3 $\ displaystyle 3 ^ {- n}}$${\ displaystyle 2 ^ {n-1}}$ . Fraktalna struna zbioru Cantora nazywana jest struną Cantora .

Heurystyczny

Informacje geometryczne zbioru Cantora w powyższym przykładzie są zawarte w zwykłym fraktalnym łańcuchu ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ . Na podstawie tych informacji możemy obliczyć wymiar liczenia pudełek zbioru Cantora. To pojęcie wymiaru fraktalnego można uogólnić na pojęcie wymiaru złożonego , które można wykorzystać do wydedukowania informacji geometrycznych dotyczących lokalnych oscylacji w geometrii fraktala. Na przykład złożone wymiary fraktalnej struny (takiej jak struna Cantora) mogą być użyte do napisania wyraźnego wzoru na rurkę dla objętości - sąsiedztwa $struny$ i obecności nie -rzeczywiste wymiary zespolone odpowiadają terminom oscylacyjnym w tym rozwinięciu.

Geometryczna funkcja zeta

Jeśli $\ Displaystyle \ suma _ {j \ in \ mathbb {J}}} {\ ell _ {j} <\ infty},$ mówimy, że ma ${\ Displaystyle \ Omega}$ realizacja geometryczna w ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ Omega = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} I_ {i}$ } gdzie ${i}}$${\ Displaystyle \ {\ ell _ {j} \} _{j\in \mathbb {J} }}$ są odstępami w $}$ o wszystkich długościach , wzięte z krotnością.

Dla każdego fraktalnego ciągu możemy powiązać geometryczną funkcję zeta $ζ$$}$${\ Displaystyle$$\ zeta _ {\ mathcal {$${\ Displaystyle \ zeta _ {\ mathcal {L}} (s) = \ suma _ {j \ w \ mathbb {$ jot . $.$ geometrycznej $zeta$ nazywane są Ogólna filozofia teorii złożonych wymiarów strun fraktalnych polega na tym, że złożone wymiary opisują wewnętrzną oscylację w geometrii, widmach i dynamice $]$ struny .

ζ $}} (s)}$ Displaystyle \ zeta _ {\ mathcal ${ \displaystyle \sigma =\inf \left\{\alpha \in \mathbb {R}:\sum _{j=1}^{\infty}\ell _{j}^{\alpha }<\infty \right \}}$ jest zdefiniowany jako < .

$\częściowy \Omega }$ fraktalnego ciągu o wielu niezerowych długościach odcięta zbieżności pokrywa się z wymiarem Minkowskiego granicy struny, ${\ Displaystyle {\ mathcal {$$}}$$}$ . W naszym przykładzie brzegowy ciąg Cantora jest samym zbiorem Cantora. $\ zeta _ {\ mathcal {L}} (s)$ zbieżności geometrycznej funkcji zeta jest wymiarem Minkowskiego $} \ Displaystyle {\ frac {\ log 2} {\ log 3}}}$ Cantora, który jest .

Złożone wymiary

W przypadku struny fraktalnej $.$ złożonej z nieskończonej sekwencji długości, złożone wymiary struny fraktalnej są biegunami analitycznej kontynuacji geometrycznej funkcji zeta związanej ze struną fraktalną (Gdy analityczna kontynuacja geometrycznej funkcji zeta nie jest zdefiniowana dla całej płaszczyzny zespolonej, bierzemy podzbiór płaszczyzny zespolonej zwany „oknem” i szukamy „widocznych” wymiarów zespolonych, które istnieją w tym oknie.)

Przykład

Kontynuując przykład fraktalnej struny związanej ze zbiorem Cantora w środkowych tercjach, obliczamy ${\ Displaystyle \ zeta _ {\ mathbb {C}} (s) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {2 ^ {n-1}} {3 ^ {ns}} }={\frac {\frac {1}{3^{s}}}{1-{\frac {2}{3^{s}}}}}={\frac {1}{3^{s }-2}}}$ . Obliczamy odciętą zbieżności jako wartość spełniającą $Displaystyle 3 ^ {s} = 2}$$\$${ \displaystyle s=\log _{3}2={\frac {\log 2}{\log 3}}}$ tak że to wymiar Minkowskiego zbioru Cantora. Dla kompleksu $\ Displaystyle \$$} (s)}$ przy nieskończenie wielu rozwiązaniach $Displaystyle 3 ^ {$ s ) , które w tym przykładzie występują w ${\ Displaystyle s = {\ Frac {\ log 2 + 2 \ pi ik} {\ log 3}} }$ , dla wszystkich liczb całkowitych ${\ displaystyle k}$ . Ten zbiór punktów nazywa się zbiorem wymiarów zespolonych środkowego zbioru Cantora.

Aplikacje

Zwykłe i uogólnione struny fraktalne mogą być używane do badania geometrii (jednowymiarowego) fraktala, a także do powiązania geometrii obiektu z jego widmem. Na przykład geometryczna funkcja zeta powiązana ze struną fraktala może zostać użyta do napisania wyraźnego wzoru na rurkę dla objętości sąsiedztwa fraktala. Jeśli chodzi o związek między geometrią a widmami, widmowa funkcja zeta fraktalnej struny, która jest geometryczną funkcją zeta pomnożoną przez funkcję zeta Riemanna , może być użyta do napisania jawnych wzorów opisujących widmowe funkcje zliczania.

Struktura strun fraktalnych służy również do ujednolicenia aspektów geometrii fraktalnej i arytmetycznej. Na przykład ogólny jawny wzór na zliczanie (odwrotności) długości fraktalnej struny może być użyty do udowodnienia jawnej formuły Riemanna, gdy używa się odpowiedniej uogólnionej fraktalnej struny, która jest obsługiwana na potęgach pierwszych z krotnościami każdej z nich określonymi przez logarytm z główną bazę władzy.

W przypadku fraktalnych ciągów powiązanych ze zbiorami, takimi jak zbiory Cantora, utworzonych z usuniętych przedziałów, które są potęgami wymiernymi o podstawowej długości, złożone wymiary pojawiają się w regularnym, arytmetycznym postępie równoległym do wyimaginowanej osi i nazywane są fraktalami kratowymi . Zestawy, które nie mają tej właściwości, nazywane są nie-kratowymi . W teorii miar takich obiektów istnieje dychotomia: zwykły fraktalny ciąg jest mierzalny według Minkowskiego wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest kratą.

Istnienie nierzeczywistych wymiarów złożonych z dodatnią częścią rzeczywistą zostało zaproponowane przez Michela Lapidusa i Machiela van Frankenhuijsena jako charakterystyczna cecha obiektów fraktalnych. Formalnie proponują zdefiniowanie „fraktalności” jako obecności co najmniej jednego nierzeczywistego wymiaru złożonego z dodatnią częścią rzeczywistą. Ta nowa definicja fraktalności rozwiązuje niektóre stare problemy geometrii fraktalnej. Na przykład, zgodnie z proponowaną definicją fraktalności w sensie Mandelbrota , diabelskie schody Cantora nie są fraktalne, ponieważ ich wymiary Hausdorffa i topologiczne pokrywają się. Jednak funkcja schodowa Cantora posiada wiele cech, które należy uznać za fraktale, takich jak samopodobieństwo, aw tym nowym sensie fraktalizmu funkcja schodowa Cantora jest uważana za fraktalną, ponieważ ma nierzeczywiste wymiary zespolone.

Uogólnione ciągi fraktalne

$Uogólniony$ ciąg fraktalny $taka$ lokalna dodatnia lub lokalna miara ${\ Displaystyle |\ eta | (0, x_ {0}) = 0}$ że dla pewnego ${\ Displaystyle x_ {0}> 0}$ , gdzie miara dodatnia ${\ displaystyle | \ eta |}$ to całkowita miara zmienności związana z ${\ displaystyle \ eta}$ . Uogólniony ciąg fraktalny pozwala, aby fraktal miał określony zestaw długości z niecałkowitymi krotnościami lub aby ciąg fraktalny miał kontinuum długości zamiast dyskretnych. Zgodnie z konwencją, uogólniony ciąg fraktalny jest obsługiwany na odwrotnych długościach, w przeciwieństwie do zwykłego ciągu fraktalnego, który jest wielokrotnym zestawem (malejących lub nierosnących) długości. $(0,x_{0})}$ że istnieje liczba dodatnia taka, że ​​przedział $x_ {0}> 0}$${\ displaystyle$ ma miarę zero względem ${\ displaystyle |\ eta |}$ , może być postrzegane jako analogia do ograniczoności zwykłego fraktalnego ciągu.

Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ {l_ {j} \} _ {j = 1} ^ {\ infty}} jest$ zwykłym fraktalem ${\ Displaystyle w_ {j}}$ jot , to miara $mathcal {L}}: = \ suma _ {j = 1} ^ {\ infty} w_ {j} \ delta _ {l_ {j} ^ {-1}}}$ związane z ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ (gdzie $\}}} odnosi$${ \displaystyle \delta _{\{$$się$ do miary delta Diraca skoncentrowanej w punkcie, który jest przykładem uogólnionego ciągu fraktalnego. Zauważ, że funkcje delta są obsługiwane w zbiorach singletonowych odpowiadających odwrotnościom długości zwykłego fraktalnego ciągu $\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$$} \}}$$1$ . Jeśli krotności nie są dodatnimi liczbami całkowitymi, to $uogólnionym$$ciągiem$ zrealizować jako zwykłego ciągu fraktalnego. $_ {\ infty} b ^ {j} \ delta _ {a ^ {j}}}$ takiego ciąg dla ${\ Displaystyle 1 <b <a}$ .

Jeśli jest uogólnionym ciągiem fraktalnym, to jego wymiar jest zdefiniowany jako ${\ displaystyle \ eta}$

$${\ Displaystyle D _ {\ eta}: = \ inf (\ sigma \ in \ mathbb {R}: \ int _{0}^{\infty }x^{-\sigma }|\eta |(dx)<\infty ),}$$

jego funkcja zliczania jako

$${\ Displaystyle N_ {\ eta} (x): = \ int _ {0} ^ { x}\eta (dx)=\eta (0,x)+{\frac {1}{2}}\eta (\{x\})}$$

a jego geometryczna funkcja zeta (jej transformata Mellina ) as

$${\ Displaystyle \ zeta _ {\ eta} (s): = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {-s} \ eta (dx).}$$

(Zauważ, że funkcja zliczania jest znormalizowana przy nieciągłościach skoków, aby była równa połowie wartości w dowolnych singletonach, które mają niezerową miarę).