Krzywa wypełniająca przestrzeń

Trzy iteracje konstrukcji krzywej Peano , której granicą jest krzywa wypełniająca przestrzeń.

W analizie matematycznej krzywa wypełniająca przestrzeń jest krzywą , której zasięg sięga każdego punktu w obszarze o wyższych wymiarach, zazwyczaj do kwadratu jednostkowego (lub bardziej ogólnie do n -wymiarowego hipersześcianu jednostkowego ). Ponieważ Giuseppe Peano (1858–1932) jako pierwszy odkrył jedną, krzywe wypełniające przestrzeń w płaszczyźnie dwuwymiarowej są czasami nazywane krzywymi Peano , ale to wyrażenie odnosi się również do krzywej Peano , konkretny przykład krzywej wypełniającej przestrzeń znalezionej przez Peano.

Definicja

Intuicyjnie, krzywą w dwóch lub trzech (lub wyższych) wymiarach można traktować jako ścieżkę stale poruszającego się punktu. Aby wyeliminować wrodzoną niejasność tego pojęcia, Jordan w 1887 roku wprowadził następującą ścisłą definicję, która od tego czasu została przyjęta jako dokładny opis pojęcia krzywej :

Krzywa (z punktami końcowymi) jest funkcją ciągłą , której dziedziną jest przedział jednostkowy [0, 1] .

W najbardziej ogólnej postaci zakres takiej funkcji może leżeć w dowolnej przestrzeni topologicznej , ale w najczęściej badanych przypadkach zakres będzie leżał w przestrzeni euklidesowej , takiej jak płaszczyzna dwuwymiarowa ( krzywa płaska ) lub Przestrzeń trójwymiarowa ( krzywa przestrzenna ).

Czasami krzywa jest utożsamiana z obrazem funkcji (zbiorem wszystkich możliwych wartości funkcji), a nie z samą funkcją. Możliwe jest również zdefiniowanie krzywych bez punktów końcowych jako funkcji ciągłej na linii rzeczywistej (lub na otwartym przedziale jednostkowym (0, 1) ).

Historia

W 1890 roku Peano odkrył ciągłą krzywą, obecnie nazywaną krzywą Peano , która przechodzi przez każdy punkt kwadratu jednostkowego. Jego celem było skonstruowanie ciągłego odwzorowania z przedziału jednostkowego na kwadrat jednostkowy . Peano był motywowany Georga Cantora , że ​​​​nieskończona liczba punktów w przedziale jednostkowym ma taką samą liczność , jak nieskończona liczba punktów w dowolnej rozmaitości o skończonych wymiarach , takie jak kwadrat jednostkowy. Problem rozwiązany przez Peano polegał na tym, czy takie odwzorowanie może być ciągłe; tj. krzywa wypełniająca przestrzeń. Rozwiązanie Peano nie ustanawia ciągłej zgodności jeden do jednego między przedziałem jednostkowym a kwadratem jednostkowym i rzeczywiście taka zgodność nie istnieje (patrz § Właściwości poniżej).

Powszechne było łączenie niejasnych pojęć cienkości i jednowymiarowości z krzywymi; wszystkie normalnie napotykane krzywe były fragmentarycznie (to znaczy miały pochodne ciągłe fragmentarycznie) i takie krzywe nie mogą wypełnić całego kwadratu jednostkowego. Dlatego stwierdzono, że krzywa wypełniania przestrzeni Peano jest wysoce sprzeczna z intuicją.

Z przykładu Peano łatwo było wydedukować ciągłe krzywe, których zakresy zawierały n -wymiarowy hipersześcian (dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n ). Łatwo było również rozszerzyć przykład Peano na ciągłe krzywe bez punktów końcowych, które wypełniały całą n -wymiarową przestrzeń euklidesową (gdzie n to 2, 3 lub dowolna inna dodatnia liczba całkowita).

Większość dobrze znanych krzywych wypełniających przestrzeń jest konstruowanych iteracyjnie jako granica sekwencji fragmentarycznie liniowych ciągłych krzywych, z których każda jest bardziej zbliżona do granicy wypełniania przestrzeni.

Przełomowy artykuł Peano nie zawierał ilustracji jego konstrukcji, która jest zdefiniowana w kategoriach rozwinięć trójskładnikowych i operatora lustrzanego. Ale konstrukcja graficzna była dla niego całkowicie jasna – wykonał ozdobną kafelkę przedstawiającą krzywiznę w swoim domu w Turynie. Artykuł Peano kończy się również spostrzeżeniem, że technikę można oczywiście rozszerzyć na inne nieparzyste bazy poza bazą 3. Jego wybór polega na unikaniu jakiegokolwiek odwoływania się do graficznej wizualizacji było motywowane chęcią uzyskania całkowicie rygorystycznego dowodu, nie zawdzięczającego nic obrazom. W tym czasie (początek powstania topologii ogólnej) argumenty graficzne nadal były uwzględniane w dowodach, ale stawały się przeszkodą w zrozumieniu często sprzecznych z intuicją wyników.

Rok później David Hilbert opublikował w tym samym czasopiśmie odmianę konstrukcji Peano. Artykuł Hilberta był pierwszym, który zawierał zdjęcie pomagające zwizualizować technikę budowy, zasadniczo taką samą, jak pokazano tutaj. Analityczna postać krzywej Hilberta jest jednak bardziej skomplikowana niż postać Peano.

Sześć iteracji konstrukcji krzywej Hilberta, której ograniczająca krzywa wypełniająca przestrzeń została opracowana przez matematyka Davida Hilberta .

Zarys budowy krzywej wypełniającej przestrzeń

Niech oznacza przestrzeń Cantora ${\ Displaystyle \ mathbf {2} ^ {\ mathbb {N}$$}$ .

Zaczynamy od funkcji ciągłej $Displaystyle$ przestrzeni Cantora $[$ cały przedział jednostkowy $[0, \, 1]}$ . (Przykładem takiej funkcji jest ograniczenie funkcji Cantora do zbioru Cantora .) Z $} }\;\razy \;{\mathcal {C}}}$ otrzymujemy funkcję ciągłą z iloczynu topologicznego $displaystyle$ na cały kwadrat jednostkowy ${\ Displaystyle [0, \, 1] \; \ razy \; [0, \, 1]}$ przez ustawienie

$${\ Displaystyle H (x, y) = (h (x), h (y)). \,}$$

$zbioru$ zbiór Cantora jest $,$ z iloczynem istnieje ciągła bijekcja Cantora na ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} \; \ razy \; {\ mathcal {C}}}$ . Kompozycja $\ displaystyle f}$ { i ${ \ displaystyle$$}$ jest funkcją ciągłą odwzorowującą zbiór Cantora na cały kwadrat jednostkowy. (Alternatywnie moglibyśmy użyć twierdzenia, że ​​​​każda zwarta przestrzeń metryczna jest ciągłym obrazem zbioru Cantora, aby uzyskać funkcję ${\ displaystyle f}$ .)

Wreszcie, można rozszerzyć na funkcję ciągłą, $dziedziną$ jest cały przedział jednostkowy $Displaystyle$$[0, \, 1]}$ . Można to zrobić albo za pomocą twierdzenia o rozszerzeniu Tietze na każdym ze składników , albo po prostu rozszerzając „liniowo” (to znaczy na każdym z usuniętych otwartych przedziałów $}$${\ displaystyle f$${\ Displaystyle (a, \, b)}$ w konstrukcji zbioru $\$ definiujemy część rozszerzającą na $Displaystyle (a, \, b)}$$f (b)}$ jednostkowym łączący wartości ( $Displaystyle$ )

Nieruchomości

Mortona i Hilberta poziomu 6 (4 ⁵ = 1024 komórek w rekurencyjnym podziale kwadratowym ) przedstawiające każdy adres jako inny kolor w standardzie RGB i używające etykiet Geohash . Sąsiedztwa mają podobne kolory, ale każda krzywa oferuje inny wzór grupowania podobieństw w mniejszych skalach.

Jeśli krzywa nie jest iniekcyjna, można znaleźć dwie przecinające się krzywe podrzędne krzywej, z których każda jest uzyskiwana przez rozważenie obrazów dwóch rozłącznych odcinków z dziedziny krzywej (odcinek linii jednostkowej). Dwie krzywe podrzędne przecinają się, jeśli przecięcie dwóch obrazów nie jest puste . Można by pokusić się o myślenie, że znaczenie przecinających się krzywych jest to, że koniecznie przecinają się one, jak punkt przecięcia dwóch nierównoległych linii, z jednej strony na drugą. Jednak dwie krzywe (lub dwie krzywe podrzędne jednej krzywej) mogą stykać się ze sobą bez przecinania, jak na przykład linia styczna do okręgu.

Nieprzecinająca się krzywa ciągła nie może wypełnić kwadratu jednostkowego, ponieważ spowoduje to, że krzywa będzie homeomorfizmem z przedziału jednostkowego do kwadratu jednostkowego (każda ciągła bijekcja z przestrzeni zwartej do przestrzeni Hausdorffa jest homeomorfizmem). Ale kwadrat jednostkowy nie ma punktu przecięcia , a więc nie może być homeomorficzny z przedziałem jednostkowym, w którym wszystkie punkty z wyjątkiem punktów końcowych są punktami przecięcia. Istnieją nie przecinające się krzywe o polu niezerowym, krzywe Osgooda , ale zgodnie z twierdzeniem Netto nie wypełniają przestrzeni.

W przypadku klasycznych krzywych wypełniających przestrzeń Peano i Hilberta, gdzie przecinają się dwie krzywe podrzędne (w sensie technicznym), występuje kontakt własny bez samoprzecinania. Krzywa wypełniająca przestrzeń może (wszędzie) przecinać się samoczynnie, jeśli jej krzywe aproksymacji przecinają się samoczynnie. Przybliżenia krzywej wypełniającej przestrzeń mogą być samounikalne, jak ilustrują powyższe rysunki. W 3 wymiarach samounikające się krzywe aproksymacji mogą nawet zawierać węzły . Krzywe aproksymacji pozostają w ograniczonej części n -wymiarowej przestrzeni, ale ich długości rosną bez ograniczeń.

Krzywe wypełniające przestrzeń są szczególnymi przypadkami krzywych fraktalnych . Nie może istnieć różniczkowalna krzywa wypełniająca przestrzeń. Z grubsza mówiąc, różniczkowalność ogranicza szybkość, z jaką krzywa może się obracać. Michał Morayne udowodnił, że hipoteza kontinuum jest równoważna z istnieniem krzywej Peano takiej, że w każdym punkcie prostej rzeczywistej co najmniej jedna jej składowa jest różniczkowalna.

Twierdzenie Hahna-Mazurkiewicza

Hahna – Mazurkiewicza to następująca charakterystyka przestrzeni będących ciągłym obrazem krzywych:

Niepusta przestrzeń topologiczna Hausdorffa jest ciągłym obrazem przedziału jednostkowego wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwartą, spójną , lokalnie spójną , drugą przeliczalną przestrzenią .

Przestrzenie, które są ciągłym obrazem przedziału jednostkowego, są czasami nazywane przestrzeniami Peano .

W wielu sformułowaniach twierdzenia Hahna – Mazurkiewicza drugie policzalne jest zastępowane przez metryzowalne . Te dwa sformułowania są równoważne. W jednym kierunku zwarta przestrzeń Hausdorffa jest przestrzenią normalną i zgodnie z twierdzeniem Urysohna o metryzacji , druga przeliczalna implikuje metryzowalność. I odwrotnie, zwarta przestrzeń metryczna jest przeliczalna w sekundach.

grupy kleinowskie

grup Kleinowskich istnieje wiele naturalnych przykładów krzywych wypełniających przestrzeń, a raczej sferę . Na przykład Cannon i Thurston (2007) wykazali, że okrąg w nieskończoności uniwersalnego pokrycia włókna torusa odwzorowującego mapę pseudo-Anosowa jest krzywą wypełniającą sferę. (Tutaj kula jest kulą w nieskończoności hiperbolicznej 3-przestrzeni ).

Integracja

Wiener zwrócił uwagę w The Fourier Integral and Certain of its Applications, że krzywe wypełniające przestrzeń mogą być użyte do zredukowania integracji Lebesgue'a w wyższych wymiarach do integracji Lebesgue'a w jednym wymiarze.

Zobacz też

• Krzywa smoka
• Krzywa Gospera
• Krzywa Hilberta
• Krzywa Kocha
• Krzywa Moore'a
• wielokąt Murraya
• krzywa Sierpińskiego
• Drzewo wypełniające przestrzeń
• Indeks przestrzenny
• Drzewo Hilberta R
• B ^x -drzewo
• Kolejność Z (krzywa) (kolejność Mortona)
• Mapa Cannon – Thurston
• Lista fraktali według wymiaru Hausdorffa

Notatki

•    Działo, James W.; Thurston, William P. (2007) [1982], „Grupowe niezmienne krzywe Peano”, Geometria i topologia , 11 (3): 1315–1355, doi : 10.2140 / gt.2007.11.1315 , ISSN 1465-3060 , MR 2326947
•   Hilbert, D. (1891), „Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück” , Mathematische Annalen (w języku niemieckim), 38 (3): 459–460, doi : 10.1007 / BF01199431 , S2CID 123643081
• Mandelbrot, BB (1982), „Rozdział 7: Wykorzystanie krzywych Peano Monster”, The Fractal Geometry of Nature , WH Freeman .
•   McKenna, Douglas M. (1994), „SquaRecurves, E-Tours, Eddies i Frenzies: podstawowe rodziny krzywych Peano na siatce kwadratowej”, w: Guy, Richard K .; Woodrow, Robert E. (red.), The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History , Mathematical Association of America , s. 49–73 , ISBN 978-0-88385-516- 4 .
•   Peano, G. (1890), „Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane” , Mathematische Annalen (po francusku), 36 (1): 157–160, doi : 10.1007/BF01199438 , S2CID 179177780 .
•    Sagan, Hans (1994), Krzywe wypełniające przestrzeń , Universitext, Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-0871-6 , ISBN 0-387-94265-3 , MR 1299533 .

Linki zewnętrzne

• Wielowymiarowe krzywe wypełniające przestrzeń
• Dowód istnienia bijekcji przy przecięciu węzła

Aplety Javy:

• Krzywe wypełnienia płaszczyzny Peano przy przecięciu węzła
• Krzywe wypełnienia płaszczyzny Hilberta i Moore'a przy przecięciu węzła
• Wszystkie krzywe wypełnienia płaszczyzny Peano przy przecięciu węzła