Tricorn (matematyka)

Tricorn, stworzony na komputerze w Kalles Fraktaler .

Wielorożce o sile od 1 do 5

W matematyce tricorn , czasami nazywany zbiorem Mandelbara , jest fraktalem zdefiniowanym w podobny sposób jak zbiór Mandelbrota , ale przy użyciu odwzorowania ${\ displaystyle z \ mapsto {\ bar {z}} ^ {2}+c}$ zamiast używanego dla zbioru Mandelbrota ${\ Displaystyle Z \ mapsto z ^ {2} + c} .$ Został wprowadzony przez WD Crowe'a, R. Hassona, PJ Rippona i PED Strain-Clark. John Milnor znalazł zbiory podobne do tricornu jako prototypową konfigurację w przestrzeni parametrów rzeczywistych wielomianów sześciennych oraz w różnych innych rodzinach map wymiernych.

Charakterystyczny trójkątny kształt utworzony przez ten fraktal powtarza się z wariacjami w różnych skalach, wykazując ten sam rodzaj samopodobieństwa , co zbiór Mandelbrota. Oprócz mniejszych tricornów, fraktal tricorn zawiera również mniejsze wersje zbioru Mandelbrota.

Definicja formalna

Trójkąt jest zdefiniowany przez rodzinę kwadratowych antyholomorficznych wielomianów ${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle f_ {c}: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}}$

podane przez

${\ Displaystyle f_ {c}: z \ mapsto {\ bar {z}} ^ {2} + c,}$

gdzie $jest$ parametrem. Dla każdego patrzy się na $orbitę$

${\ Displaystyle (0, f_ {c} (0), f_ {c} ( f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}$

punktu krytycznego wielomianu antyholomorficznego $p_ {c}}$$displaystyle$ . Analogicznie do zbioru Mandelbrota , tricorn definiuje $się$ jako zbiór wszystkich parametrów, których ograniczona jest przednia orbita punktu krytycznego. Jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że trójrożnik jest miejscem powiązania rodziny kwadratowych wielomianów antyholomorficznych; zestaw wszystkich parametrów $J$ dla których Julia ustawił ${\ Displaystyle J (f_ {c})}$ jest podłączony.

Analogi wyższego stopnia tricornu są znane jako wielorożce. Są to miejsca powiązań rodziny wielomianów antyholomorficznych $\ Displaystyle f_ {c}: z \ mapsto {\ bar {z}} ^ {d} + c}$ .

Podstawowe właściwości

• Tricorn jest zwarty i połączony . W rzeczywistości Nakane zmodyfikował dowód Douady'ego i Hubbarda na powiązanie zestawu Mandelbrota, aby skonstruować dynamicznie zdefiniowany dyfeomorfizm realno-analityczny z zewnętrznej części trójrożnika na zewnętrzną powierzchnię zamkniętego dysku jednostkowego w płaszczyźnie zespolonej . Można zdefiniować promienie parametrów zewnętrznych tricornu jako odwrotne obrazy linii promieniowych pod tym dyfeomorfizmem.
• Każdy hiperboliczny składnik trójrożca jest po prostu połączony .
• Granica każdej hiperbolicznej składowej nieparzystego okresu tricornu zawiera łuki realno-analityczne składające się z quasi-konformalnie równoważnych, ale konformalnie różnych parametrów parabolicznych. Taki łuk nazywa się łukiem parabolicznym trójrożca. Stoi to w wyraźnej sprzeczności z odpowiednią sytuacją dla zbioru Mandelbrota, w którym wiadomo, że parametry paraboliczne danego okresu są izolowane.
• Granica składowej hiperbolicznej każdego okresu nieparzystego składa się wyłącznie z parametrów parabolicznych. Dokładniej, granica każdej hiperbolicznej składowej nieparzystego okresu tricornu jest prostą zamkniętą krzywą składającą się dokładnie z trzech wierzchołków parabolicznych oraz trzech łuków parabolicznych, z których każdy łączy dwa wierzchołki paraboliczne.
• Każdy łuk paraboliczny okresu k ma na obu końcach przedział o dodatniej długości, w którym zachodzi bifurkacja od składowej hiperbolicznej okresu nieparzystego k do składowej hiperbolicznej okresu 2k.

Realizacja

Poniższa implementacja pseudokodu zakodowuje złożone operacje dla Z. Rozważ wdrożenie operacji na liczbach złożonych , aby umożliwić bardziej dynamiczny i wielokrotnego użytku kod.

Dla każdego piksela (x, y) na ekranie wykonaj: { x = przeskalowana współrzędna x piksela (przeskalowana tak, aby mieściła się w skali X Mandelbrota (-2,5, 1)) y = przeskalowana współrzędna y piksela (przeskalowana tak, aby leżała w skala Y Mandelbrota (-1, 1)) zx = x; // zx reprezentuje część rzeczywistą z zy = y; // zy reprezentuje urojoną część iteracji z = 0 max_iteration = 1000 while (zx*zx + zy*zy < 4 AND iteracja < max_iteration) { xtemp = zx*zx - zy*zy + x zy = -2*zx* zy + y zx = xtemp iteracja = iteracja + 1 } if (iteracja == maks_iteracja) //Należy do zestawu return insideColor; zwróć iterację * kolor; }

Dalsze właściwości topologiczne

Tricorn nie jest połączony ścieżką. Hubbard i Schleicher wykazali, że istnieją składowe hiperboliczne okresu nieparzystego trójrożca, których nie można połączyć ścieżkami ze składową hiperboliczną okresu pierwszego. Silniejsze stwierdzenie, że żadne dwa (nierzeczywiste) hiperboliczne składniki tricornu z okresami nieparzystymi nie mogą być połączone ścieżką, udowodnili Inou i Mukherjee.

Powszechnie wiadomo, że każdy promień o parametrach wymiernych ze zbioru Mandelbrota trafia na pojedynczy parametr. Z drugiej strony promienie o parametrach wymiernych pod kątami nieparzystookresowymi (z wyjątkiem okresu pierwszego) tricornu gromadzą się na łukach o dodatniej długości, składających się z parametrów parabolicznych. Co więcej, w przeciwieństwie do zestawu Mandelbrota, dynamicznie naturalna mapa prostowania od małego tricorna do oryginalnego tricornu jest nieciągła przy nieskończenie wielu parametrach.