Promień zewnętrzny

Promień zewnętrzny to krzywa biegnąca od nieskończoności w kierunku zbioru Julii lub Mandelbrota . Chociaż ta krzywa rzadko jest półprostą (promieniem), nazywana jest promieniem, ponieważ jest obrazem promienia.

Promienie zewnętrzne są wykorzystywane w analizie złożonej , zwłaszcza w dynamice zespolonej i teorii funkcji geometrycznych .

Historia

Promienie zewnętrzne zostały wprowadzone w badaniu zbioru Mandelbrota przeprowadzonym przez Douady'ego i Hubbarda

typy

Kryteria klasyfikacji :

• płaszczyzna : parametryczna lub dynamiczna
• mapa
• bifurkacja promieni dynamicznych
• Rozciąganie
• lądowanie

samolot

Promienie zewnętrzne (spójnych) zbiorów Julii na płaszczyźnie dynamicznej są często nazywane promieniami dynamicznymi .

loci jednowymiarowych połączeń ) na płaszczyźnie parametrów nazywane są promieniami parametrycznymi .

rozwidlenie

Promień dynamiczny może być:

• rozwidlony = rozgałęziony = złamany
• gładki = nierozgałęziony = nieprzerwany

Kiedy wypełniony zestaw Julii jest połączony, nie ma rozgałęzionych promieni zewnętrznych. Gdy zestaw Julii nie jest połączony, rozgałęziają się niektóre promienie zewnętrzne.

rozciąganie

Promienie rozciągające zostały wprowadzone przez Brannera i Hubbarda:

„Pojęcie promieni rozciągających jest uogólnieniem pojęcia promieni zewnętrznych dla wielomianów Mandelbrota ustawionych na wielomiany wyższego stopnia”.

lądowanie

Każdy racjonalny promień parametru zbioru Mandelbrota ląduje na jednym parametrze.

Mapy

Wielomiany

Płaszczyzna dynamiczna = płaszczyzna Z

Promienie zewnętrzne są powiązane ze zwartym , pełnym , połączonym podzbiorem $zespolonej$ jako :

• obrazy promieni radialnych pod mapą Riemanna dopełnienia ${\ Displaystyle K \,}$
• linie gradientu funkcji Greena ${\ Displaystyle K \,$ }
• linie pola potencjału Douady-Hubbarda
• całkowa krzywa gradientowego pola wektorowego funkcji Greena w sąsiedztwie nieskończoności

$.$ zbiory poziomów) tworzą nowy biegunowy układ współrzędnych na zewnątrz ( dopełnienie )

Innymi słowy, promienie zewnętrzne określają foliowanie pionowe , które jest prostopadłe do foliowania poziomego określonego przez zestawy poziomów potencjału.

Uniformizacja

Niech będzie izomorfizmem konforemnym od $dopełnienia ($ ) zamkniętego dysku jednostkowego do dopełnienia $do {\ Displaystyle \ Psi _ {c} \$ wypełnionego zestawu Julii ${\ Displaystyle \ K_ {c}}$ .

$\ Displaystyle \ Psi _ {c}: {\ kapelusz {\ mathbb {C}}} \ setminus {\ overline {\ mathbb {D}}} \ do {\ kapelusz {\ mathbb {C}}} \ setminus K_ {c}}$

gdzie oznacza rozszerzoną $_$ . Niech ${\ Displaystyle \ Phi _ {c} = \ Psi _ {c} ^ {- 1} \,}$ oznacza mapę Boettchera . $\ Displaystyle \ Phi _ {c} \,}$$Julii$ jest ujednolicającą mapą basenu przyciągania nieskończoności, ponieważ koniuguje dopełnieniu wypełnionego zestawu ${ \ Displaystyle K_ {c}}$ na uzupełnieniu dysku jednostkowego ${\ Displaystyle f_ {0} (z) = z ^ {2}}$

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Phi _ {c}: {\ kapelusz {\mathbb {C}}}\setminus K_{c}&\to {\hat {\mathbb {C}}}\setminus {\overline {\mathbb {D}}}\\z&\mapsto \lim _{ n\to \infty }(f_{c}^{n}(z))^{2^{-n}}\end{wyrównane}}}$

I

${\ Displaystyle \ Phi _ {c} \ circ f_ {c} \ circ \ Phi _ {c} ^ {-1} = f_ {0}}$

Wartość $w = \ Phi _ {c} (z)}$$do {\ Displaystyle z \ w {\ kapelusz {\ mathbb {C}}}\setminus K_{c}}$ nazywana jest współrzędną Boettchera dla punktu .

Formalna definicja promienia dynamicznego

Biegunowy układ współrzędnych i $do {\ Displaystyle \ psi _ {c}}$ dla $\ Displaystyle c = -2}$

Zewnętrzny promień kąta zapisany jako ${\ mathcal {R}} _ {\ theta} ^ {K}}$$Displaystyle$ to

• ${\ Displaystyle \ Psi _ {c} \,}$ do linii prostych $}} _ { \ theta } = \ {\ lewo (r \ cdot e ^ {2 \ pi i \ theta} \ prawo): \ r> 1 \}} R θ K = Ψ do$

${ R}}_{\theta }^{K}=\Psi _{c}({\mathcal {R}}_{\theta })} zbiór punktów zewnętrznych wypełnionego zbioru Julii o tym samym kącie$

• zewnętrznym ${\ Displaystyle \ teta}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ teta} ^ {K }=\{z\in {\hat {\mathbb {C}}}\setminus K_{c}:\arg(\Phi _{c}(z))=\theta \}}$

Nieruchomości

Promień zewnętrzny dla kąta okresowego spełnia: ${\ displaystyle \ theta \,}$

${\ Displaystyle f ({\ mathcal {R}} _ {\ teta} ^ {K}) = {\ mathcal {R}} _ {2 \ teta} ^ {K }}$

a jego punkt lądowania spełnia: ${\ Displaystyle \ gamma _ {f} (\ theta)}$

${\ Displaystyle f (\ gamma _ {f} (\ teta)} = \ gamma _ {f} (2 \ teta)}$

Płaszczyzna parametrów = płaszczyzna c

„Promienie parametrów to po prostu krzywe biegnące prostopadle do krzywych ekwipotencjalnych zbioru M”.

Uniformizacja

Granica Mandelbrota ustawiona jako obraz koła jednostkowego pod Ψ $\ Displaystyle \ Psi _ {M} \,}$

Uniformizacja dopełnienia (zewnętrza) zbioru Mandelbrota

Niech będzie odwzorowaniem od $\ Displaystyle \ Psi _ {M} \,$ (zewnętrznego) zamkniętego dysku jednostkowego do dopełnienia $}$ zestaw Mandelbrota . M $\ Displaystyle \ M}$ .

$\ Displaystyle \ Psi _ {M}: \ mathbb {\ kapelusz {C}} \ setminus {\ overline {\ mathbb {D}}} \ do \ mathbb { \hat {C}} \setminus M}$

$($ (funkcja) , która jest ujednolicającą mapą dopełnienia zbioru Mandelbrota, ponieważ koniuguje dopełnienie zbioru $dopełnienie$ i na zewnątrz) zamkniętego dysku jednostkowego

${\ Displaystyle \ Phi _ {M}: \ mathbb {\ kapelusz {C}} \ setminus M \ do \ mathbb {\ kapelusz {C}} \ setminus {\ overline {\mathbb {D}}}}$

można go znormalizować tak, że:

$\ Displaystyle {\ Frac {\ Phi _ {M} (c)} {c}} \ do 1 \ as \ c \ do \ infty \,}$

Gdzie :

${\ Displaystyle \ mathbb {\ kapelusz {C}}}$ oznacza rozszerzoną płaszczyznę zespoloną

Funkcja Jungreis jest odwrotnością mapy ujednolicającej : ${\ Displaystyle \ Psi _ {M} \,}$

${\ Displaystyle \ Psi _ {M} = \ Phi _ {M} ^ {- 1} \,}$

W przypadku złożonego wielomianu kwadratowego można obliczyć to odwzorowanie za pomocą szeregu Laurenta o nieskończoności

${\ Displaystyle c = \ psi _ {M} (w) = w + \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} b_ {m} w ^ {-m} = w - {\ frac {1} {2} }}+{\frac {1}{8w}}-{\frac {1}{4w^{2}}}+{\frac {15}{128w^{3}}}+...\,}$

Gdzie

$}} \ setminus M}$

${\ Displaystyle w \ w \ mathbb {\ kapelusz {C}} \ setminus { \overline {\mathbb {D}}}}$

Formalna definicja promienia parametru

Zewnętrzny promień kąta to ${\ displaystyle \ theta \,}$

• ${\ Displaystyle \ Psi _ {c} \,}$ do linii prostych $}} _ { \ theta } = \ {\ lewo (r * e ^ {2 \ pi i \ theta} \ prawo): \ r> 1 \}} R θ M = Ψ M ($

$R }} _ {\ theta} ^ {M} = \ Psi _ {M} ({\ mathcal {R}} _ {\ theta})} zbiór punktów na zewnątrz zbioru Mandelbrota o tym samym kącie zewnętrznym θ$

• { $displaystyle \ teta }$

${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ teta} ^ {M} = \ {c \in \mathbb {\hat {C}} \setminus M:\arg(\Phi _{M}(c))=\theta \}}$

Definicja ${\ Displaystyle \ Phi _ {M} \,}$

Douady i Hubbard definiują:

$\ Displaystyle \ Phi _ {M} (c) \ {\ overset {\ underset {\ operatorname {def}}} {=}} \ \Phi _{c}(z=c)\,}$

więc kąt zewnętrzny punktu $parametrycznej$$do {\ Displaystyle z = c \,}$ równy kątowi zewnętrznemu punktu płaszczyzny dynamicznej

Kąt zewnętrzny

Kąt θ nazywany jest kątem zewnętrznym ( argument ).

Główne wartości kątów zewnętrznych mierzone są w zwojach modulo 1

1 obrót = 360 stopni = 2 × π radianów

Porównaj różne rodzaje kątów:

• zewnętrzny ( punkt na zewnątrz zbioru )
• wewnętrzny ( punkt wnętrza komponentu )
• zwykły ( argument liczby zespolonej )

	kąt zewnętrzny	kąt wewnętrzny	prosty kąt
płaszczyzna parametrów	${\ Displaystyle \ arg (\ Phi _ {M} (c)) \,}$	${\ Displaystyle \ arg (\ rho _ {n} (c)) \,}$	${\ Displaystyle \ arg (c) \,}$
płaszczyzna dynamiczna	${\ Displaystyle \ arg (\ Phi _ {c} (z)) \,}$		${\ Displaystyle \ arg (z) \,}$

Obliczanie argumentu zewnętrznego

• argument współrzędnej Böttchera jako argument zewnętrzny
  • ${\ Displaystyle \ arg _ {M} (c) = \ arg (\ Phi _ {M} (c)}}$
  • ${\ Displaystyle \ arg _ {c} (z) = \ arg (\ Phi _ {c} (z)}}$
• sekwencja ugniatania jako rozwinięcie binarne argumentu zewnętrznego

Mapy transcendentalne

Dla map transcendentalnych (na przykład wykładniczych ) nieskończoność nie jest punktem stałym, ale zasadniczą osobliwością i nie istnieje izomorfizm Boettchera .

Tutaj promień dynamiczny jest zdefiniowany jako krzywa:

• łączenie punktu w zbiorze uciekającym i nieskończoności
• leżąc w uciekającym zestawie

Obrazy

Promienie dynamiczne

• nierozgałęziony
• 

  Julia zestaw dla $\ Displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} -1}$ z 2 zewnętrznymi promieniami lądującymi na odpychającym punkcie stałym alfa

• 

  Zestaw Julii i 3 promienie zewnętrzne lądujące na stałym punkcie ${\ displaystyle \ alpha _ {c} \,}$

• 

  Dynamiczne promienie zewnętrzne padające na cykl odpychania 3 i 3 promienie wewnętrzne padające na stały punkt ${\ Displaystyle \ alpha _ {c} \,}$

• 

  Zestaw Julii z promieniami zewnętrznymi lądującymi na orbicie okresu 3

• Promienie padające na paraboliczny punkt stały dla okresów 2-40

• rozgałęziony
• 

  Rozgałęziony promień dynamiczny

Promienie parametryczne

Zbiór Mandelbrota dla zespolonego wielomianu kwadratowego z promieniami parametrycznymi punktów pierwiastków

• 

  Promienie zewnętrzne dla kątów postaci : n / ( 2 ¹ - 1) (0/1; 1/1) padające na punkt c= 1/4, który jest wierzchołkiem kardioidy głównej (składowa okresu 1)

• 

  Promienie zewnętrzne dla kątów postaci : n / ( 2 ² - 1) (1/3, 2/3) padające na punkt c= - 3/4, który jest pierwiastkiem składowej okresu 2

• 

  Promienie zewnętrzne dla kątów postaci : n / ( 2 ³ - 1) (1/7,2/7) (3/7,4/7) padające na punkt c= -1,75 = -7/4 (5/ 7,6/7) lądowanie na korzeniach składowych okresu 3.

• 

  Promienie zewnętrzne dla kątów postaci : n / ( 2 ⁴ - 1) (1/15,2/15) (3/15, 4/15) (6/15, 9/15) padające na podstawę c= - 5/4 (7/15, 8/15) (11/15,12/15) (13/15, 14/15) lądowanie na korzeniach elementów z okresu 4.

• 

  Promienie zewnętrzne dla kątów postaci : n / ( 2 ⁵ - 1) padające na korzenie składowych okresu 5

• 

  promień wewnętrzny kardioidy głównej o kącie 1/3: zaczyna się od środka kardioidy głównej c=0, kończy się w punkcie głównym składowej okresu 3, będącej punktem lądowania promieni parametrycznych (zewnętrznych) o kątach 1/7 i 2/ 7

• 

  Promień wewnętrzny dla kąta 1/3 kardioidy głównej wykonany za pomocą mapy konforemnej z okręgu jednostkowego

• 

  Zestaw Mini Mandelbrota z okresem 134 i 2 promieniami zewnętrznymi

• 
• 
• 
• 

  Budzi się w pobliżu wyspy z okresu 3

• 

  Budzi się wzdłuż głównej anteny

Przestrzeń parametrów złożonej rodziny wykładniczej f(z)=exp(z)+c . Osiem promieni parametrycznych, które docierają do tego parametru, jest narysowanych na czarno.

Programy, które mogą rysować promienie zewnętrzne

• Mandel - program autorstwa Wolfa Junga napisany w C++ przy użyciu Qt z kodem źródłowym dostępnym na licencji GNU General Public License
  • Aplety Javy autorstwa Evgeny'ego Demidova (kod funkcji mndlbrot::turn autorstwa Wolfa Junga został przeniesiony na Javę) z darmowym kodem źródłowym
  • ezfract autorstwa Michaela Sargenta , wykorzystuje kod autorstwa Wolfa Junga
• OTIS autorstwa Tomoki KAWAHIRA - aplet Java bez kodu źródłowego
• Program Spider XView autorstwa Yuvala Fishera
• YABMP autorstwa prof. Eugene'a Zaustinsky'ego dla DOS bez kodu źródłowego
• DH_Drawer autorstwa Arnauda Chéritata napisany dla systemu Windows 95 bez kodu źródłowego
• Programy Linas Vepstas C dla konsoli Linux z kodem źródłowym
• Program Julia autorstwa Curtisa T. McMullena napisany w języku C i poleceniami Linuksa dla konsoli powłoki C z kodem źródłowym
• program mjwinq autorstwa Matjaza Erata napisany w delphi/windows bez kodu źródłowego (dla promieni zewnętrznych wykorzystuje metody z quad.c w julia.tar autorstwa Curtisa T. McMullena)
• RatioField autorstwa Gerta Buschmanna , dla okien z kodem źródłowym Pascal dla Dev-Pascal 1.9.2 (z kompilatorem Free Pascal )
• Program Mandelbrota autorstwa Milana Va, napisany w Delphi z kodem źródłowym
• Power MANDELZOOM autorstwa Roberta Munafo
• ruff autorstwa Claude'a Heilanda-Allena

Zobacz też

• promienie zewnętrzne punktu Misiurewicza
• Portret orbity
• Punkty okresowe złożonych odwzorowań kwadratowych
• Stała Prouheta-Thue-Morse'a
• Twierdzenie Carathéodory'ego
• Linie pola zbiorów Julii

• Lennart Carleson i Theodore W. Gamelin, Complex Dynamics , Springer 1993
• Adrien Douady i John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes , Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
• John W. Milnor, okresowe orbity, promienie zewnętrzne i zbiór Mandelbrota: konto ekspozycyjne ; Géométrie complexe et systèmes dynamiques (Orsay, 1995), Astérisque nr 261 (2000), 277–333. (Po raz pierwszy pojawił się jako Stony Brook IMS Preprint w 1999 roku, dostępny jako arXiV:math.DS/9905169 .)
•   John Milnor , Dynamika w jednej zmiennej zespolonej , wydanie trzecie, Princeton University Press, 2006, ISBN 0-691-12488-4
• Wolf Jung: Homeomorfizmy na krawędziach zbioru Mandelbrota. doktorat praca dyplomowa z 2002 r

Linki zewnętrzne

• Hubbard Douady Potential, Field Lines autorstwa Inigo Quileza
• Splecione promienie wewnętrzne w zestawach map racjonalnych Julii autorstwa Roberta L. Devaneya
• Rozszerzanie promieni zewnętrznych w zestawach map racjonalnych Julii autorstwa Roberta L. Devaneya z Figenem Cilingirem i Elizabeth D. Russell
• Prezentacja Johna Hubbarda, Piękno i złożoność zbioru Mandelbrota, część 3.1 Zarchiwizowana 2008-02-26 w Wayback Machine
• filmy autorstwa ImpoliteFruit
• Mediolan Va. „Rysunek Mandelbrota” . Źródło 2009-06-15 .