Metryka uogólniona

W matematyce pojęcie metryki uogólnionej jest uogólnieniem metryki , w której odległość nie jest liczbą rzeczywistą , ale wziętą z dowolnego uporządkowanego pola .

Ogólnie rzecz biorąc, kiedy definiujemy przestrzeń metryczną, przyjmuje się, że funkcja odległości jest funkcją o wartościach rzeczywistych . Liczby rzeczywiste tworzą uporządkowane pole, które jest archimedesowe i uporządkowane . Te przestrzenie metryczne mają pewne ładne właściwości, takie jak: w przestrzeni metrycznej zwartość , zwartość sekwencyjna i zwartość policzalna są równoważne itp. Własności te mogą jednak nie być tak łatwe, jeśli funkcja odległości jest brana w dowolnie uporządkowanym polu, zamiast w ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {R}.}$

Wstępna definicja

Niech ${\ Displaystyle (F, +, \ cdot, <)}$ będzie dowolnie uporządkowanym polem i niepustym zbiorem ${\ displaystyle M} ;$ re ${\ Displaystyle d: M \ razy M \ do fa ^ {+} \ kubek \ {0 \}}$ się metryką na ${\ Displaystyle M,}$ jeśli spełnione są następujące warunki:

1. ${\ Displaystyle d (x, y) = 0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle x = y}$ ;
2. ${\ Displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$ (symetria);
3. ${\ Displaystyle d (x, y) + d (y, z) \ geq d (x, z)}$ (nierówność trójkąta).

Nie jest trudno sprawdzić, czy otwarte kule są ${\ Displaystyle B (x, \ delta) \;: = \ {y \ w M \;: d (x, y) <\ delta \}}$ tworzą podstawę dla odpowiedniej topologii, ta ostatnia nazywana topologią $na$ M z w ${\ Displaystyle F.}$

W związku z faktem, że $topologia$ porządku $jest$ monotonicznie normalna spodziewalibyśmy się, będzie co najmniej regularna .

Dalsze właściwości

Jednak zgodnie z $jest$ wyboru , każda ogólna metryka jest monotonicznie normalna ponieważ biorąc pod uwagę, że ${\ Displaystyle B (x, \ delta)}$ , istnieje otwarta kula $.$ takie, że ${\ Displaystyle x \ w B (x, \ delta) \ subseteq G.}$ Weź $\mu (x,G)=B\left(x,\delta /2\right).$ Sprawdź warunki normalności monotonicznej.

Dziwne jest to, że nawet bez wyboru ogólne wskaźniki są monotonicznie normalne .

dowód .

$polem$ I: jest Archimedesa .

Teraz, jeśli w $, G}$${\ Displaystyle$ otwarte, możemy wziąć ${\ styl wyświetlania \mu (x,G):=B(x,1/2n(x,G)),}$ gdzie ${\ Displaystyle n (x, G): = \ min \ {n \ w \ mathbb {N}: B (x, 1/n) \ subseteq G \} ,}$ i sztuczka jest wykonywana bez wyboru.

$niearchimedesowym$ II: jest polem .

Dla danego $,$ jest ${\ Displaystyle A (x, G): = \ {a \ w F: {\ tekst {dla wszystkich}} n \ w \ mathbb {N}, B (x, n \ cdot a) \ subseteq G \}. }$ zbiór $sol$

Zbiór nie jest pusty. ${\ Displaystyle A (x, G)}$ Ponieważ $_$$otwarty$ w $\ Displaystyle G.}$ otwarta $.$$Teraz$ , ponieważ nie jest to Archimdedes, istnieje pewne ${\ Displaystyle \ xi \ in F}$ takie, że dla wszystkich ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle n \ cdot 1 \ równoważnik \ xi.}$ Wstawiając ${\ Displaystyle a = k \ cdot (2 \ xi) ^ {- 1},}$ widzimy, że ${ \displaystyle a}$ jest w ${\ Displaystyle A (x, G).}$

Teraz zdefiniujmy ${\ Displaystyle \ mu (x, G) = \ bigcup \ {B (x, a): a \ in A (x, G) \}.} Pokażemy, że w odniesieniu do$ tego operatora mu przestrzeń jest monotoniczna normalna. Zauważ, że ${\ Displaystyle \ mu (x, G) \ subseteq G.}$

Jeśli $y}$$displaystyle$ nie jest w (otwarty zestaw zawierający ${\ displaystyle x}$ ) i ${\ displaystyle x}$ jest w (otwarty zestaw zawierający ${\ displaystyle$$} displaystyle$$_$ pokazalibyśmy _ Jeśli nie, powiedz ${\ displaystyle z}$ jest na skrzyżowaniu. Następnie

$${\ Displaystyle \ istnieje a \ w A (x, G) \ dwukropek d (x, z) <a; \; \; \ istnieje b \ w A (y, H) \ dwukropek d (z, y) <b .}$$

Z powyższego otrzymujemy, że $, z) + d (z, y) <2 \ cdot \ max \ {a, b \}}, co jest niemożliwe, ponieważ oznaczałoby to, że$${\ Displaystyle d (x, y) \ równoważnik d ($ albo $μ$ do $x, G) \ subseteq G}$${\ Displaystyle \ mu (y, H) \ subseteq H.}$ lub ${\ Displaystyle x}$ należy do To kończy dowód.

Zobacz też

• Uporządkowana topologiczna przestrzeń wektorowa
• Przestrzeń pseudometryczna - Uogólnienie przestrzeni metrycznych w matematyce
• Przestrzeń jednolita - Przestrzeń topologiczna z pojęciem jednolitych właściwości

Linki zewnętrzne

• Dyskusja FOM