Prawdziwy zamknięty pierścień

W matematyce prawdziwy pierścień zamknięty ( RCR ) jest pierścieniem przemiennym A , będącym podpierścieniem iloczynu rzeczywistych ciał zamkniętych , który jest domknięty ciągłymi funkcjami półalgebraicznymi zdefiniowanymi na liczbach całkowitych .

Przykłady prawdziwie zamkniętych pierścieni

Ponieważ rygorystyczna definicja prawdziwego pierścienia zamkniętego ma charakter techniczny, wygodnie jest najpierw zapoznać się z listą najważniejszych przykładów. Wszystkie następujące pierścienie są naprawdę zamkniętymi pierścieniami:

prawdziwe zamknięte pola . To są dokładnie te prawdziwe zamknięte pierścienie, które są polami .
pierścień wszystkich funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych na całkowicie regularnej przestrzeni X . Ponadto pierścień wszystkich ograniczonych funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych na X jest rzeczywiście domknięty.
wypukłe podpierścienie rzeczywistych pól zamkniętych. Są to dokładnie te rzeczywiście zamknięte pierścienie, które są również pierścieniami wyceny i które początkowo badali Cherlin i Dickmann (użyli oni terminu „prawdziwie zamknięty pierścień” na określenie tego, co obecnie nazywa się „prawdziwie zamkniętym pierścieniem wyceny”).
pierścień A wszystkich ciągłych funkcji półalgebraicznych na zbiorze półalgebraicznym rzeczywistego ciała domkniętego (z wartościami w tym polu). Ponadto poddzielenie wszystkich ograniczonych (w jakimkolwiek sensie) funkcji w A jest rzeczywiście domknięte.
(uogólniając poprzedni przykład) pierścień wszystkich (ograniczonych) ciągłych definiowalnych funkcji na definiowalnym zbiorze S dowolnego rozwinięcia M pierwszego rzędu rzeczywistego ciała zamkniętego (o wartościach w M ). $.$ pierścień wszystkich (ograniczonych) definiowalnych funkcji zamknięty
Prawdziwe zamknięte pierścienie to właśnie pierścienie globalnych przekrojów afinicznych rzeczywistych przestrzeni zamkniętych (uogólnienie przestrzeni półalgebraicznych ) i w tym kontekście zostały wynalezione przez Nielsa Schwartza na początku lat 80-tych.

Definicja

Prawdziwy pierścień zamknięty to zredukowany, przemienny pierścień jedynkowy A , który ma następujące właściwości:

Zbiór kwadratów A jest zbiorem nieujemnych elementów częściowego rzędu ≤ na A i ( A ,≤) jest pierścieniem f .
Warunek wypukłości: Dla wszystkich a , b w A , jeśli 0 ≤ a ≤ b to b | 2 . ^_
Dla każdego ideału pierwszego p A , pierścień klasy reszt A / p jest całkowo domknięty , a jego pole ułamków jest rzeczywistym ciałem zamkniętym.

Link do definicji na początku tego artykułu znajduje się w poniższej sekcji dotyczącej właściwości algebraicznych.

Rzeczywiste domknięcie pierścienia przemiennego

Każdy przemienny pierścień jednostkowy R ma tak zwane rzeczywiste domknięcie rcl( R ) i jest ono unikalne aż do unikalnego homomorfizmu pierścienia po R . Oznacza to, że rcl ( R ) jest $i$ istnieje iniekcyjny homomorfizm że Homomorfizm pierścienia $R )$ $\ displaystyle g: rcl (R) \ do A}$ za {\ displaystyle f ${\ displaystyle f = g \ circ r}$ \ A } .

Na przykład rzeczywiste domknięcie pierścienia wielomianowego ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [T_ {1}, ..., T_ {n}]}$ jest pierścieniem ciągłych funkcji półalgebraicznych ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}\to \mathbb {R} }$ .

Dowolny pierścień R jest półrzeczywisty (tzn. −1 nie jest sumą kwadratów w R ) wtedy i tylko wtedy, gdy rzeczywistym domknięciem R nie jest pierścień zerowy.

Rzeczywiste zamknięcie uporządkowanego pola na ogół nie jest rzeczywistym zamknięciem pola bazowego. Na $zamknięcie$ rzeczywiste uporządkowanego $podpola$ R za ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {alg}}$ rzeczywistych liczb algebraicznych , podczas gdy rzeczywiste domknięcie pola ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$ jest pierścieniem ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {alg} \ razy \ mathbb {R} _ {alg}}$ (odpowiadający dwóm rzędom ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})})$ . Mówiąc bardziej ogólnie, rzeczywiste domknięcie pola F jest pewnym pośrednim iloczynem rzeczywistych domknięć uporządkowanych pól ( F , P ), gdzie P przebiega przez porządki F. _

Właściwości algebraiczne

Kategoria RCR rzeczywistych zamkniętych pierścieni, która ma rzeczywiste zamknięte pierścienie jako obiekty i homomorfizmy pierścieni jako morfizmy , ma następujące właściwości:

Iloczyny dowolne , granice bezpośrednie i granice odwrotne (w kategorii przemiennych pierścieni jednostkowych) pierścieni rzeczywiście zamkniętych są ponownie rzeczywiście domknięte. Suma włókien dwóch rzeczywiście zamkniętych pierścieni B , C na pewnym rzeczywiście zamkniętym pierścieniu A istnieje w RCR i jest rzeczywistym domknięciem iloczynu tensorowego B i C przez A .
RCR ma dowolne limity i colimity .
RCR jest odmianą w sensie algebry uniwersalnej (ale nie pododmianą pierścieni przemiennych).

Dla prawdziwego zamkniętego pierścienia A naturalny homomorfizm A do iloczynu wszystkich jego pól resztowych jest izomorfizmem na podpierścieniu tego iloczynu, który jest domknięty ciągłymi funkcjami półalgebraicznymi zdefiniowanymi na liczbach całkowitych. I odwrotnie, każde podrzędne iloczynu pól rzeczywiście domkniętych o tej własności jest rzeczywiście domknięte.
Jeśli I jest radykalnym ideałem rzeczywiście zamkniętego pierścienia A , to także pierścień klasy pozostałości A / I jest rzeczywiście zamknięty. Jeśli I i J są radykalnymi ideałami prawdziwego zamkniętego pierścienia, to suma I + J jest znowu radykalnym ideałem.
Wszystkie klasyczne lokalizacje S ⁻¹ A rzeczywiście zamkniętego pierścienia A są rzeczywiście zamknięte. Kadłub epimorficzny i pełny pierścień ilorazów prawdziwie zamkniętego pierścienia są ponownie naprawdę zamknięte.
(Prawdziwy) pierścień holomorficzny H ( A ) prawdziwie zamkniętego pierścienia A jest ponownie naprawdę zamknięty. Z definicji H ( A ) składa się ze wszystkich elementów f w A o własności −N ≤ f ≤ N dla pewnej liczby naturalnej N . W odniesieniu do powyższych przykładów oznacza to, że wszystkie pierścienie ograniczonych (półalgebraicznych/definiowalnych) funkcji ciągłych są rzeczywiście domknięte.
$wsparcia$ wsparcia z rzeczywistego widma prawdziwego zamkniętego pierścienia na jego widmo Zariskiego , które wysyła uporządkowanie P do jego homeomorfizmem W szczególności widmo Zariski'ego każdego rzeczywistego zamkniętego pierścienia A jest systemem pierwiastkowym (w sensie teorii grafów ), a zatem A jest również pierścieniem Gel'fanda (tj. każdy ideał pierwszy A jest zawarty w unikalnym ideale maksymalnym z A ). Porównanie widma Zariskiego A z widmem Zariskiego H ( A ) prowadzi do homeomorfizmu pomiędzy maksymalnymi widmami tych pierścieni, uogólniając twierdzenie Gel'fanda-Kołmogorowa dla pierścieni o rzeczywistych funkcjach ciągłych.
Naturalne odwzorowanie r dowolnego pierścienia R do jego rzeczywistego zamknięcia rcl( R ) , jak wyjaśniono powyżej, indukuje homeomorfizm z rzeczywistego widma rcl( R ) do rzeczywistego widma R.
Podsumowując i znacząco wzmacniając poprzednie dwie własności, prawdą jest, co następuje: Naturalne odwzorowanie r od dowolnego pierścienia R do jego rzeczywistego domknięcia rcl( R ) powoduje identyfikację schematu afinicznego rcl( R ) z afiniczną rzeczywistą przestrzenią zamkniętą R. _
Każdy lokalny rzeczywiście zamknięty pierścień jest pierścieniem Henselowskim (ale ogólnie rzecz biorąc, lokalne rzeczywiste zamknięte domeny nie są pierścieniami wyceny).

Właściwości teoretyczne modelu

Klasa rzeczywistych pierścieni zamkniętych jest aksjomatyzowalna i nierozstrzygalna pierwszego rzędu . Rozstrzygalna jest klasa wszystkich realnie zamkniętych pierścieni wyceny (wg Cherlina-Dickmanna) oraz klasa wszystkich realnie zamkniętych pól wartościowania jest rozstrzygalna (wg Tarskiego). Po nazwaniu dającej się zdefiniować radykalnej relacji, rzeczywiste pierścienie zamknięte mają modelowego towarzysza , a mianowicie regularne , rzeczywiste pierścienie zamknięte von Neumanna .

Porównanie z charakterystykami rzeczywistych pól zamkniętych

Istnieje wiele różnych charakterystyk rzeczywistych pól zamkniętych . Na przykład w kategoriach maksymalizacji (w odniesieniu do rozszerzeń algebraicznych): rzeczywiste ciało zamknięte jest ciałem maksymalnie uporządkowanym; lub rzeczywiste pole zamknięte (wraz z jego unikalnym uporządkowaniem) jest polem maksymalnie uporządkowanym. Inna charakterystyka mówi, że twierdzenie o wartości pośredniej obowiązuje dla wszystkich wielomianów w jednej zmiennej w (uporządkowanym) polu. W przypadku pierścieni przemiennych wszystkie te właściwości można (i są) analizować w literaturze. Wszystkie prowadzą do różnych klas pierścieni, które niestety nazywane są również „prawdziwie zamkniętymi” (ponieważ pewna charakterystyka pól rzeczywiście zamkniętych została rozszerzona na pierścienie). Nic z nich prowadzi do klasy pierścieni rzeczywiście zamkniętych i żaden z nich nie pozwala na zadowalające pojęcie operacji zamknięcia. Centralnym punktem definicji rzeczywistych pierścieni zamkniętych jest globalizacja pojęcia rzeczywistego pola zamkniętego na pierścienie, gdy pierścienie te są reprezentowane jako pierścienie funkcji w jakiejś przestrzeni (zwykle jest to rzeczywiste widmo pierścienia).

Czerlin, Grzegorz. Pierścienie funkcji ciągłych: problemy decyzyjne Modelowa teoria algebry i arytmetyki (Proc. Conf., Karpacz, 1979), s. 44–91, Lecture Notes in Math., 834, Springer, Berlin, 1980.
Cherlin, Gregory (1-RTG2); Dickmann, Max A. Prawdziwie zamknięte pierścienie. II. Teoria modelu. Anna. Czysta aplikacja Logika 25 (1983), nr. 3, 213–231.
A. Prestel, N. Schwartz. Modelowa teoria rzeczywistych pierścieni zamkniętych. Teoria wyceny i jej zastosowania, tom. I (Saskatoon, SK, 1999), 261–290, Fields Inst. Comm., 32, Amer. Matematyka. Soc., Providence, RI, 2002.
Schwartz, Niels. Podstawowa teoria rzeczywistych przestrzeni zamkniętych. Wspomnienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego 1989 ( ISBN 0821824600 )
Schwartz, Niels; Madden, James J. Pierścienie funkcyjne półalgebraiczne i reflektory pierścieni częściowo uporządkowanych. Notatki z wykładów z matematyki, 1712. Springer-Verlag, Berlin, 1999
Schwartz, Niels. Prawdziwe zamknięte pierścienie. Algebra i porządek (Luminy-Marsylia, 1984), 175–194, Res. Do potęgi. Matematyka, 14, Heldermann, Berlin, 1986
Schwartz, Niels. Pierścienie o funkcjach ciągłych jako pierścienie rzeczywiste zamknięte. Uporządkowane struktury algebraiczne (Curaçao, 1995), 277–313, Kluwer Acad. Publikacja, Dordrecht, 1997.
Tressl, Marcus. Super prawdziwe zamknięte pierścienie. Fundamenta Mathematicae 194 (2007), nr. 2, 121–177.