Funkcja liczenia liczb pierwszych

„Π(x)” przekierowuje tutaj. Aby poznać wariant funkcji gamma, zobacz Funkcja Gamma § Funkcja Pi .

W matematyce funkcja zliczania liczb pierwszych to funkcja zliczająca liczbę liczb pierwszych mniejszą lub równą pewnej liczbie rzeczywistej x . Jest oznaczany przez π ( x ) (niezwiązane z liczbą π ).

Wartości π ( n ) dla pierwszych 60 dodatnich liczb całkowitych

Tempo wzrostu

Główny artykuł: Twierdzenie o liczbach pierwszych

Bardzo interesujące w teorii liczb jest tempo wzrostu funkcji liczenia liczb pierwszych. Pod koniec XVIII wieku Gauss i Legendre przypuszczali, że jest to przybliżone

$${\ Displaystyle {\ Frac {x} {\ log (x)}}}$$

gdzie log jest logarytmem naturalnym w tym sensie, że

$${\ Displaystyle \ lim _ {x \rightarrow \infty} {\ Frac {\ pi (x)} {x/\ log (x)} }=1.}$$

To stwierdzenie jest twierdzeniem o liczbach pierwszych . Równoważne stwierdzenie to

$${\ Displaystyle \ lim _ {x \rightarrow \infty} \ pi (x) /\ nazwa operatora {li} (x) = 1}$$

gdzie li jest funkcją całki logarytmicznej . Twierdzenie o liczbach pierwszych zostało po raz pierwszy udowodnione w 1896 r. niezależnie przez Jacques'a Hadamarda i Charlesa de la Vallée Poussina , wykorzystując właściwości funkcji zeta Riemanna wprowadzonej przez Riemanna w 1859 r . Znaleziono dowody twierdzenia o liczbach pierwszych bez użycia funkcji zeta ani analizy zespolonej około 1948 r. przez Atle Selberga i Paula Erdősa (w większości niezależnie).

Dokładniejsze szacunki

Udowodnił to w 1899 roku de la Vallée Poussin

$${\ Displaystyle \ pi (x) = \ nazwa operatora {li} (x) + O \ lewo (xe ^ { -a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as}}x\to \infty }$$

dla jakiejś stałej dodatniej a . Tutaj O ...) ( jest notacją dużego O.

Obecnie $_$ dokładniejsze Udowodnił to na przykład w 2002 roku Kevin Ford

$${\ Displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x) + O \ lewo (x \ exp \ lewo (-0,2098 (\ log x) ^ {\ Frac {3} {5}} (\ log \ log x)^{-{\frac {1}{5}}}\right)\right).}$$

$displaystyle \$ wyraźną górną granicę różnicy między a : ( $pi ($ }

$${\ Displaystyle {\ duży |} \ pi (x) - \ operatorname {li} (x) {\ duży |} \$$

dla ${\ displaystyle x \ geq 229$ }

W przypadku wartości , które nie są nadmiernie duże, jest większa niż $operatora {li} (x)}$$\ displaystyle \$ π $\ displaystyle \ pi (x)}$ Jednak $_$ _ Omówienie tego można znaleźć w numerze Skewesa .

Dokładna forma

Dla ${\ Displaystyle x> 1}$ niech ${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ pi (x) -1/2}$ gdy $liczbą$ pierwszą i w przeciwnym razie ${\ displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ pi (x)}$ Bernhard Riemann w swojej pracy Udowodniono, że liczba liczb pierwszych mniejszych niż dana wielkość wynosi ${\ displaystyle \ pi _ {0} (x)}$

$${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ nazwa operatora {R} (x) - \ suma _ {\ rho} \ nazwa operatora {R} (x^{\rho }),}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {R} (x) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\frac {\mu (n)}}\operatorname {li} (x^{1/n}),}$$

μ ( n ) to funkcja Möbiusa , li( x ) to logarytmiczna funkcja całkowa , ρ indeksuje każde zero funkcji zeta Riemanna , a li( x ^ρ/n ) nie jest oceniane poprzez cięcie gałęzi , ale zamiast tego jest uważane za Ei ( ρ / n log x ) gdzie Ei( x ) jest całką wykładniczą . Jeśli zbierze się trywialne zera i sumę przyjmie się tylko po nietrywialnych zerach ρ funkcji zeta Riemanna , wówczas można przybliżyć wzorem ${\ displaystyle \ pi _ {0} (x)}$

$${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) \ około \ nazwa operatora {R} (x) - \ suma _ {\ rho} \ operatorname {R} (x ^ {\ rho}) - {\ Frac {1} {\log {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log {x}}}.}$$

Hipoteza Riemanna sugeruje Re( s ) = 1/2 , że każde takie nietrywialne zero leży wzdłuż .

Tabela π ( x ), x / log x i li ( x )

Tabela pokazuje porównanie trzech funkcji π ( x ), x / log x i li( x ) przy potęgach 10. Zobacz także, i

X	π ( x )	π ( x ) - x / log x	li( x ) - π ( x )	x / π ( x )	x / log x % Błąd
10	4	0	2	2.500	-8,57%
10 2	25	3	5	4.000	13,14%
10 3	168	23	10	5,952	13,83%
10 4	1229	143	17	8.137	11,66%
10 5	9592	906	38	10.425	9,45%
10 6	78 498	6116	130	12.739	7,79%
10 7	664579	44158	339	15.047	6,64%
10 8	5 761 455	332774	754	17.357	5,78%
10 9	50 847 534	2 592 592	1701	19.667	5,10%
10 10	455 052 511	20 758 029	3104	21,975	4,56%
10 11	4 118 054 813	169 923 159	11588	24.283	4,13%
10 12	37 607 912 018	1 416 705 193	38263	26.590	3,77%
10 13	346 065 536 839	11 992 858 452	108 971	28.896	3,47%
10 14	3 204 941 750 802	102 838 308 636	314890	31.202	3,21%
10 15	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1 052 619	33.507	2,99%
10 16	279 238 341 033 925	7 804 289 844 393	3214632	35.812	2,79%
10 17	2 623 557 157 654 233	68 883 734 693 928	7 956 589	38.116	2,63%
10 18	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536	21 949 555	40.420	2,48%
10 19	234 057 667 276 344 607	5 481 624 169 369 961	99 877 775	42,725	2,34%
10 20	2220819602560918840	49 347 193 044 659 702	222 744 644	45.028	2,22%
10 21	21 127 269 486 018 731 928	446 579 871 578 168 707	597 394 254	47.332	2,11%
10 22	201 467 286 689 315 906 290	4 060 704 006 019 620 994	1 932 355 208	49.636	2,02%
10 23	1 925 320 391 606 803 968 923	37 083 513 766 578 631 309	7250186216	51,939	1,93%
10 24	18 435 599 767 349 200 867 866	339 996 354 713 708 049 069	17 146 907 278	54.243	1,84%
10 25	176 846 309 399 143 769 411 680	3 128 516 637 843 038 351 228	55 160 980 939	56.546	1,77%
10 26	1 699 246 750 872 437 141 327 603	28 883 358 936 853 188 823 261	155 891 678 121	58.850	1,70%
10 27	16 352 460 426 841 680 446 427 399	267 479 615 610 131 274 163 365	508 666 658 006	61.153	1,64%
10 28	157 589 269 275 973 410 412 739 598	2 484 097 167 669 186 251 622 127	1 427 745 660 374	63.456	1,58%
10 29	1 520 698 109 714 272 166 094 258 063	23 130 930 737 541 725 917 951 446	4551193622464	65,759	1,52%

Wykres przedstawiający stosunek funkcji zliczania liczb pierwszych π ( x ) do dwóch jej przybliżeń, x /log x i Li ( x ). Gdy x rośnie (zauważ, że oś x jest logarytmiczna), oba stosunki dążą do 1. Stosunek dla x /log x zbiega się z góry bardzo powoli, podczas gdy stosunek dla Li( x ) zbiega się szybciej od dołu.

W internetowej Encyklopedii sekwencji całkowitych kolumna π ( x ) to sekwencja OEIS : A006880 , π ( x ) − x /log x to sekwencja OEIS : A057835 , a li( x ) − π ( x ) to sekwencja OEIS : A057752 .

Wartość π (10 ²⁴ ) została pierwotnie obliczona przez J. Buethego, J. Franke , A. Josta i T. Kleinjunga przy założeniu hipotezy Riemanna . Zostało to później bezwarunkowo zweryfikowane w obliczeniach DJ Platta. Wartość π (10 ²⁵ ) jest dziełem J. Buethego, J. Franke , A. Josta i T. Kleinjunga. Wartość π (10 ²⁶ ) została obliczona przez DB Staple. W ramach tych prac zweryfikowano także wszystkie inne wcześniejsze wpisy w tej tabeli.

Wartość 10 ²⁷ została ogłoszona w 2015 roku przez Davida Baugha i Kim Walischa.

Wartość 10 ²⁸ ogłosili w 2020 roku David Baugh i Kim Walisch.

Wartość 10 ²⁹ ogłosili w 2022 roku David Baugh i Kim Walisch.

Algorytmy obliczania π ( x )

Prostym sposobem na znalezienie , $($ nie jest zbyt duży, jest użycie sita Eratostenesa w celu uzyskania liczb pierwszych mniejszych lub równych $} displaystyle x},$$x ) {\ displaystyle \$ a następnie je policzyć.

Bardziej skomplikowany sposób znalezienia $:$ opracowany przez Legendre'a (przy użyciu $x$$i$ wykluczenia biorąc pod uwagę , że odrębnymi liczbami pierwszymi, to liczba liczb całkowitych mniejszych lub równych $\ displaystyle x}$ , które są podzielne przez żadne ${\ displaystyle p_ {i}}$ jest

${\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor - \sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i } p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\ rfloor +\cdots }$

( $oznacza$ funkcję . _ Liczba ta jest więc równa

${\ Displaystyle \ pi (x) - \ pi \ lewo ({\ sqrt {x}} \ prawo) + 1}$

$styl wyświetlania x}$ liczby $_$ liczbami $równymi$ .

Algorytm Meissela-Lehmera

Główny artykuł: algorytm Meissela – Lehmera

${\ Displaystyle \ p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {n} \ }$ opublikowanych $opisał$ 1870–1885 Ernst Meissel oceny być pierwszą $n {\ displaystyle \ n\}$ pierwszą i oznaczyć przez $)}$$ja {\ displaystyle \ p_$ i } $\} dla dowolnego ja ≤ m {\ Displaystyle$ \ ${\ Displaystyle \ ja \ równoważnik n \.}$ ( Następnie

${\ Displaystyle \ Phi (m, n) = \ Phi (m, n-1) - \ Phi \ lewo ({\ Frac {m} {p_ {n}}}, n-1 \ prawo).}$

Biorąc pod uwagę liczbę naturalną , ${\ Displaystyle \ m \,}$ jeśli ${\ Displaystyle \ n = \ pi \ lewo ({\ sqrt [{3}] {m}} \ prawo) \}$ i jeśli ${\ Displaystyle \ \ mu = \ pi \ lewo ({\ sqrt {m}} \ prawo) -n \,$ }

${\ Displaystyle \ pi (m) = \ Phi (m, n) + n (\ mu +1) + {\ Frac {\ mu ^ {2} - \ mu} {2}} -1 - \ suma _ { k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right)\ .}$

Stosując to podejście, Meissel obliczył, że $}$$, {\ Displaystyle \ \ pi (x) \$ 10 ⁵ , 10 ⁶ , 10 ⁷ i 10 ⁸ wynosi ,

W 1959 roku Derrick Henry Lehmer rozszerzył i uprościł metodę Meissela. Zdefiniuj dla $($ i dla liczb naturalnych i $k$${\ displaystyle \ k\,}$$\ P_ {k} (m,n)\ }$ jako liczba liczb nie większych niż m z dokładnie k czynnikami pierwszymi, wszystkie większe niż ${\ displaystyle \ p_ {n} \.}$ Ponadto ustaw ${\ Displaystyle \ P_ {0} (m, n) = 1 \.}$ Następnie

${\ Displaystyle \ \ Phi (m, n) = \ suma _ {k = 0} ^ {+ \ infty} P_ {k} ( m, n)\ }$

gdzie suma faktycznie ma tylko skończenie wiele składników niezerowych. Niech oznaczy liczbę całkowitą taką, że ${\ Displaystyle \ {\ sqrt [{3}] {m \}} \ równoważnik y \ równoważnik {\ sqrt {m$$y$ i ustaw ${\ Displaystyle \ n = \ pi (y) \.}$ Następnie ${\ Displaystyle \ P_ {1} (m, n) = \ pi (m) -n \ }$ i ${\ Displaystyle \ P_ {k} (m, n) = 0 \}$ kiedy ${\ displaystyle \ k \ geq 3 \.}$ Dlatego też

${\ Displaystyle \ \ pi (m) = \ Phi (m, n) + n-1-P_ {2} ( m, n)\ }$

Obliczenie można uzyskać w ten sposób: ${\ Displaystyle \ P_ {2} (m, n) \}$

${\ Displaystyle P_ {2} (m, n) = \ suma _ {y <p \ leq {\sqrt {m\ }}}\lewo(\pi \lewo({\frac {m}}{p}}\prawo)-\pi (p)+1\prawo)\,}$

gdzie suma jest po liczbach pierwszych.

Z drugiej strony obliczenia można wykonać, stosując następujące zasady: ${\ displaystyle \ \ Phi (m, n) \}$

1. ${\ Displaystyle \ \ Phi (m, 0) = \ lpiętro m \ rpodłoga \}$
2. ${\ Displaystyle \ \ Phi (m, b) = \ Phi (m, b-1) - \ Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)\ }$

Używając swojej metody i IBM 701 , Lehmer był w stanie obliczyć poprawną wartość ${\ Displaystyle \ \ pi \ lewo (10 ^ {9} \ prawo) \ }$ i przegapił poprawną wartość ${\ Displaystyle \ pi \ lewo (10 ^ {10} \ prawo)}$ o 1.

Dalsze udoskonalenia tej metody wprowadzili Lagarias, Miller, Odlyzko, Deléglise i Rivat.

Inne funkcje liczenia liczb pierwszych

Używane są również inne funkcje liczenia liczb pierwszych, ponieważ są wygodniejsze w obsłudze.

Funkcja zliczania mocy pierwszej Riemanna

Funkcja zliczania potęgi pierwszej Riemanna jest zwykle oznaczana jako lub ${\ displaystyle \ \ Pi _ {0} (x) \ }$ lub $displaystyle$ Ma skoki wynoszące $\ {\ tfrac {1} {\ n \ }} \ }$ przy potęgach pierwszych ${\ displaystyle \ p ^ {n}\ ,}$ i przyjmuje wartość pośrodku pomiędzy dwoma bokami w nieciągłościach ${\ Displaystyle \ \ pi (x) \.}$ Ten dodatkowy szczegół jest używany, ponieważ funkcję można następnie zdefiniować za pomocą odwrotnej transformaty Mellina .

Formalnie możemy zdefiniować przez ${\ displaystyle \ \ Pi _ {0} (x) \}$

${\ Displaystyle \ \ Pi _ {0} (x) = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\suma _{p^{n<x}{\frac {1}{n}}~+~\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\ Prawidłowy)\ }$

gdzie zmienna p w każdej sumie obejmuje wszystkie liczby pierwsze w określonych granicach.

Możemy też pisać

${\ Displaystyle \ \ Pi _ {0} (x) = \ suma _ {n = 2} ^ {x} {\ Frac {\ Lambda (n)} \ log n}} - {\ Frac {\ Lambda ( x)}{2\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}{\bigl (}x^{1/ n}{\bigr )}\ }$

gdzie jest funkcją von Mangoldta i ${\ displaystyle \ \ Lambda (n) \}$

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} {\ frac {\ \ pi (x- \ varepsilon) + \ pi (x + \ varepsilon) \ } {2}} \ .}$

Następnie podaje się wzór na inwersję Möbiusa

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \frac {\ \mu (n)\ }{n}}\ \Pi _{0}{\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}\ ,}$

gdzie jest funkcją Möbiusa $(n) \}$ mu

Znając związek między logarytmem funkcji zeta Riemanna a $i$ von Mangoldta korzystając ze wzoru Perrona mamy

${\ Displaystyle \ \ log \ zeta (s) = s \ int _ {0} ^ {\ infty} \ Pi _ {0 }(x)x^{-s-1}\ \mathrm {d} x\ }$

Funkcja Czebyszewa

Funkcja Czebyszewa waży liczby pierwsze lub potęgi pierwsze p ⁿ poprzez log( p ) :

${\ Displaystyle \ \ theta (x) = \ suma _ {p \ równoważnik x} \ log p \ }$

${\ Displaystyle \ \ psi (x) \ = \ \ suma _ {p ^ {n} \ równoważnik x} \ log p \ =\ \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ theta {\ bigl ( }x^{1/n}{\bigr )}\ =\ \sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .}$

Dla ${\ displaystyle x \ geq 2$ }

${\ Displaystyle \ \ vartheta (x) = \ pi (x) \ \ log x \ - \ \ int _ {2 }^{x}{\frac {\\pi (t)\ }{t}}\ \mathrm {d} t\ }$

I

${\ Displaystyle \ \ pi (x) = {\ Frac {\ vartheta (x)} {\ \ log x \ }} + \ int _ {2} ^ {x} {\ Frac {\ vartheta (t)} \ t\ \log ^{2}(t)\ }}\ \mathrm {d} t\ .}$

Wzory na funkcje liczące liczby pierwsze

Wzory na funkcje liczenia liczb pierwszych występują w dwóch rodzajach: formuły arytmetyczne i formuły analityczne. Jako pierwsze do udowodnienia twierdzenia o liczbach pierwszych zastosowano wzory analityczne na liczenie liczb pierwszych . Wywodzą się one z prac Riemanna i von Mangoldta i są powszechnie znane jako formuły jawne .

Mamy następujące wyrażenie na ψ :

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x) = x- \ suma _ {\ rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right ),}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} {\ frac {\ psi (x- \ varepsilon) + \ psi (x + \ varepsilon)} {2}}.}$

Tutaj ρ są zerami funkcji zeta Riemanna w pasie krytycznym, gdzie rzeczywista część ρ mieści się w przedziale od zera do jeden. Wzór obowiązuje dla wartości x większych niż jeden, czyli obszaru zainteresowania. Suma po pierwiastkach jest zbieżna warunkowo i należy ją przyjmować w kolejności rosnącej wartości bezwzględnej części urojonej. Zauważ, że ta sama suma po pierwiastkach trywialnych daje ostatnie odejmowanie we wzorze.

Dla ${\ displaystyle \ Pi _ {0} (x)}$ mamy bardziej skomplikowany wzór

${\ Displaystyle \ Pi _ {0} (x) = \ operatorname {li} (x) - \ suma _ {\ rho} \ operatorname {li} (x ^ {\ rho}) - \ log 2 + \ int _ {x} ^ {\ infty } } frac {dt} {t\ lewo (t ^ {2}-1 \ prawo) \ log t}}.}$

Jawny wzór Riemanna wykorzystujący pierwsze 200 nietrywialnych zer funkcji zeta

Ponownie wzór obowiązuje dla x > 1, podczas gdy ρ są nietrywialnymi zerami funkcji zeta uporządkowanymi według ich wartości bezwzględnej. Całka jest równa szeregowi po zerach trywialnych:

${\ Displaystyle \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {\ operatorname {d} t} {t \ lewo (t ^ { 2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{- 2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\ ,\mathrm {d} t\,\,{\overset {(u=t^{-2m})}{=}}-\sum _{m}\nazwa operatora {li} (x^{-2m}) }$

Pierwszy wyraz li( x ) jest typową funkcją całki logarytmicznej ; wyrażenie li( x ^ρ ) w drugim członie należy traktować jako Ei ( ρ log x ), gdzie Ei jest analityczną kontynuacją wykładniczej funkcji całkowej od liczb rzeczywistych ujemnych do płaszczyzny zespolonej z gałęzią przeciętą wzdłuż liczb rzeczywistych dodatnich.

Zatem daje nam wzór na inwersję Möbiusa

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ nazwa operatora {R} (x )-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-\sum _{m}\operatorname {R} (x^{-2m})}$

obowiązuje dla x > 1, gdzie

${\ Displaystyle \ operatorname {R} (x) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n}} \ operatorname {li} (x ^ {1 / n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\log x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}$

to funkcja R Riemanna, a μ ( n ) to funkcja Möbiusa . Ta ostatnia seria jest znana jako seria Gram . Ponieważ ${\ displaystyle \ log (x) <x}$ dla wszystkich ${\ displaystyle x> 0}$ , ten szereg jest zbieżny dla wszystkich dodatnich x w porównaniu z szeregiem dla ${\ displaystyle e ^{x}}$ . Logarytm w szeregu Grama $x ^ {\ rho$ po nietrywialnym zerowym udziale powinien być oceniany jako $\$ ρ .

Folkmar Bornemann, przyjmując założenie , że wszystkie zera funkcji zeta Riemanna są proste, udowodnił, że

${\ Displaystyle \ operatorname {R} (e ^ {-2 \ pi t}) = {\ Frac {1} {\ pi}} \ suma _ {k = 1 }^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta (2k+1)}}+{\frac {1 }$

gdzie $zeta$$.$ nietrywialne zera funkcji Riemanna

$) ,}$ , displaystyle $x$ podczas gdy pozostałe terminy dają „gładką” część funkcji liczenia liczb pierwszych, więc można z niej skorzystać

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {R} (x) - \ suma _ {m = 1} ^ {\ infty} \ nazwa operatora {R} ( x^{-2m})}$

jako dobry estymator $dla$ x $amplituda$ rzeczywistości ponieważ drugi człon zbliża się do 0 gdy część „hałaśliwa” jest heurystycznie związana z $x}} /$ przez R $\ Displaystyle {\ sqrt {$${\ displaystyle \ operatorname {R} (x)}$ jest równie dobre, a wahania rozkładu liczb pierwszych można wyraźnie przedstawić za pomocą funkcji

${\ Displaystyle {\ bigl (} \ pi _ {0} (x) - \ operatorname {R} (x) {\ bigr)} {\ Frac {\ log x} {\ sqrt {x}}}.}$

Nierówności

Oto kilka przydatnych nierówności dla π ( x ).

${\ Displaystyle {\ Frac {x} {\ log x}} <\ pi (x) <1,25506 {\ Frac {x} {\ log x}} }$

dla x ≥ 17.

Lewa nierówność obowiązuje dla x ≥ 17, a prawa nierówność obowiązuje dla x > 1. Stała 1,25506 wynosi ${\textstyle {\frac {30\log 113}}{113}}}$ do 5 miejsc po przecinku, jak ${\ Textstyle {\ Frac {\ pi (x) \ log x} {x}}}$ ma swoją maksymalną wartość przy x = 113.

Pierre Dusart udowodnił w 2010 roku:

${\ Displaystyle {\ Frac {x} {\ log x-1}} <\ pi (x)}$ dla ${\ Displaystyle x \ geq 5393}$ i

${\ Displaystyle \ pi (x) <{\ Frac {x} {\ log x-1,1}}}$ dla ${\ Displaystyle x \ geq 60184}$ .

Oto niektóre nierówności dla n- tej liczby pierwszej, p _n . Górną granicę zawdzięcza Rosserowi (1941), dolną Dusartowi (1999):

${\ Displaystyle n (\ log (n \ log n) -1) < p_ {n<n { \log(n\log n)}}$ dla n ≥ 6.

Lewa nierówność obowiązuje dla n ≥ 2, a prawa nierówność obowiązuje dla n ≥ 6.

Przybliżenie n- tej liczby pierwszej wynosi

${\ Displaystyle p_ {n} = n (\ log (n \ log n) -1) + {\ Frac {n (\ log \ log n-2)} {\ log n}} + O \ lewo ({\ frac {n(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right).}$

Ramanujan udowodnił, że nierówność

${\ Displaystyle \ pi (x) ^ {2} {\ Frac {ex} {\ log x}} \ pi \ lewo ({\ Frac { x}{e}}\right)}$

obowiązuje dla wszystkich wystarczająco $dużych$ .

W Dusart udowodnił (twierdzenie 6.6), że dla , ${\ displaystyle n \ geq 688383$ }

${\ Displaystyle p_ {n} \ równoważnik n \ lewo (\ log n + \ log \ log n -1+{\frac {\log \log n-2} {\log n}}\right),}$

i (Twierdzenie 6.7), że dla ${\ displaystyle n \ geq 3$ }

${\ Displaystyle p_ {n} \ geq n \ lewo (\ log n + \ log \ log n-1 + {\ Frac {\ log \ log n-2.1} {\ log n}} \ prawo).}$

$,$ udowodnił (Twierdzenie 5.1), dla

${\ Displaystyle \ pi (x) \ równoważnik {\ Frac {x} {\ log x} }\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}+{\frac {7,59}{\log ^{3}x }}\right)}$ ,

i to dla , ${\ displaystyle x \ geq 88789$ }

${\ Displaystyle \ pi (x)> {\ Frac {x} {\ log x}} \ lewo (1 + {\ Frac {1} {\ log x}} + {\ Frac {2} {\ log ^ { 2}x}}\right).}$

Hipoteza Riemanna

Hipoteza Riemanna implikuje znacznie ściślejsze ograniczenie błędu oszacowania dla , a tym samym bardziej regularny rozkład liczb pierwszych, ${\ displaystyle \ pi (x)}$

${\ Displaystyle \ pi (x) = \ nazwa operatora {li} (x) + O ({\ sqrt {x}} \ log {x}).}$

Konkretnie,

${\ Displaystyle |\ pi (x) - \ operatorname {li} (x) | <{\ Frac {\ sqrt {x}} {8 \ pi}} \,\log {x},\qquad {\text{dla wszystkich }}x\geq 2657.}$

Zobacz też

• Stała Foia
• Postulat Bertranda
• Hipoteza Oppermanna
• Premier Ramanujana

Linki zewnętrzne

• Chris Caldwell, Nth Prime Page w The Prime Pages .
• Tomás Oliveira e Silva, Tablice funkcji zliczania liczb pierwszych .