Funkcja Möbiusa

Funkcja Möbiusa
Nazwany po	Augusta Ferdynanda Möbiusa
Rok publikacji	1832
Autor publikacji	Augusta Ferdynanda Möbiusa
Liczba znanych terminów	nieskończony
Pierwsze warunki	1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1
Indeks OEIS	A008683; Funkcja Möbiusa (lub Moebiusa) mu(n). mu(1) = 1; mu(n) = (-1)^k jeśli n jest iloczynem k różnych liczb pierwszych; w przeciwnym razie mu(n) = 0.;

Funkcja Möbiusa $μ (n)$ to funkcja multiplikatywna w teorii liczb wprowadzona przez niemieckiego matematyka Augusta Ferdinanda Möbiusa (również w transliteracji Moebiusa ) w 1832 r. Jest wszechobecna w elementarnej i analitycznej teorii liczb i najczęściej pojawia się jako część jego imiennika Möbiusa formuła inwersji . Podążając za pracą Gian-Carlo Roty w latach sześćdziesiątych uogólnienia funkcji Möbiusa zostały wprowadzone do kombinatoryki i są podobnie oznaczane jako $μ (x)$ .

Definicja

Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zdefiniuj $μ (n)$ jako sumę pierwotnych $n$ - tych pierwiastków jedności . Ma wartości w ${-1, 0, 1} w$ $zależności$ od rozkładu n na czynniki pierwsze :

$μ (n) = +1$ , jeśli $n$ jest dodatnią liczbą całkowitą bez kwadratów z parzystą liczbą czynników pierwszych.
$μ (n) = -1$ , jeśli $n$ jest dodatnią liczbą całkowitą bez kwadratów z nieparzystą liczbą czynników pierwszych.
$μ (n) = - 0$ jeśli $n$ ma kwadratowy czynnik pierwszy.

Funkcję Möbiusa można alternatywnie przedstawić jako

{\ Displaystyle \ mu (n) = \ delta _ {\ omega (n) \ omega (n)} \ lambda (n)}

gdzie $δ$ to delta Kroneckera , $λ (n)$ to funkcja Liouville'a , $ω (n)$ to liczba różnych dzielników pierwszych $n$ , a $Ω (n)$ to liczba czynników pierwszych $n$ , liczona z krotnością.

Wartości

Wartości $μ (n)$ dla pierwszych 50 liczb dodatnich to

$N$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$μ (n)$	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1

$N$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$μ (n)$	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

$N$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
$μ (n)$	1	1	−1	0	0	1	0	0	−1	−1

$N$	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
$μ (n)$	−1	0	1	1	1	0	−1	1	1	0

$N$	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
$μ (n)$	−1	−1	−1	0	0	1	−1	0	0	0

Poniżej wykreślono pierwszych 50 wartości funkcji:

Większe wartości można wpisać:

Aplikacje

Seria matematyczna

Szereg Dirichleta , który generuje funkcję Möbiusa, jest (multiplikatywną) odwrotnością funkcji zeta Riemanna ; jeśli $s$ jest liczbą zespoloną z częścią rzeczywistą większą niż 1, mamy

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = {\ Frac {1} {\ zeta (s)}}. }

Można to zobaczyć na podstawie jego produktu Eulera

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ zeta (s)}} = \ prod _ {p {\ tekst {prima}}} {\ lewo (1- {\ Frac {1} {p ^ {s}} }\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right) \left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }

Również:

${\ Displaystyle \ suma \ ograniczenia _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {|\ mu (n) |} {n ^ {s}}} = {\ Frac {\ zeta (s)} {\ zeta (2s)}}}$

${\ Displaystyle \ suma \ limity _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ mu (n) \ ln n} {n}} = -1.}$

${\ Displaystyle \ suma \ ograniczenia _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ mu (n) \ ln ^ {2} n} {n}} = - 2 \ gamma,}$ gdzie ${\ Displaystyle \ gamma}$ - stała Eulera .

Szereg Lamberta dla funkcji Möbiusa to:

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ mu (n) q ^ {n}}} 1-q^{n}}}=q,}

który jest zbieżny dla $| q | < 1$ . Dla liczby pierwszej $α \geq 2$ również mamy

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty}} {\ Frac {\ mu (\ alfa n) q ^ {n}} {q ^ {n} -1}} = \ suma _ {n\geq 0}q^{\alfa ^{n}},|q|<1.}

Algebraiczna teoria liczb

Gauss udowodnił, że dla liczby pierwszej $p$ suma jej pierwiastków pierwotnych jest przystająca do $μ (p - 1) (mod p)$ .

Jeśli $F q$ oznacza skończone ciało rzędu $q$ (gdzie $q$ jest koniecznie potęgą pierwszą), to liczba $N$ monicznych nierozkładalnych wielomianów stopnia $n$ nad $F q$ jest dana wzorem:

{\ Displaystyle N (q, n) = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {d \ mid n} \ mu (d) q ^ {\ Frac {n} {d}}.}

Fizyka

Funkcja Möbiusa pojawia się również w modelu supersymetrii gazu pierwotnego lub swobodnego gazu Riemanna . W tej teorii podstawowe cząstki lub „pierwotne” mają energie $log p$ . W drugiej kwantyzacji rozważane są wzbudzenia wielocząstkowe; są one podane przez $log n$ dla dowolnej liczby naturalnej $n$ . Wynika to z faktu, że faktoryzacja liczb naturalnych na liczby pierwsze jest jednoznaczna.

W swobodnym gazie Riemanna może wystąpić dowolna liczba naturalna, jeśli prymony traktuje się jako bozony . Jeśli traktuje się je jako fermiony , to zasada wykluczenia Pauliego wyklucza kwadraty. Operatorem $(-1) F$ , który rozróżnia fermiony i bozony, jest zatem nikt inny jak funkcja Möbiusa $μ (n)$ .

Swobodny gaz Riemanna ma wiele innych interesujących powiązań z teorią liczb, w tym fakt, że funkcją podziału jest funkcja zeta Riemanna . Idea ta leży u podstaw próby udowodnienia hipotezy Riemanna przez Alaina Connesa .

Nieruchomości

Funkcja Möbiusa jest multiplikatywna (tj. $μ (ab) = μ (a) μ (b)$ ) zawsze, gdy $a$ i $b$ są względnie pierwsze .

Suma funkcji Möbiusa po wszystkich dodatnich dzielnikach $n$ (w tym samym $n$ i 1) wynosi zero, z wyjątkiem sytuacji, gdy $n = 1$ :

{\ Displaystyle \ suma _ {d \ mid n} \ mu (d) = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i {\ tekst { if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1.\end{przypadki}}}

Powyższa równość prowadzi do ważnego wzoru inwersji Möbiusa i jest głównym powodem, dla którego $μ$ ma znaczenie w teorii funkcji multiplikatywnych i arytmetycznych.

Inne zastosowania $μ (n)$ w kombinatoryce są związane z wykorzystaniem twierdzenia Pólya o wyliczeniach w grupach kombinatorycznych i wyliczeniach kombinatorycznych.

Istnieje wzór na obliczenie funkcji Möbiusa bez bezpośredniej znajomości faktoryzacji jej argumentu:

{\ Displaystyle \ mu (n) = \ suma _ {\ stackrel {1 \ równoważnik k \ równoważnik n} {\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}

tj. $μ (n)$ jest sumą pierwotnych $n$ - tych pierwiastków jedności . (Jednak złożoność obliczeniowa tej definicji jest co najmniej taka sama jak w przypadku definicji produktu Eulera).

Inne tożsamości spełniane przez funkcję Möbiusa obejmują

{\ Displaystyle \ suma _ {k \ równoważnik n} \ lewo \ lfloor {\ Frac {n} {k}} \ prawo \ rfloor \ mu (k) = 1}

I

{\ Displaystyle \ suma _ {jk \ równoważnik n} \ sałata \ lewo ({\ Frac {\ pi (jk-1 )}{2}}\right)\mu (k)=1}

.

Pierwszy z nich jest wynikiem klasycznym, a drugi został opublikowany w 2020 r. Podobne tożsamości dotyczą funkcji Mertensa .

Dowód wzoru na $Σ d | n μ (re)$

Za pomocą

{\ Displaystyle \ mu (n) = \ suma _ {\ stackrel {1 \ równoważnik k \ równoważnik n} {\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}

Formuła

{\ Displaystyle \ suma _ {d \ mid n} \ mu (d) = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i {\ tekst {jeśli }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1\end{przypadki}}}

można postrzegać jako konsekwencję faktu, że $n-$ ty pierwiastek jedności sumuje się do 0, ponieważ każdy $n$ -ty pierwiastek jedności jest pierwotnym $d$ -tym pierwiastkiem jedności dla dokładnie jednego dzielnika $d$ od $n$ .

Jednak możliwe jest również udowodnienie tej tożsamości na podstawie pierwszych zasad. Najpierw zauważ, że jest to trywialnie prawdziwe, gdy $n = 1$ . Załóżmy więc, że $n > 1$ . Wtedy istnieje bijekcja między czynnikami $d$ od $n$ , dla których $μ (d) \neq 0$ a podzbiorami zbioru wszystkich czynników pierwszych $n$ . Stwierdzony wynik wynika z faktu, że każdy niepusty zbiór skończony ma równą liczbę podzbiorów o nieparzystej i parzystej liczności.

Ten ostatni fakt można łatwo wykazać przez indukcję po liczności $| S |$ niepustego zbioru skończonego $S$ . Po pierwsze, jeśli $| S | = 1$ , istnieje dokładnie jeden podzbiór o nieparzystej liczności $S$ , a mianowicie samo $S$ , i dokładnie jeden podzbiór o parzystej liczności, a mianowicie $\emptyset$ . Dalej, jeśli $| S | > 1$ , następnie podziel podzbiory $S$ na dwie podklasy w zależności od tego, czy zawierają one jakiś stały element $x$ w $S$ . Istnieje oczywista bijekcja między tymi dwiema podklasami, łącząca w pary te podzbiory, które mają to samo uzupełnienie względem podzbioru ${x}$ . Ponadto jedna z tych dwóch podklas składa się ze wszystkich podzbiorów zbioru $S \ { x }$ , a zatem zgodnie z hipotezą indukcyjną ma równą liczbę podzbiorów o nieparzystej i parzystej liczności. Te podzbiory z kolei odpowiadają bijektywnie podzbiorom $S$ zawierającym parzystą i nieparzystą liczność ${x}$ . Krok indukcyjny wynika bezpośrednio z tych dwóch bijekcji.

Powiązanym wynikiem jest to, że współczynniki dwumianowe wykazują naprzemienne wpisy o nieparzystej i parzystej mocy, które sumują się symetrycznie.

Średnie zamówienie

Średnia wartość (w sensie średnich rzędów) funkcji Möbiusa wynosi zero. To stwierdzenie jest w rzeczywistości równoważne twierdzeniu o liczbach pierwszych .

$μ (n)$ przekrojów

$μ (n) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest podzielne przez kwadrat liczby pierwszej. Pierwsze liczby z tą właściwością to

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, .. (sekwencja A013929 w OEIS ).

Jeśli $n$ jest liczbą pierwszą, to $μ (n) = -1$ , ale sytuacja odwrotna nie jest prawdziwa. Pierwszy nie pierwszy $n$ , dla którego $μ (n) = -1$ to 30 = 2 × 3 × 5 . Pierwsze takie liczby z trzema różnymi czynnikami pierwszymi ( liczbami sferycznymi ) to

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (sekwencja A007304 w OEIS ) .

a pierwszymi takimi liczbami z 5 różnymi czynnikami pierwszymi są

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9 282, 9570, 9690, ... ( sekwencja A046387 w OEIS ).

Funkcja Mertensa

W teorii liczb inną funkcją arytmetyczną ściśle związaną z funkcją Möbiusa jest funkcja Mertensa , zdefiniowana przez

{\ Displaystyle M (n) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} \ mu (k)}

dla każdej liczby naturalnej $n$ . Funkcja ta jest ściśle powiązana z pozycjami zer funkcji zeta Riemanna . Więcej informacji na temat związku między $M (n)$ a hipotezą Riemanna można znaleźć w artykule na temat hipotezy Mertensa .

Z formuły

{\ Displaystyle \ mu (n) = \ suma _ {\ stackrel {1 \ równoważnik k \ równoważnik n} {\gcd(k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}

wynika z tego, że funkcja Mertensa jest dana wzorem:

\ Displaystyle M (n) = -1 + \ suma _ {a \ w {\ mathcal {F}} _ {n}} e ^{2\pi ia},}

gdzie F _$n$ jest sekwencją Fareya rzędu $n$ .

Ta formuła jest używana w dowodzie twierdzenia Franela-Landaua .

Uogólnienia

Algebry incydentów

W kombinatoryce każdemu lokalnie skończonemu częściowo uporządkowanemu zbiorowi (pozytowi) przypisywana jest algebra incydencji . Jednym z wyróżniających się elementów tej algebry jest „funkcja Möbiusa” tego poseta. Klasyczna funkcja Möbiusa omawiana w tym artykule jest zasadniczo równa funkcji Möbiusa zbioru wszystkich dodatnich liczb całkowitych częściowo uporządkowanych według podzielności . Zobacz artykuł na temat algebr incydentów , aby zapoznać się z dokładną definicją i kilkoma przykładami tych ogólnych funkcji Möbiusa.

funkcja Popoviciego

Constantin Popovici zdefiniował uogólnioną funkcję Möbiusa $μ k = μ * ... * μ$ jako $k$ -krotny splot Dirichleta funkcji Möbiusa z samą sobą. Jest to zatem ponownie funkcja multiplikatywna z

{\ Displaystyle \ mu _ {k} \ lewo (p ^ {a} \ prawo) = (-1) ^ {a} {\ binom {k }{A}}\ }

gdzie przyjmuje się, że współczynnik dwumianowy wynosi zero, jeśli $a > k$ . Definicję można rozszerzyć na zespol $k$ , odczytując dwumian jako wielomian w $k$ .

Implementacje

WOLFRAM MATHEMATICA ma funkcję MoebiusMu
Maxima CAS ma funkcję moebius (n)
geeksforgeeks ma implementacje C++, Python3, Java, C#, PHP, Javascript
Kod Rosetty
Funkcja Mędrca Moebiusa

Zobacz też

Notatki

Cytaty

Źródła

Apostol, Tom M. (1976), Wprowadzenie do analitycznej teorii liczb , Undergraduate Texts in Mathematics, Nowy Jork; Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929 , Zbl 0335.10001
Bost, J.-B.; Connes, Alain (1995), „Hecke Algebras, Typ III czynniki i przejścia fazowe ze spontanicznym łamaniem symetrii w teorii liczb” , Selecta Mathematica , New Series, 1 (3): 411–457, doi : 10.1007 / BF01589495 , S2CID 116418599
Deléglise, Marc; Rivat, Joël (1996), „Obliczanie sumowania funkcji Möbiusa” , Experimental Mathematics , 5 (4): 291–295, doi : 10,1080/10586458.1996.10504594
Edwards, Harold (1974), Funkcja Zeta Riemanna , Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae i inne artykuły dotyczące teorii liczb) , H. Maser (tłumacz niemiecki) (wyd. 2), Nowy Jork: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithemeticae , Arthur A. Clarke (tłumacz angielski) (poprawione 2nd ed.), New York: Springer , ISBN 0-387-96254-9
Hardy, GH ; Wright, EM (1980) [pierwsze wydanie opublikowane 1938], Wprowadzenie do teorii liczb (wyd. 5), Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5 - przez Internet Archive
Kline, Jeffery (2020), „Suma jednostkowa funkcji Möbiusa i Mertensa” (PDF) , Journal of Integer Sequences , 23 (8): 1–17
Jacobson, Nathan (2009) [pierwsza publikacja 1985], Basic algebra I (wyd. 2), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
Klimov, NI (2001) [1994], „Funkcja Möbiusa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Möbius, AF (1832), „Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen” , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 9 : 105–123
Pegg, Ed, Jr (2003), „Funkcja Möbiusa (i liczby bez kwadratów)” , Gry matematyczne Eda Pegga
Popovici, Constantin P. (1963), „Uogólnienie funkcji Möbiusa”, Studii şi Cercetări Matematice , 14 : 493–499, MR 0181602
Sandor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004), Podręcznik teorii liczb II , Dordrecht: Kluwer Academic, ISBN 1-4020-2546-7 , Zbl 1079.11001
Sandor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borysław, wyd. (2006), Podręcznik teorii liczb I , Dordrecht: Springer-Verlag , s. 187–226, ISBN 1-4020-4215-9 , Zbl 1151.11300

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Funkcja Möbiusa” . MathWorld .