Funkcja Liouville'a

Funkcja Lambda Liouville'a , oznaczona przez λ( n ) i nazwana na cześć Josepha Liouville'a , jest ważną funkcją arytmetyczną . Jego wartość wynosi +1, jeśli n jest iloczynem parzystej liczby liczb pierwszych , a −1, jeśli jest iloczynem nieparzystej liczby liczb pierwszych.

Wyraźnie podstawowe twierdzenie arytmetyki stwierdza, że ​​​​każdą dodatnią liczbę całkowitą n można jednoznacznie przedstawić jako iloczyn potęg liczb pierwszych: ${\ Displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1} }}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$ gdzie p ₁ < p ₂ < ... < p _k to liczby pierwsze i a _j są dodatnimi liczbami całkowitymi. (1 jest podane przez pusty iloczyn). Funkcje liczb pierwszych omega liczą liczby pierwsze, z (Ω) lub bez (ω) krotnością:

ω ( n ) = k ,

Ω ( n ) = za ₁ + za ₂ + ... + za _k .

λ( n ) jest określone wzorem

${\ Displaystyle \ lambda (n) = (-1) ^ {\ Omega (n)}.}$ (sekwencja A008836 w OEIS ).

λ jest całkowicie multiplikatywne, ponieważ Ω( n ) jest całkowicie addytywne , tj.: Ω( ab ) = Ω( a ) + Ω( b ). Ponieważ 1 nie ma czynników pierwszych, Ω(1) = 0, więc λ(1) = 1.

Jest to związane z funkcją Möbiusa μ ( n ). Zapisz n jako n = a ² b , gdzie b jest bezkwadratowe , tj. ω ( b ) = Ω ( b ). Następnie

${\ Displaystyle \ lambda (n) = \ mu (b).}$

Suma funkcji Liouville'a po dzielnikach n jest charakterystyczną funkcją kwadratów :

${\ Displaystyle \ suma _ {d | n} \ lambda (d) = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i {\ tekst {jeśli}} n {\ tekst {jest idealnym kwadratem}} \\ 0 & {\ tekst { inaczej.}}\end{przypadki}}}$

Odwrócenie Möbiusa tego wzoru daje

${\ Displaystyle \ lambda (n) = \ suma _ {d ^ {2} | n} \ mu \ lewo ({\ Frac {n} {d ^ {2}}} \ prawej).}$

Odwrotność Dirichleta funkcji Liouville'a jest wartością bezwzględną funkcji Möbiusa, ${\ Displaystyle \ lambda ^ {-1} (n) = |\ mu (n) | = \ mu ^ {2} (n)}$ funkcja charakterystyczna liczb całkowitych bez kwadratów. Mamy również, że ${\ Displaystyle \ lambda (n) \ mu (n) = \ mu ^ {2} (n)}$ .

Seria

Szereg Dirichleta dla funkcji Liouville'a jest powiązany z funkcją zeta Riemanna przez

${\ Displaystyle {\ Frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s)}} = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ lambda (n)}} {n ^ {s }}}.}$

Również:

${\ Displaystyle \ suma \ limity _ {n = 1} ^ {\ infty}} {\ Frac {\ lambda (n) \ ln n}}} = - \ zeta (2) = - {\ Frac {\ pi ^{2}}{6}}.}$

Szereg Lamberta dla funkcji Liouville'a to

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ { \infty}{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty}q^{n^{2} }={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}$

gdzie jest funkcją teta Jacobiego . ${\ Displaystyle \ vartheta _ {3} (q)}$

Przypuszczenia dotyczące ważonych funkcji sumujących

Sumaryczna funkcja Liouville'a L ( n ) do n = 10 ⁴ . Łatwo widoczne oscylacje są spowodowane pierwszym nietrywialnym zerem funkcji zeta Riemanna.

Podsumowanie funkcji Liouville'a L ( n ) do n = 10 ⁷ . Zwróć uwagę na pozorną niezmienność skali oscylacji.

Wykres logarytmiczny ujemnej sumującej funkcji Liouville'a L ( n ) do n = 2 × 10 ⁹ . Zielony kolec pokazuje samą funkcję (nie jej ujemną) w wąskim obszarze, w którym zawodzi hipoteza Pólyi ; niebieska krzywa pokazuje wkład oscylacyjny pierwszego zera Riemanna.

Podsumowanie harmoniczne Funkcja Liouville'a T ( n ) do n = 10 ³

Przypuszczenie Pólyi to przypuszczenie sformułowane przez George'a Pólyę w 1919 r. Definiowanie

${\ Displaystyle L (n) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} \ lambda (k)}$ (sekwencja A002819 w OEIS ),

przypuszczenie stwierdza, że ​​dla n $>$ to Najmniejszym kontrprzykładem jest n = 906150257, znalezione przez Minoru Tanakę w 1980 r. Od tego czasu wykazano, że L ( n ) > 0,0618672 √ n dla nieskończenie wielu dodatnich liczb całkowitych n , podczas gdy można to również wykazać tymi samymi metodami, że L ( n ) < -1,3892783 √ n dla nieskończenie wielu dodatnich liczb całkowitych n .

Dla każdego $hipotezę$ Riemanna, mamy, że funkcja sumująca ${\ Displaystyle L (x) \ równoważnik L_ {0} (x)}$ jest ograniczony przez

${\ Displaystyle L (x) = O \ lewo ({\ sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right) ,}$

gdzie $bezwzględną$ stałą graniczną.

Zdefiniuj odpowiednią sumę

${\ Displaystyle T (n) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} {\ Frac {\ lambda (k)} {k}}.}$

₀ Przez pewien czas było otwarte, czy T ( n ) ≥ 0 dla wystarczająco dużego n ≥ n (to przypuszczenie jest czasami – choć błędnie – przypisywane Pálowi Turánowi ). Zostało to następnie obalone przez Haselgrove'a (1958) , który wykazał, że T ( n ) przyjmuje wartości ujemne nieskończenie często. Potwierdzenie tej hipotezy o pozytywności prowadziłoby do dowodu hipotezy Riemanna , jak wykazał Pál Turán .

Uogólnienia

Mówiąc bardziej ogólnie, możemy rozważyć ważone funkcje sumujące nad funkcją Liouville'a zdefiniowaną dla dowolnego $sposób$ dla dodatnich liczb całkowitych x , gdzie jak wyżej) mamy przypadki szczególne ${\ Displaystyle L (x): = L_ {0} (x)}$ i ${\ Displaystyle T (x) = L_ {1} ( X)}$

${\ Displaystyle L _ {\ alfa} (x): = \ suma _ {n \ równoważnik x} {\ Frac {\ lambda (n)}} {n ^ {\ alfa}}}.}$

Te $funkcjami$ funkcje sumujące są związane z funkcją Mertensa sumującymi Moebiusa . W rzeczywistości mamy, że tak zwana nieważona lub zwykła funkcja dokładnie odpowiada sumie. ${\ Displaystyle L (x)}$

${\ Displaystyle L (x) = \ suma _ {d ^ {2} \ równoważnik x} M \ lewo ({\ Frac {x} {d ^ {2}}} \ prawej) = \ suma _ {d ^ { 2}\równik x}\sum _{n\równoważnik {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n).}$

Co więcej, funkcje te spełniają podobne asymptotyczne relacje ograniczające. Na $} >0}$ , ilekroć widzimy, że istnieje stała bezwzględna ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ alfa \ leq {\ Frac {1}$ takie, że

${\ Displaystyle L _ {\ alfa} (x) = O \ lewo (x ^ {1-\ alfa} \ exp \ lewo (-C _ {\ alfa} {\ Frac {(\ log x) ^ {3/5} }{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}$

Stosując wzór Perrona , lub równoważnie kluczową (odwrotną) transformatę Mellina , mamy to

${\ Displaystyle {\ Frac {\ zeta (2 \ alfa + 2 s)} \zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty}}{\frac {L_{\alpha}(x)}{x^{s+1}}}dx, }$

, które następnie można odwrócić za pomocą $0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}$ , ${$ pokazać, że dla $T\geq 1$ 2

$\ Displaystyle L _ {\ alfa} (x) = {\ Frac {1} {2 \ pi \ imath}} \ int _ {\ sigma _ {0} - \ imath T} ^ {\ sigma _ {0} +\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{ \alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T),}$

gdzie możemy wziąć ${\ Displaystyle \ sigma _ {0}: = 1- \ alfa + 1/\ log (x)}$ , a pozostałe warunki zdefiniowane tak mi ${\ Displaystyle E _ {\ alfa} (x) = O (x ^ {- \ alfa})$ i ${\ Displaystyle R _ {\ alfa} (x, T) \ rightarrow 0}$ jak ${\ Displaystyle T \ rightarrow \ infty}$ .

W szczególności, jeśli założymy, że hipoteza Riemanna (RH) jest prawdziwa i że wszystkie nietrywialne zera, oznaczone przez $imath \ gamma }$${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {1} {2}}$$x\geq 1}$ , funkcji zeta Riemanna są proste , to dla dowolnego $}$$}$ istnieje nieskończona sekwencja ${\ Displaystyle \ {T_ {v} \} _ {v \ geq 1}}$ co spełnia to ${\ Displaystyle v \ równoważnik T_ {v} \ równoważnik v +1}$ dla wszystkich v takie, że

${\ Displaystyle L _ {\ alfa} (x) = {\ Frac {x ^ {1/2-\ alfa}} {( 1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho)}{\zeta ^{\prime} (\rho)}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha}}{(\rho -\alpha)}}+E_{\alpha}(x)+R_{\alpha}(x, T_{v})+I_{\alfa}(x),}$

gdzie dla każdego coraz mniejszego definiujemy ${\ Displaystyle 0 <\ varepsilon <{\ Frac {1} {2}} - \ alfa}$

${\ Displaystyle I _ {\ alfa} (x): = {\ Frac {1} {2 \ pi \ imath \ cdot x ^ {\ alfa}}} \ int _ {\ varepsilon + \ alfa - \ imath \ infty} ^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty}{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha) }} ds,}$

a gdzie pozostała część

${\ Displaystyle R _ {\ alfa} (x, T) \ll x^{-\alpha}+{\frac {x^{1-\alpha}\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha}}{T^{ 1-\varepsilon }\log(x)}},}$

0 co oczywiście ma tendencję do T $\ displaystyle T \ rightarrow \ infty}$ . Te dokładne rozwinięcia formuł analitycznych ponownie mają podobne właściwości do tych odpowiadających ważonym funkcji Mertensa . Dodatkowo $\ Displaystyle$ ponieważ w postaci do $\ zeta (1/2) <$${\ displaystyle M (x)}$ w takim stopniu, w jakim dominujący wyraz wiodący w poprzednich wzorach przewiduje ujemne odchylenie wartości tych funkcji w stosunku do dodatnich liczb naturalnych x .

• Polia, G. (1919). „Verschiedene Bemerkungen zur Zahlenteorie”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 28 : 31–40.
•     Haselgrove, C. Brian (1958). „Obal przypuszczenie Pólyi”. Matematyka . 5 (2): 141–145. doi : 10.1112/S0025579300001480 . ISSN 0025-5793 . MR 0104638 . Zbl 0085.27102 .
•   Lehman R. (1960). „O funkcji Liouville'a” . Matematyka obliczeń . 14 (72): 311–320. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5 . MR 0120198 .
•   Tanaka, Minoru (1980). „Badanie numeryczne sumy skumulowanej funkcji Liouville'a” . Tokyo Journal of Mathematics . 3 (1): 187–189. doi : 10.3836/tjm/1270216093 . MR 0584557 .
• Weisstein, Eric W. „Funkcja Liouville” . MathWorld .
• AF Lavrik (2001) [1994], „Funkcja Liouville” , Encyklopedia matematyki , EMS Press