Twierdzenie o elementach pierwotnych

W teorii pola twierdzenie o elementach pierwotnych jest wynikiem charakteryzującym rozszerzenia pola o skończonym stopniu , które mogą być generowane przez pojedynczy element. Taki element generujący nazywany jest elementem pierwotnym rozszerzenia pola, a rozszerzenie nazywa się w tym przypadku rozszerzeniem prostym . Twierdzenie stwierdza, że skończone rozszerzenie jest proste wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje tylko skończenie wiele ciał pośrednich. Starszy wynik, często nazywany także „twierdzeniem o elementach pierwotnych”, stwierdza, że każdy element skończony jest rozdzielny rozszerzenie jest proste; można to postrzegać jako konsekwencję poprzedniego twierdzenia. Twierdzenia te implikują w szczególności, że wszystkie ciała liczb algebraicznych nad liczbami wymiernymi i wszystkie rozszerzenia, w których oba ciała są skończone, są proste.

Terminologia

Niech będzie rozszerzeniem pola ${\ displaystyle E/F}$ . Element ${\ Displaystyle \ alfa \ w E}$ jest elementem pierwotnym dla ${\ Displaystyle E/F} ,$ jeśli ${\ Displaystyle E = F (\ alfa),}$ tj. $α$ element można zapisać jako funkcję wymierną w ${\ displaystyle \ alpha}$ ze współczynnikami w ${\ displaystyle F}$ . Jeśli istnieje taki prymitywny element, to $określany$ proste rozszerzenie

$_$ rozszerzenie element $co$ $skończony$ _ _ element x z E można zapisać jednoznacznie w formie

{\ Displaystyle x = f_ {n-1} {\ alfa} ^ {n-1} + \ cdots + f_ {1} {\ alfa }+f_{0},}

gdzie ${\ Displaystyle f_ {i} \ in F}$ dla wszystkich ja . Czyli zestaw

{\ Displaystyle \ {1, \ alfa, \ ldots, {\ alfa} ^ {n-1} \}}

jest bazą dla E jako przestrzeni wektorowej nad F .

Przykład

Jeśli jeden przylega do $\$ wymiernych dwie liczby niewymierne $displaystyle {\ sqrt {3}}}$ \ sqrt $}}$ aby uzyskać pole rozszerzenia stopnia 4 , można pokazać to rozszerzenie mi ${\ Displaystyle E = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}})$ jest proste, co oznacza, że ${\ Displaystyle E = \ mathbb {Q} (\ alfa)}$ dla pojedynczego ${\ Displaystyle \ alpha \ in E}$ . Biorąc $,$ potęgi 1, α α ² α ³ można rozwinąć kombinacje , ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$ , ${\ Displaystyle {\ sqrt {3}}}$ , ${\ Displaystyle {\ sqrt {6}}}$ ze współczynnikami całkowitymi. Można rozwiązać ten układ równań liniowych dla i $\$ $displaystyle {\ sqrt {3}}}$ przez $)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\$ , aby otrzymać ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ tfrac {1} {2}} (\ alfa ^ {3} -9 \ alfa)}$ i ${\ Displaystyle {\ sqrt {3}} = - {\ tfrac {1} {2}} (\ alfa ^ {3} -11 \ alfa)}$ . To pokazuje, że α jest rzeczywiście elementem pierwotnym:

{\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}).}

Twierdzenia

Klasyczne twierdzenie o elementach pierwotnych brzmi:

Każde rozłączne rozszerzenie pola skończonego stopnia jest proste.

Twierdzenie to ma zastosowanie do algebraicznych ciał liczbowych , czyli skończonych rozszerzeń liczb wymiernych Q , ponieważ Q ma cechę 0, a zatem każde skończone rozszerzenie nad Q jest rozdzielne.

Następujące twierdzenie o elementach pierwotnych ( Ernst Steinitz ) jest bardziej ogólne:

Rozszerzenie pola skończonego

K

gdy istnieje tylko skończenie wiele pól pośrednich mi ⊇

Displaystyle E \ supseteq K \ supseteq F}

.

Korzystając z podstawowego twierdzenia teorii Galois , pierwsze twierdzenie bezpośrednio wynika z drugiego.

Charakterystyka str

Dla nierozdzielnego rozszerzenia cechy $ponieważ$ , istnieje jednak element pierwotny, pod warunkiem, że stopień [ : fa ] wynosi p: w nie może być żadnych nietrywialnych podobszarów pośrednich, ich stopnie byłyby czynnikami liczby pierwszej p .

Gdy [ E : F ] = p ² , element pierwotny może nie istnieć (w takim przypadku istnieje nieskończenie wiele pól pośrednich). Najprostszym przykładem jest pole funkcji wymiernych w dwóch nieokreślonych T i U nad ciałem skończonym z ${\ Displaystyle E = \ mathbb {F} _ {p} (T, U)}$ p elementów, a ${\ Displaystyle F = \ mathbb {F} _ {p} (T ^ {p}, U ^ {p})}$ . W rzeczywistości dla dowolnego α = g (T, U) w E , endomorfizm Frobeniusa pokazuje, że element α ^p leży w F , więc α jest pierwiastkiem z ${\ Displaystyle f (X) = X ^ {p} - \ alfa ^ {p} \ w F [X]}$ , a α nie może być elementem prymitywnym (stopień p ² nad F ), ale zamiast tego F (α) jest nietrywialnym polem pośrednim.

Konstruktywne wyniki

Generalnie zbiór wszystkich elementów pierwotnych dla skończonego rozłącznego rozszerzenia E / F jest dopełnieniem skończonego zbioru właściwych F -podprzestrzeni E , czyli pól pośrednich. Stwierdzenie to nic nie mówi w przypadku ciał skończonych , dla których istnieje teoria obliczeniowa poświęcona znalezieniu generatora grupy multiplikatywnej pola ( grupy cyklicznej ), która jest tym bardziej elementem pierwotnym (patrz element pierwotny (ciało skończone ) ). Gdzie F jest nieskończona, technika sprawdzająca zasadę przegródki uwzględnia liniową podprzestrzeń generowaną przez dwa elementy i dowodzi, że istnieje tylko skończenie wiele kombinacji liniowych

{\ Displaystyle \ gamma = \ alfa + c \ beta \}

z c w F , które nie generują podpola zawierającego oba elementy:

fa

{\ Displaystyle F (\ alfa, \ beta) / F (\ alfa + c \ beta)}

jest rozłącznym rozszerzeniem,

{\ Displaystyle F (\ alfa + c \ beta) \ subsetneq F (\ alfa, \ beta)}

istnieje nietrywialne osadzenie

{\ Displaystyle \ sigma: F (\ alfa, \ beta) \ do {\ overline {F}}},

którego ograniczenie do

{\ Displaystyle F (\ alfa + c \ beta) }

to tożsamość, która oznacza

{\ Displaystyle \ sigma (\ alfa) + c \ sigma (\ beta) = \ alfa + c \ beta}

i

{\ Displaystyle \ sigma (\ beta) \ neq \ beta}

tak, że do

} {\beta -\sigma (\beta)}}}

. To wyrażenie dla c może zająć tylko

{\ Displaystyle [F (\ alfa): F] [F (\ beta): F]}

różne wartości. dla

beta )}

innych wartości wtedy

do

{\ Displaystyle F (\ alfa, \ beta) = F (\ alfa

.

Jest to niemal natychmiastowe, ponieważ pokazuje, w jaki sposób wynik Steinitza implikuje wynik klasyczny, a granica dla liczby wyjątkowych c pod względem liczby wyników pól pośrednich (liczba ta jest czymś, co może być ograniczone teorią Galois i a priori ). Dlatego w tym przypadku metoda prób i błędów jest możliwą praktyczną metodą znajdowania prymitywnych elementów.

Historia

W swoim Pierwszym wspomnieniu z 1831 r. Évariste Galois naszkicował dowód klasycznego twierdzenia o elementach pierwotnych w przypadku rozszczepienia pola wielomianu na liczbach wymiernych. Luki w jego szkicu można było łatwo wypełnić (jak zauważył sędzia Siméon Denis Poisson ; Pamiętnik Galois został opublikowany dopiero w 1846 r.), Wykorzystując twierdzenie Josepha-Louisa Lagrange'a z 1771 r., Które Galois z pewnością znał. Jest prawdopodobne, że Lagrange był już świadomy twierdzenia o elementach pierwotnych dotyczącego podziału pól. Galois następnie mocno wykorzystał to twierdzenie w swoim opracowaniu Grupa Galois . Od tego czasu był używany w rozwoju teorii Galois i podstawowego twierdzenia teorii Galois . Te dwa twierdzenia o elementach pierwotnych zostały udowodnione w ich współczesnej formie przez Ernsta Steinitza w wpływowym artykule na temat teorii pola z 1910 roku; Steinitz nazwał „klasycznym” Twierdzeniem pierwiastków pierwotnych , a drugie Twierdzeniem pól pośrednich . Emil Artin przeformułował teorię Galois w latach trzydziestych XX wieku bez użycia twierdzeń o elementach pierwotnych.

Linki zewnętrzne