Kryterium Eisensteina

W matematyce kryterium Eisensteina daje warunek wystarczający , aby wielomian o współczynnikach całkowitych był nierozkładalny na liczbach wymiernych - to znaczy, aby nie można go było rozłożyć na czynniki w iloczyn niestałych wielomianów o współczynnikach wymiernych.

To kryterium nie ma zastosowania do wszystkich wielomianów o współczynnikach całkowitych, które są nieredukowalne na liczbach wymiernych, ale pozwala w niektórych ważnych przypadkach udowodnić nieredukowalność przy bardzo niewielkim wysiłku. Może mieć zastosowanie bezpośrednio lub po przekształceniu pierwotnego wielomianu.

Kryterium to nosi imię Gottholda Eisensteina . Na początku XX wieku było również znane jako twierdzenie Schönemanna-Eisensteina, ponieważ Theodor Schönemann jako pierwszy je opublikował.

Kryterium

Załóżmy, że mamy następujący wielomian o współczynnikach całkowitych .

{\ Displaystyle Q (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}

Jeśli istnieje taka liczba pierwsza $p$ , że spełnione są wszystkie następujące trzy warunki:

$p$ dzieli każdy $a ja$ dla $0 \leq ja < n$ ,
$p$ nie dzieli $n,$ i _
$p 2$ nie dzieli $a 0$ , _

wtedy $Q$ jest nierozkładalne na liczbach wymiernych. Będzie również nieredukowalny na liczbach całkowitych, chyba że wszystkie jego współczynniki mają wspólny nietrywialny czynnik (w takim przypadku $Q$ jako wielomian całkowity będzie miał pewną liczbę pierwszą, koniecznie różną od $p$ , jako nieredukowalny czynnik). Tej ostatniej możliwości można uniknąć, najpierw czyniąc $Q$ $prymitywną$ , dzieląc ją przez największy wspólny dzielnik jej współczynników ( zawartość Q ). Podział ten nie zmienia tego, czy $Q$ jest redukowalny, czy nie na liczbach wymiernych (szczegóły w Rozkład części pierwotnej na czynniki) i nie unieważni hipotezy kryterium dla $p$ (wręcz przeciwnie, może sprawić, że kryterium będzie obowiązywać dla niektórych liczb pierwszych , nawet jeśli nie przed podziałem).

Przykłady

Kryterium Eisensteina może być stosowane bezpośrednio (tj. przy użyciu pierwotnego wielomianu) lub po przekształceniu pierwotnego wielomianu.

Bezpośredni (bez transformacji)

Rozważmy wielomian $Q(x) = 3 x 4 + 15 x 2 + 10$ . Aby kryterium Eisensteina miało zastosowanie do liczby pierwszej $p$ , musi dzielić oba niewiodące współczynniki $15$ i $10$ , co oznacza, że tylko $p = 5$ może działać, i rzeczywiście tak jest, ponieważ $5$ nie dzieli wiodącego współczynnika $3$ , a jego kwadrat $25$ nie dzieli stałego współczynnika $10$ . Można zatem wnioskować, że $Q$ jest nieredukowalne nad $Q$ (a ponieważ jest prymitywne, także nad $Z ).$ Należy zauważyć, że ponieważ $Q$ ma stopień 4, wniosku tego nie można było wyciągnąć jedynie przez sprawdzenie, czy $Q$ nie ma pierwiastków wymiernych (co eliminuje możliwe czynniki stopnia 1), ponieważ możliwy byłby również rozkład na dwa czynniki kwadratowe.

Pośredni (po transformacji)

Często kryterium Eisensteina nie ma zastosowania do żadnej liczby pierwszej. Może się jednak zdarzyć, że dotyczy to (dla pewnej liczby pierwszej) wielomianu otrzymanego po podstawieniu (dla pewnej liczby całkowitej $a$ ) $x + a$ na $x$ . Fakt, że wielomian po podstawieniu jest nieredukowalny, pozwala wnioskować, że pierwotny wielomian jest również nieredukowalny. Ta procedura jest znana jako stosowanie przesunięcia .

Rozważmy na przykład $H = x 2 + x + 2$ , w którym współczynnik 1 z $x$ nie jest podzielny przez żadną liczbę pierwszą, kryterium Eisensteina nie ma zastosowania do $H$ . Ale jeśli podstawimy $x + 3$ za $x$ w $H$ , otrzymamy wielomian $x 2 + 7 x + 14$ , który spełnia kryterium Eisensteina dla liczby pierwszej $7$ . Ponieważ podstawienie jest automorfizmem pierścienia Q $[x],$ fakt, że otrzymujemy nierozkładalny wielomian po podstawieniu implikuje, że pierwotnie mieliśmy nierozkładalny wielomian. W tym konkretnym przykładzie byłoby prościej argumentować, że $H$ (będąc monicznym stopnia 2) mogłoby być redukowalne tylko wtedy, gdyby miało pierwiastek całkowity, czego oczywiście nie ma; jednak ogólna zasada próbowania podstawień w celu zastosowania kryterium Eisensteina jest użytecznym sposobem na poszerzenie jego zakresu.

Inną możliwością przekształcenia wielomianu tak, aby spełniał kryterium, która może być połączona z zastosowaniem przesunięcia, jest odwrócenie kolejności jego współczynników, pod warunkiem, że jego stały wyraz jest różny od zera (bez którego i tak byłby podzielny przez x $)$ . Dzieje się tak, ponieważ takie wielomiany są redukowalne w $R [x]$ wtedy i tylko wtedy, gdy są redukowalne w $R [x, x -1]$ (dla dowolnej dziedziny całkowej $R$ ), aw tym pierścieniu podstawienie $x -1$ za $x$ jest odwracalne kolejność współczynników (w sposób symetryczny względem stałego współczynnika, ale kolejne przesunięcie wykładnika równa się pomnożeniu przez jednostkę). Na przykład $2 x 5 - 4 x 2 - 3$ spełnia kryterium dla $p = 2$ po odwróceniu jego współczynników, a zatem (będąc prymitywnym) jest nierozkładalne w $Z [x]$ .

Wielomiany cyklotomiczne

Ważną klasą wielomianów, których nieredukowalność można ustalić za pomocą kryterium Eisensteina, są wielomiany cyklotomiczne dla liczb pierwszych $p$ . Taki wielomian otrzymuje się dzieląc wielomian $x p - 1$ przez współczynnik liniowy $x - 1$ , odpowiadający jego oczywistemu pierwiastkowi $1$ (który jest jego jedynym pierwiastkiem wymiernym, jeśli $p > 2$ ):

{\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {p} -1} {x-1}} = x ^ {p -1}+x^{p-2}+\cdots +x+1.}

Tutaj, podobnie jak we wcześniejszym przykładzie $H$ , współczynniki $1$ uniemożliwiają bezpośrednie zastosowanie kryterium Eisensteina. Jednak wielomian spełni kryterium dla $p$ po podstawieniu $x + 1$ za $x$ : to daje

{\ Displaystyle {\ Frac {(x + 1 )^{p}-1}{x}}=x^{p-1}+{\binom {p}{p-1}}x^{p-2}+\cdots +{\binom {p} {2}}x+{\binom {p}{1}},}

wszystkie z których niewiodące współczynniki są podzielne przez $p$ przez właściwości współczynników dwumianowych i którego stały współczynnik jest równy $p$ , a zatem niepodzielny przez $p 2$ . Alternatywnym sposobem dojścia do tego wniosku jest użycie tożsamości $(a + b) p = a p + b p$ , która obowiązuje w charakterystyce $p$ (i która jest oparta na tych samych właściwościach współczynników dwumianowych i daje podstawę do Frobeniusa endomorfizm ), aby obliczyć modulo redukcji $p$ ilorazu wielomianów:

{\ Displaystyle {\ Frac {(x + 1) ^ {p} -1 }{x}}\equiv {\frac {x^{p}+1^{p}-1}{x}}={\frac {x^{p}}{x}}=x^{p- 1}{\pmod {p}},}

co oznacza, że wszystkie niewiodące współczynniki ilorazu są podzielne przez $p$ ; pozostałą weryfikację, że stałym wyrazem ilorazu jest $p$ , można przeprowadzić, podstawiając $1$ (zamiast $x + 1$ ) zamiast $x$ do postaci rozwiniętej $x p -1 + ... + x + 1$ .

Historia

Theodor Schönemann jako pierwszy opublikował wersję kryterium w 1846 roku w Crelle's Journal , który brzmi w tłumaczeniu

Że $(x - a) n + pF (x)$ będzie nieredukowalne do modułu $p 2$ , gdy $F (x)$ do modułu $p$ nie zawiera czynnika $x - a$ .

$0$ To sformułowanie zawiera już przejście na $a$ zamiast ; warunek na $F (x)$ oznacza, że $F (a)$ nie jest podzielna przez $p2 p$ $,$ więc $pF (a)$ jest podzielna przez $p$ , ale nie przez . Jak stwierdzono, nie jest to całkowicie poprawne, ponieważ nie przyjmuje żadnych założeń co do stopnia wielomianu $F (x)$ , tak więc rozważany wielomian nie musi być stopnia $n$ , który sugeruje jego wyrażenie; przykład $x 2 + p (x 3 + 1) \equiv (x 2 + p)(px + 1) mod p 2$ , pokazuje, że wniosek nie jest ważny bez takiej hipotezy. Zakładając, że stopień $F (x)$ nie przekracza $n$ , kryterium jest jednak poprawne i nieco silniejsze od powyższego sformułowania, ponieważ jeśli $(x - a) n + pF (x)$ jest nieredukowalne modulo $p 2$ , to z pewnością nie może rozłożyć się w $Z [x]$ na czynniki niestałe.

Następnie Eisenstein opublikował nieco inną wersję w 1850 roku, również w Crelle's Journal. Ta wersja jest czytana w tłumaczeniu

Gdy w wielomianie $F (x)$ w $x$ dowolnego stopnia współczynnik najwyższego składnika wynosi $1$ , a wszystkie kolejne współczynniki są liczbami całkowitymi (rzeczywistymi, zespolonymi), na które dzieli się pewna (rzeczywista lub zespolona) liczba pierwsza $m$ , a ponadto gdy ostatni współczynnik jest równy $εm$ , gdzie $ε$ oznacza liczbę niepodzielną przez $m$ : to nie można sprowadzić $F (x)$ do postaci

${\ Displaystyle \ lewo (x ^ {\ mu} + a_ {1} x ^{\mu -1}+\cdots +a_{\mu }\right)\left(x^{\nu }+b_{1}x^{\nu -1}+\cdots +b_{\nu } \Prawidłowy)}$

gdzie $μ, ν \geq 1$ , μ $+ ν = deg(F (x))$ , a wszystkie $aib$ są liczbami całkowitymi (rzeczywistymi lub zespolonymi) $;$ równanie $F (x) = 0$ jest zatem nieredukowalne.

Tutaj „całe liczby rzeczywiste” to zwykłe liczby całkowite , a „całe liczby zespolone” to liczby całkowite Gaussa ; podobnie należy interpretować „rzeczywiste i zespolone liczby pierwsze”. Zastosowanie, dla którego Eisenstein opracował swoje kryterium, polegało na ustaleniu nieredukowalności pewnych wielomianów o współczynnikach w liczbach całkowitych Gaussa, które powstają w badaniu podziału lemniskatu na części o równej długości łuku.

Co ciekawe, Schönemann i Eisenstein, po sformułowaniu odpowiednich kryteriów nieredukowalności, obaj natychmiast stosują je, aby dać elementarny dowód nierozkładalności wielomianów cyklotomicznych dla liczb pierwszych, wynik, który Gauss uzyskał w swoich Disquisitiones Arithmeticae ze znacznie bardziej skomplikowanym dowodem . W rzeczywistości Eisenstein dodaje w przypisie, że jedynym znanym mu dowodem na tę nieredukowalność, innym niż dowód Gaussa, jest dowód podany przez Kroneckera w 1845 r. To pokazuje, że nie był świadomy dwóch różnych dowodów tego stwierdzenia, które Schönemann miał podany w jego artykule z 1846 r., gdzie drugi dowód opierał się na wyżej wymienionym kryterium. Jest to tym bardziej zaskakujące, że dwie strony dalej Eisenstein faktycznie odnosi się (w innej sprawie) do pierwszej części artykułu Schönemanna. W notatce („Notiz”), która ukazała się w następnym numerze Journal, Schönemann zwraca na to uwagę Eisensteinowi i wskazuje, że metoda tego ostatniego nie różni się zasadniczo od tej, którą zastosował w drugim dowodzie.

Podstawowy dowód

Aby udowodnić ważność kryterium, załóżmy, że $Q$ spełnia kryterium dla liczby pierwszej $p$ , ale mimo to jest redukowalna do $Q [x]$ , z którego chcemy uzyskać sprzeczność. Z lematu Gaussa wynika, że $Q$ jest również redukowalne w $Z [x]$ i faktycznie można je zapisać jako iloczyn $Q = GH$ dwóch niestałych wielomianów $G, H$ (w przypadku, gdy $Q$ nie jest prymitywne, stosuje się lemat do pierwotnego wielomianu $Q / c$ (gdzie liczba całkowita $c$ jest zawartością $Q$ ), aby uzyskać dla niego rozkład, i mnoży $c$ przez jeden z czynników, aby uzyskać rozkład dla $Q$ ). Teraz zredukuj $Q = GH$ modulo $p$ , aby uzyskać rozkład w $(Z / p Z) [x]$ . Ale zgodnie z hipotezą ta redukcja dla $Q$ pozostawia swój wyraz wiodący, postaci $ax n$ dla niezerowej stałej $a \in Z / p Z$ , jako jedyny wyraz niezerowy. Ale wtedy koniecznie redukcje modulo $p$ G i $H$ również powodują zniknięcie wszystkich wyrazów niewiodących (i nie mogą sprawić, że znikną ich wyrazy wiodące), ponieważ żadne inne rozkłady $ax n nie$ są możliwe w $(Z / p Z) [],$ $x$ co jest unikalną dziedziną faktoryzacji . W szczególności stałe wyrazy $G$ i $H$ znikają w redukcji, więc są podzielne przez $p$ , ale wtedy stały wyraz $Q$ , który jest ich iloczynem, jest podzielny przez $p 2$ , wbrew hipotezie, i mamy sprzeczność .

Drugi dowód kryterium Eisensteina również zaczyna się od założenia, że wielomian $Q (x)$ jest redukowalny. Wykazano, że założenie to zawiera w sobie sprzeczność.

Założenie, że

{\ Displaystyle Q (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}

jest redukowalny oznacza, że istnieją wielomiany

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G (x) & = c_ {r} x ^ {r} + c_ {r-1} x ^ {r-1} + \ cdots + c_ {0} & & r \ geq 1 \\H(x)&=d_{s}x^{s}+d_{s-1}x^{s-1}+\cdots +d_{0}&&s\geq 1\end{wyrównane}}}

Takie to

{\ Displaystyle Q (x) = G (x) \ cdot H (x), \ qquad n = r + s.}

Współczynnik $a 0$ wielomianu $Q (x)$ można podzielić przez liczbę pierwszą $p2 p$ $,$ ale nie przez . Ponieważ $00 a = c d 0$ , możliwe jest podzielenie $c 0$ lub $d 0$ przez $p$ , ale nie przez oba. Można kontynuować bez utraty ogólności

ze współczynnikiem $c 0$ , który można podzielić przez $p$ i

ze współczynnikiem $d 0$ , którego nie można podzielić przez $p$ .

Z założenia nie dzieli $a_ {n}$ $displaystyle$ . Ponieważ $a n = c r re s$ , ani $c r ,$ $nie ani$ ds można podzielić przez $p$ . Tak więc, jeśli jest -tym współczynnikiem redukowalnego wielomianu $\ displaystyle d_ {t}$ to (prawdopodobnie z ${$ $displaystyle a_ {r}} 0}$ $r {$ w przypadku ${\ displaystyle t> s}$ )

{\ Displaystyle a_ {r} = c_ {r} d_ {0} + c_ {r-1} d_ {1} + \ cdots + c_{0}d_{r}}

gdzie do ${\ Displaystyle c_ {r} d_ {0}}$ nie może być podzielone przez ${\ displaystyle p}$ , ponieważ ani $\ displaystyle d_ {0}}$ , ani ${\ displaystyle c_ {r}}$ nie może być podzielone przez ${\ displaystyle p}$ .

Udowodnimy, że $\ Displaystyle c_ {0}, c_ {1}, \ ldots, c_ {r-1}}$ są podzielne przez $p$ . Ponieważ jest również podzielna przez $p$ (według hipotezy kryterium), oznacza to, że ${\ displaystyle a_ {r}$

{\ Displaystyle c_ {r} d_ {0} = a_ {r} - \ lewo (c_ {r-1} d_ {1 }+\cdots +c_{0}d_{r}\right)}

jest podzielna przez $p$ , sprzeczność potwierdzająca kryterium.

Możliwe jest podzielenie $,$ p \ $displaystyle p}$ ponieważ można podzielić przez $displaystyle$ $p}$

Przy początkowym założeniu można podzielić współczynnik $a 1$ wielomianu $Q (x)$ przez $p$ . Od

{\ Displaystyle a_ {1} = c_ {0} d_ {1} + c_ {1} d_ {0}}

a ponieważ $d 0$ nie jest wielokrotnością $p,$ musi być możliwe podzielenie $c 1$ przez $p$ . $jest$ , przez $kończy$ $wielokrotnością$ dla wszystkich co

Zaawansowane wyjaśnienie

Stosując teorię wielokąta Newtona dla pola liczb $p -adycznych$ , dla wielomianu Eisensteina mamy wziąć dolną wypukłą obwiednię punktów

(0, 1), (1, v 1), (2, v 2), ..., (n - 1, v n -1), (n, 0)

,

gdzie $v i$ jest $p$ -adyczną wyceną a $i ($ tj. najwyższą potęgą $p ,$ która ją dzieli). Teraz dane, które mamy na temat $v i$ dla $0 < i < n$ , a mianowicie, że są co najmniej jednym, są właśnie tym, czego potrzebujemy, aby stwierdzić, że dolna wypukła obwiednia jest dokładnie pojedynczym odcinkiem linii od $(0, 1)$ do $(n, 0)$ , nachylenie wynosi $-1/ n$ .

Mówi nam to, że każdy pierwiastek z $Q$ ma $p$ -adyczną wycenę $1/ n$ , a zatem $Q$ jest nieredukowalny w polu $p$ -adycznym (ponieważ, na przykład, żaden iloczyn żadnego właściwego podzbioru pierwiastków nie ma wartościowania całkowitoliczbowego); a fortiori nad polem liczb wymiernych.

Ten argument jest znacznie bardziej skomplikowany niż bezpośredni argument przez redukcję mod $p$ . Pozwala jednak zobaczyć, w kategoriach algebraicznej teorii liczb , jak często kryterium Eisensteina może mieć zastosowanie po pewnej zmianie zmiennej; iw ten sposób poważnie ograniczyć możliwe wybory $p$ , względem których wielomian mógłby mieć translację Eisensteina (to znaczy stać się Eisensteinem po addytywnej zmianie zmiennych, jak w przypadku p-tego $wielomianu$ cyklotomicznego).

W rzeczywistości tylko liczby $pierwsze$ rozgałęzione w rozszerzeniu $Q$ generowanym przez pierwiastek $Q$ mają jakiekolwiek szanse na działanie. Można je znaleźć w $kategoriach$ dyskryminatora Q . Na przykład w przypadku $x 2 + x + 2$ podanym powyżej, wyróżnikiem jest $-7$ , więc $7$ jest jedyną liczbą pierwszą, która ma szansę spełnić to kryterium. Modulo $7$ , staje się $(x - 3) 2$ — powtarzający się pierwiastek jest nieunikniony, ponieważ wyróżnikiem jest $0 mod 7$ . Dlatego przesunięcie zmiennej jest w rzeczywistości czymś przewidywalnym.

Ponownie, dla wielomianu cyklotomicznego, staje się

(x - 1) p -1 mod p

;

można wykazać, że wyróżnikiem jest (do znaku) $p p -2$ metodami algebry liniowej .

Dokładniej, tylko całkowicie rozgałęzione liczby pierwsze mają szansę być liczbami pierwszymi Eisensteina dla wielomianu. (W polach kwadratowych rozgałęzienie jest zawsze całkowite, więc rozróżnienie nie jest widoczne w przypadku kwadratowym, takim jak $x 2 + x + 2$ powyżej). W rzeczywistości wielomiany Eisensteina są bezpośrednio powiązane z całkowicie rozgałęzionymi liczbami pierwszymi w następujący sposób: jeśli rozszerzenie pola wymiernych jest generowany przez pierwiastek wielomianu, którym jest Eisenstein w $p ,$ wtedy $p$ jest całkowicie rozgałęziony w rozszerzeniu i odwrotnie, jeśli $p$ jest całkowicie rozgałęziony w polu liczbowym, to pole jest generowane przez pierwiastek wielomianu Eisensteina w $p$ .

Uogólnienie

Kryterium uogólnione

Mając domenę całkową $D$ , niech

\ Displaystyle Q = \ suma _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}}

być elementem $D [x]$ , pierścienia wielomianowego o współczynnikach w $D$ .

Załóżmy, że istnieje ideał pierwszy $p$ od $D$ taki, że

$za ja \in p$ dla każdego $i \neq n$ ,
$za n \notin p$ , i
$0 a \notin p 2$ , gdzie $p 2$ jest iloczynem idealnym $p$ z samym sobą.

Wtedy $Q$ nie może być zapisane jako iloczyn dwóch niestałych wielomianów w $D [x]$ . Jeśli dodatkowo $Q$ jest prymitywne (tzn. nie ma nietrywialnych stałych dzielników), to jest nieredukowalne w $D [x]$ . Jeśli $D$ jest unikalną dziedziną faktoryzacji z polem ułamków $F$ , to zgodnie z lematem Gaussa $Q$ jest nieredukowalne w $F [x]$ , niezależnie od tego, czy jest prymitywne, czy nie (ponieważ czynniki stałe są odwracalne w $F [x] )$ ; w tym przypadku możliwym wyborem ideału pierwszego jest ideał główny generowany przez dowolny nieredukowalny element $D$ . To ostatnie stwierdzenie podaje oryginalne twierdzenie dla $D = Z$ lub (w sformułowaniu Eisensteina) dla $D = Z [i]$ .

Dowód

Dowód tego uogólnienia jest podobny do dowodu pierwotnego stwierdzenia, uwzględniającego redukcję współczynników modulo $p$ ; istotne jest to, że jednowyrazowy wielomian nad dziedziną całkową $D / p$ nie może rozłożyć się na iloczyn, w którym przynajmniej jeden z czynników ma więcej niż jeden wyraz (ponieważ w takim iloczynie nie może być ani zniesienia we współczynniku najwyższego lub najniższego możliwego stopnia).

Przykład

Po $Z$ jednym z podstawowych przykładów dziedziny całkowej jest pierścień wielomianowy $D = k [u]$ w zmiennej $u$ nad ciałem $k$ . W tym przypadku ideał główny generowany przez $u$ jest ideałem pierwszym. Kryterium Eisensteina można następnie wykorzystać do udowodnienia nieredukowalności wielomianu, takiego jak $Q (x) = x 3 + ux + u$ w $D [x]$ . Rzeczywiście, $u$ nie dzieli $a 3$ , $u 2$ nie dzieli $a 0$ , a $u$ dzieli $0 a, a 1$ i $a 2$ . Pokazuje to, że wielomian ten spełnia hipotezy uogólnienia kryterium Eisensteina dla ideału pierwszego $p = (u)$ , ponieważ dla ideału głównego $(u)$ bycie elementem $(u)$ jest równoznaczne z byciem podzielnym przez $u$ .

Zobacz też

Notatki

Cox, David A. (2011), „Dlaczego Eisenstein udowodnił kryterium Eisensteina i dlaczego Schönemann odkrył je jako pierwszy”, American Mathematical Monthly , 118 (1): 3–31, CiteSeerX 10.1.1.398.3440 , doi : 10,4169 / amer. matematyka.miesięczna.118.01.003 , S2CID 15978494 .

Dorwart, HL (1935), „Nieredukowalność wielomianów”, American Mathematical Monthly , 42 (6): 369–381, doi : 10,2307/2301357 , JSTOR 2301357 .

Eisenstein , Gotthold ( 1850 ) 15 / krll _ _ .1850.39.160 , S2CID 122322672 .

Garling, DJH (1986), kurs teorii Galois , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-31249-3 .

„Równanie algebraiczne” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994] .
Schönemann, Theodor (1846), „Von Denjenigen Moduln, Welche Potenzen von Primzahlen Sind” , Journal Für Die Reine unn und angewandte Mathematik , 1846 (32): 93–118, doi : 10.1515/crll.1846.32.93 , s2cid 120510090 .

Schönemann , Theodor ( 1850 ) _ _ doi : 10.1515/crll.1850.40.185 , S2CID 199547075 .