Forma Legendre'a

W matematyce formy całek eliptycznych Legendre'a są kanonicznym zbiorem trzech całek eliptycznych, do których można sprowadzić wszystkie inne. Legendre wybrał nazwę całek eliptycznych $,$ ponieważ drugi rodzaj podaje łuku elipsy o jednostkowej wielkiej i mimośrodowości (elipsa jest definiowana parametrycznie przez x ${\ Displaystyle \ scriptstyle {x = {\ sqrt {1-k ^ {2}}} \ cos (t)}}$ , ${\ Displaystyle \ scriptstyle {y = \ sin (t )}}$ ).

W dzisiejszych czasach formy Legendre'a zostały w dużej mierze wyparte przez alternatywny zestaw kanoniczny, formy symetryczne Carlsona . Bardziej szczegółowe omówienie form Legendre'a podano w głównym artykule na temat całek eliptycznych .

Definicja

Niezupełna całka eliptyczna pierwszego rodzaju jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle F (\ phi, k) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ Frac {1 }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}}dt,}$

drugi rodzaj jak

${\ Displaystyle E (\ fi, k) = \ int _ {0} ^ {\ fi} {\ sqrt {1- k^{2}\sin ^{2}(t)}}\,dt,}$

a trzeci rodzaj jako

${\ Displaystyle \ Pi (\ phi, n, k) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ Frac {1} {(1-n \ sin ^ {2} (t)) {\ sqrt { 1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}}}\,dt.}$

Argument n trzeciego rodzaju całki jest znany jako cecha , która w różnych konwencjach notacyjnych może występować jako pierwszy, drugi lub trzeci argument Π , a ponadto czasami jest definiowana za pomocą przeciwnego znaku. Kolejność argumentów pokazana powyżej jest taka, jak w przypadku Gradsztajna i Ryżyka, a także Przepisów liczbowych . Wybór znaku jest taki, jaki wybrali Abramowitz i Stegun oraz Gradshteyn i Ryzhik , ale odpowiada ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Pi (\ phi, -n, k)}}$ numerycznych przepisów .

Odpowiednie pełne całki eliptyczne uzyskuje się przez ustawienie amplitudy , górnej granicy całek, na $}$$}$ .

Postać Legendre'a krzywej eliptycznej jest dana przez

${\ Displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (x- \ lambda)}$

Ocena numeryczna

Klasyczną metodą oceny są przekształcenia Landena . Malejąca transformacja Landena zmniejsza $moduł$$.$ zera , jednocześnie amplitudę Odwrotnie, rosnąca transformacja zwiększa moduł w kierunku jedności, jednocześnie zmniejszając amplitudę. W $zera$ granicy zbliżania się do lub jedności, całka jest łatwo oceniana.

Większość współczesnych autorów zaleca ewaluację w kategoriach form symetrycznych Carlsona , dla których istnieją wydajne, solidne i stosunkowo proste algorytmy. Podejście to zostało przyjęte przez Boost C++ Libraries , GNU Scientific Library i Numerical Recipes .

Zobacz też

• Forma symetryczna Carlsona