Twierdzenie Blocha (zmienne zespolone)

W analizie zespolonej , gałęzi matematyki , twierdzenie Blocha opisuje zachowanie funkcji holomorficznych zdefiniowanych na dysku jednostkowym . Daje dolną granicę rozmiaru dysku, w którym istnieje funkcja odwrotna do funkcji holomorficznej. Nosi imię André Blocha .

Oświadczenie

Niech f będzie funkcją holomorficzną na dysku jednostkowym | z | ≤ 1 dla którego

{\ Displaystyle | f' (0) | = 1}

Twierdzenie Blocha stwierdza, że istnieje dysk S ⊂ D, na którym f jest biholomorficzne, a f(S) zawiera dysk o promieniu 1/72.

Twierdzenie Landaua

Jeśli f jest funkcją holomorficzną na dysku jednostkowym z właściwością | f′ (0)| = 1, to niech L _f będzie promieniem największego krążka zawartego w obrazie f .

Twierdzenie Landaua mówi, że istnieje stała L zdefiniowana jako infimum L _f po wszystkich takich funkcjach f i że L ≥ B .

Twierdzenie to nosi imię Edmunda Landaua .

Twierdzenie Valirona

Twierdzenie Blocha zostało zainspirowane następującym twierdzeniem Georgesa Valirona :

Twierdzenie. Jeśli f jest niestałą całą funkcją, to istnieją krążki D o dowolnie dużym promieniu i funkcje analityczne φ w D takie, że f (φ( z )) = z dla z w D .

Twierdzenie Blocha odpowiada twierdzeniu Valirona poprzez tak zwaną zasadę Blocha .

Dowód

Twierdzenie Landaua

Najpierw udowodnimy przypadek, gdy f (0) = 0, f′ (0) = 1,

i | f′ ( z )| ≤ 2 na dysku jednostkowym.

Ze wzoru całkowego Cauchy'ego mamy granicę

{\ Displaystyle | f '' (z) | = \ lewo | {\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ gamma} {\ Frac {f' (w)} {(wz)^{2}}}\,\mathrm {d} w\right|\leq {\frac {1}{2\pi}}\cdot 2\pi r\sup _{w=\gamma ( t)}{\frac {|f'(w)|}{|wz|^{2}}}\leq {\frac {2}{r}},}

gdzie γ to przeciwny do ruchu wskazówek zegara okrąg o promieniu r wokół z ,

i 0 < r < 1 - | z |.

Zgodnie z twierdzeniem Taylora dla każdego z na dysku jednostkowym istnieje 0 ≤ t ≤ 1

takie, że fa ( z ) = z + z ² f″ ( tz ) / 2.

Zatem, jeśli | z | = 1/3 i | w | < 1/6, mamy

{\ Displaystyle | (f (z) -w) - (zw) | = {\ Frac {1} {2}} | z | ^ {2} | f '' (tz) | \ równoważnik {\ Frac {| z|^{2}}{1-t|z|}}\leq {\frac {|z|^{2}}{1-|z|}}={\frac {1}{6}}< |z|-|w|\równik |zw|.}

Zgodnie z twierdzeniem Rouché , zakres f zawiera dysk o promieniu 1/6 wokół 0.

₀₀ Niech D ( z , r ) oznacza otwarty krążek o promieniu r wokół z .

₀₀ Dla funkcji analitycznej g : D ( z , r ) → C taka, że g ( z ) ≠ 0,

₀₀ powyższy przypadek dotyczył ( g ( z + rz ) − g ( z )) / ( rg′ (0))

₀ implikuje, że zakres g zawiera D ( g ( z ), | g′ (0) | r / 6).

W ogólnym przypadku niech f będzie funkcją analityczną w jednostce

₀ dysk taki, że | f′ (0)| = 1 i z = 0.

₀₀ Jeśli | f′ ( z )| ≤ 2| f′ ( z )| dla | z - z | < 1/4, to przez pierwszy przypadek,
₀ zakres f zawiera dysk o promieniu | f′ (z )| / 24 = 1/24.
₀₀ W przeciwnym razie istnieje z ₁ takie, że | z ₁ - z | < 1/4 i | f′ ( z ₁ )| > 2| f′ ( z )|.
Jeśli | f′ ( z )| ≤ 2| f′ ( z ₁ )| dla | z - z ₁ | < 1/8, to przez pierwszy przypadek,
₀ zakres f zawiera dysk o promieniu | f′ ( z ₁ )| / 48 > | f′ (z )| / 24 = 1/24.
W przeciwnym razie istnieje z ₂ takie, że | z ₂ - z ₁ | < 1/8 i | f′ ( z ₂ )| > 2| f′ ( z ₁ )|.

Powtarzając ten argument, albo znajdujemy dysk o promieniu co najmniej 1/24

w przedziale f , dowodząc twierdzenia, czyli znaleźć ciąg nieskończony ( z _n )

taki, że | z _n - z _{n -1} | < 1/2 ^{n +1} i | f′ ( z _n )| > 2| fa ′ ( z _{n −1} )|.

W tym drugim przypadku sekwencja jest w D (0, 1/2),

więc f ′ jest nieograniczone w D (0, 1/2), co jest sprzecznością.

Twierdzenie Blocha

W powyższym dowodzie twierdzenia Landaua, twierdzenie Rouchégo

implikuje, że nie tylko możemy znaleźć dysk D o promieniu co najmniej 1/24

w zakresie f , ale wewnątrz znajduje się również mały krążek D ₀

dysk jednostkowy taki, że dla każdego w ∈ D istnieje unikalny z ∈ D ₀

gdzie fa ( z ) = w . Zatem f jest bijektywną funkcją analityczną z

₀ D ∩ f ⁻¹ ( re ) do D , więc jego odwrotność φ jest również analityczna przez

twierdzenie o funkcji odwrotnej .

Stałe Blocha i Landaua

Liczbę B nazywamy stałą Blocha . Dolna granica 1/72

w twierdzeniu Blocha nie jest najlepszą z możliwych. Twierdzenie Blocha mówi nam

B ≥ 1/72, ale dokładna wartość B jest nadal nieznana.

Obecnie najbardziej znane granice dla B to

\ Displaystyle 0,4332 \ ok {\ Frac {\ sqrt {3 }}{4}}+2\times 10^{-4}\leq B\leq {\sqrt {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}}\cdot {\frac {\ Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {11}{12}})}{\Gamma ({\frac {1}{4}})}}\około 0,47186,}

gdzie Γ jest funkcją Gamma . Dolna granica została udowodniona przez Chena i Gauthiera, a górna granica pochodzi od Ahlforsa i Grunsky'ego.

Podobnie zdefiniowana optymalna stała L w twierdzeniu Landaua nazywana jest stałą Landaua . Nieznana jest również jego dokładna wartość, ale wiadomo, że

{\ Displaystyle 0,5 <L \ równoważnik {\ Frac {\ Gamma ({\ Frac {1} {3}}) \Gamma ({\frac {5}{6}})}{\Gamma ({\frac {1}{6}})}}=0,543258965342...\,\!} (

sekwencja A081760 w OEIS )

W swoim artykule Ahlfors i Grunsky przypuszczali, że ich górne granice są w rzeczywistości prawdziwymi wartościami B i L .

W przypadku iniekcyjnych funkcji holomorficznych na dysku jednostkowym można podobnie zdefiniować stałą A. Wiadomo, że

{\ Displaystyle 0,5 <A \ równoważnik 0,7853}

Zobacz też

Tabela wybranych stałych matematycznych

Ahlfors, Lars Valerian ; Gruński, Helmut (1937). „Über die Blochsche Konstante”. Mathematische Zeitschrift . 42 (1): 671–673. doi : 10.1007/BF01160101 . S2CID 122925005 .
Baernstein, Albert II; Vinson, Jade P. (1998). „Wyniki minimalności lokalnej związane ze stałymi Blocha i Landaua”. Odwzorowania i analiza quasikonforemna . Ann Arbor: Springer, Nowy Jork. s. 55–89.
Bloch, Andrzej (1925). „Les théorèmes de M.Valiron sur les fonctions entières et la théorie de l'uniformisation” (PDF) . Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse . 17 (3): 1–22. doi : 10.5802/afst.335 . ISSN 0240-2963 .
Chen, Huaihui; Gauthier, Paul M. (1996). „O stałej Blocha” . Journal d'Analyse Mathématique . 69 (1): 275–291. doi : 10.1007/BF02787110 . S2CID 123739239 .
Landau Edmund ( 1929 ) _ _ _ _ _ _

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Bloch Constant” . MathWorld .
Weisstein, Eric W. „Landau Constant” . MathWorld .