Zasada Blocha

Zasada Blocha to filozoficzna zasada w matematyce podana przez André Blocha .

Bloch określa tę zasadę po łacinie jako: Nihil est in infinito quod non prius fuerit in finito i wyjaśnia to w następujący sposób: Każde zdanie, w którego stwierdzeniu występuje rzeczywista nieskończoność , można zawsze uważać za konsekwencję, prawie natychmiastową, zdania, w którym zachodzi nie występuje, zdanie w terminach skończonych .

Bloch zastosował tę zasadę głównie do teorii funkcji zmiennej zespolonej . I tak np. zgodnie z tą zasadą twierdzenie Picarda odpowiada twierdzeniu Schottky'ego , a twierdzenie Valirona odpowiada twierdzeniu Blocha .

Opierając się na swojej zasadzie, Bloch był w stanie przewidzieć lub przypuścić kilka ważnych wyników, takich jak twierdzenie Ahlforsa o pięciu wyspach , twierdzenie Cartana o krzywych holomorficznych z pominięciem hiperpłaszczyzn, wynik Haymana , że ​​wyjątkowy zestaw promieni jest nieunikniony w teorii Nevanlinny .

W ostatnich czasach udowodniono kilka ogólnych twierdzeń, które można uznać za ścisłe stwierdzenia w duchu zasady Blocha:

Lemat Zalcmana

Rodzina funkcji meromorficznych na dysku jednostkowym ${\ displaystyle {\ mathcal {$ jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje: $F}}}$

• liczba ${\ displaystyle 0 <r <1}$
• punkty ${\ displaystyle z_ {n},}$${\ displaystyle | z_ {n} | <r}$
• fa $}}$
• liczby ${\ Displaystyle \ rho _ {n} \ do 0+}$

takie, że ${\ Displaystyle f_ {n} (z_ {n} + \ rho _ {n} \ zeta) \ do g (\ zeta),}$ sferycznie $równomiernie$ na zwartych podzbiorach $gdzie$ niestałą meromorficzną ${\ Displaystyle C.}$

Lemat Zalcmana można uogólnić na kilka zmiennych zespolonych. Najpierw zdefiniuj następujące elementy:

Rodzina funkcji $}}$ domenie jest normalna, jeśli każda sekwencja ${\ Displaystyle$$mathcal {F$ funkcji ${\ Displaystyle \ {f_ {j} \} \ subseteq {\ mathcal {F}}}$ zawiera albo podsekwencję, która zbiega się do funkcji granicznej ${\ Displaystyle f \ neq \ infty }$$.$ na każdym zwartym podzbiorze $podsekwencji$ , która zbiega się równomiernie do zwartego podzbioru

Dla każdej funkcji $Displaystyle$ do $C ^ {2} (\ Omega)}$ zdefiniuj w każdym punkcie formę hermitowską ${\ Displaystyle L_ {z} (\ varphi ,v):=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\częściowe ^{2}\varphi }{\częściowe z_{k}\częściowe {\overline {z}}_{ l}}} (z) v_ {k} {\ overline {v}} _ {l} \ \ (v \ in C ^ {n})} i nazwijmy to formą Leviego funkcji φ {$${\ Displaystyle z \ in \ Omega$ \ $\ varphi }$ w ${\ Displaystyle z.}$

Jeśli funkcja $Displaystyle$ holomorficzna na $\ Omega,}$ zestaw ${\ Displaystyle f ^ {\ ostry} (z): = \ sup _ {| v | = 1} {\ sqrt {L_ {z} (\ log (1 + | f | ^ {2}), v)} }.}$ Ta wielkość jest dobrze zdefiniowana, ponieważ forma Levi ${\ Displaystyle L_ {z} (\ log (1+ | f | ^ {2}), v)}$ jest nieujemne dla wszystkich ${\ Displaystyle Z \ in \ Omega.}$ W szczególności dla ${\ Displaystyle n = 1}$ powyższy wzór przyjmuje postać $(z)|^ {2}}}}$$( z) |} {1 + |$ i pokrywa się z metryką sferyczną na ${\ Displaystyle C.}$

Następującą charakterystykę normalności można przeprowadzić na podstawie twierdzenia Marty'ego, które mówi, że rodzina jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy pochodne sferyczne są lokalnie ograniczone:

$,$ rodzina funkcji holomorficznych na ${\ Displaystyle z_ {0} \ w \ Omega .}$$normalna$ w pewnym Wtedy istnieją sekwencje ${\ Displaystyle f_ {j} \ w {\ mathcal {F}},}$${\ Displaystyle z_ { j} \ do z_ {0},}$${\ Displaystyle \ rho _ {j} = 1/f_ {j} ^ {\ ostry} (z_ {j} ) \ do 0,}$ tak, że sekwencja $} z)}$${\ Displaystyle g_ {j} (z) = f_ {j} (z_ {j} + \ rho _ {$$}$$g ^ {\ ostry } (z) \ równoważnik g ^ {\ ostry } (0) = 1}$$się$ lokalnie równomiernie w niestałej całej funkcji spełniającej ${\ displaystyle$

Lemat Brody'ego

Niech X będzie zwartą zespoloną rozmaitością analityczną , taką że każda mapa holomorficzna od płaszczyzny zespolonej do X jest stała. Wtedy istnieje metryka na X taka, że ​​każda mapa holomorficzna od dysku jednostkowego z metryką Poincarégo do X nie zwiększa odległości.