Teoria Ahlforsa

Teoria Ahlforsa jest teorią matematyczną wymyśloną przez Larsa Ahlforsa jako geometryczny odpowiednik teorii Nevanlinny . Ahlfors otrzymał jeden z dwóch pierwszych medali Fieldsa za tę teorię w 1936 roku.

Można to uznać za uogólnienie podstawowych właściwości map pokryciowych na mapy, które są „niemal pokryciami” w pewnym dobrze zdefiniowanym sensie. Dotyczy to ograniczonych powierzchni Riemanna wyposażonych w konformalne metryki riemannowskie .

Czynności wstępne

Graniczną powierzchnię Riemanna X można zdefiniować jako obszar na zwartej powierzchni Riemanna , którego granica ∂ X składa się ze skończenie wielu rozłącznych krzywych Jordana. W większości zastosowań krzywe te są fragmentarycznie analityczne, ale istnieje pewien wyraźny warunek minimalnej regularności tych krzywych, który jest niezbędny, aby teoria działała; nazywa się to regularnością Ahlforsa . Konformalna z metryka riemannowska jest zdefiniowana przez element długości ds , który jest wyrażony w konformalnych współrzędnych lokalnych jako ds = ρ ( z ) | dz |, gdzie ρ jest gładką dodatnią funkcją z izolowanymi zerami. Jeśli nie ma zer, wówczas metrykę nazywamy gładką. Element długości definiuje długości prostowanych krzywych i obszarów regionów za pomocą wzorów

${\ Displaystyle \ ell (\ gamma) = \ int _ {\ gamma} \ rho (z) \, | dz |, \ quad A (D) = \ int _ {D} \ rho ^ {2} (x + iy)\,dx\,dy,\quad z=x+iy.}$

Wtedy odległość między dwoma punktami jest definiowana jako dolna granica długości krzywych łączących te punkty.

Ustawienie i notacja

Niech X i Y będą dwiema ograniczonymi powierzchniami Riemanna i załóżmy, że Y jest wyposażony w gładką (wraz z brzegiem) konforemną metrykę σ ( z ) dz . Niech f będzie mapą holomorficzną od X do Y . Wtedy istnieje wycofania na X , która jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ rho (z) | dz | = \ sigma (f (z)) | f ^ {\ pierwsza} (z) || dz |. \,}$

Kiedy X jest wyposażony w tę metrykę, f staje się izometrią lokalną ; to znaczy długość krzywej jest równa długości jej obrazu. Wszystkie długości i obszary na X i Y są mierzone w odniesieniu do tych dwóch metryk.

Jeśli f wysyła granicę X do granicy Y , to f jest pokryciem rozgałęzionym . W szczególności,

a) Każdy punkt ma taką samą (skończoną) liczbę preobrazów, licząc krotność. Ta liczba to stopień pokrycia.

b) Wzór Riemanna-Hurwitza utrzymuje w szczególności, że charakterystyka Eulera X jest co najwyżej charakterystyką Eulera Y razy stopień.

Załóżmy teraz, że jakaś część granicy X jest odwzorowana na wnętrze Y . Ta część nazywana jest granicą względną . Niech L będzie długością tej granicy względnej.

Pierwsze twierdzenie główne

Średnia liczba pokrywająca jest określona wzorem

${\ Displaystyle S = {\ Frac {A (X)} {A (Y)}}.}$

Liczba ta jest uogólnieniem stopnia pokrycia. Podobnie dla każdej krzywej regularnej γ i dla każdego regularnego regionu D w Y określa się średnie liczby pokrywające:

${\ Displaystyle S (D) = {\ Frac {A (f ^ {- 1} (D)}} {A (D)}}, \ quad S (\ gamma) = {\ Frac {\ ell (f ^ {-1}(\gamma ))}{\ell (\gamma)}}.}$

Pierwsze Twierdzenie Główne mówi, że dla każdego regularnego obszaru i każdej regularnej krzywej

${\ Displaystyle | SS (D) | \ równoważnik kL \ quad | SS (\ gamma) | \ równoważnik kL}$

gdzie L jest długością granicy względnej, a k jest stałą, która może zależeć tylko od Y , σ , D i γ , ale jest niezależna od f i X . Gdy L = 0, nierówności te stają się słabym odpowiednikiem własności a) pokrycia.

Drugie twierdzenie główne

Niech ρ będzie ujemnym punktem charakterystyki Eulera (tak, że ρ = 2m − 2 dla kuli z m otworami). Następnie

${\ Displaystyle \ max \ {\ rho (X), 0 \} \ geq S \ rho (Y) -kL, \,}$

Ma to sens tylko wtedy, gdy ρ ( Y ) > 0, na przykład, gdy Y jest kulą z trzema (lub więcej) otworami. W tym przypadku wynik można uznać za uogólnienie właściwości b) pokrycia.

Aplikacje

Załóżmy teraz, że Z jest otwartą powierzchnią Riemanna, na przykład płaszczyzną zespoloną lub dyskiem jednostkowym, i niech Z będzie wyposażone w konforemną metrykę ds . Mówimy, że ( Z , ds ) jest regularnie wyczerpywalna , jeśli istnieje rosnący ciąg powierzchni brzegowych D _j zawartych w Z wraz z ich domknięciami, których suma w Z , i taka, że

${\ Displaystyle {\ Frac {\ ell (\ częściowe (D_ {j})}} {A (D_ {j})}} \ do 0, \; j \ do \ infty.}$

Ahlfors udowodnił, że płaszczyzna zespolona z dowolną metryką konforemną jest regularnie wyczerpujalna. Fakt ten, wraz z dwoma głównymi twierdzeniami implikuje twierdzenie Picarda i Drugie główne twierdzenie teorii Nevanlinny . Wiele innych ważnych uogólnień twierdzenia Picarda można uzyskać z teorii Ahlforsa.

Jednym ze szczególnie uderzających wyników (przypuszczonych wcześniej przez André Blocha ) jest twierdzenie o pięciu wyspach .

Twierdzenie o pięciu wyspach

Niech D ₁ ,..., D ₅ będzie pięcioma regionami Jordana na sferze Riemanna z domknięciami rozłącznymi. Wtedy istnieje stała c , zależna tylko od tych regionów i mająca następującą własność:

Niech f będzie funkcją meromorficzną na dysku jednostkowym taką, że pochodna sferyczna spełnia

${\ Displaystyle {\ Frac {| f '(0) |} {1+ | f (0) | ^ {2}}} \ geq c.}$

Wtedy istnieje prosto spójny region _G zawarty ze swoim domknięciem w dysku jednostkowym, taki, że f odwzorowuje homeomorficznie G na jeden z obszarów Dj .

Nie dotyczy to czterech regionów. Weźmy na przykład f ( z ) = ℘ ( Kz ), gdzie K > 0 jest dowolnie duże, a ℘ jest funkcją eliptyczną Weierstrassa spełniającą równanie różniczkowe

${\ Displaystyle (\ wp ^ {\ pierwsza}) ^ {2} = 4 (\ wp -e_ {1}) (\ wp -e_ {2}) (\ wp -e_ {3}).}$

Wszystkie preobrazy czterech punktów e ₁ , e ₂ , e ₃ ,∞ są wielokrotne, więc jeśli weźmiemy cztery krążki z rozłącznymi domknięciami wokół tych punktów, nie będzie żadnego regionu, który byłby odwzorowany homeomorficznie na żadnym z tych krążków.

Uwagi

Oprócz oryginalnego artykułu Ahlforsa, teoria jest wyjaśniona w książkach. Uproszczone dowody Drugiego Głównego Twierdzenia można znaleźć w pracach Tokiego i de Thelina.

Prosty dowód twierdzenia o pięciu wyspach, nieopierający się na teorii Ahlforsa, został opracowany przez Bergweilera.