Funkcja hipertranscendentalna
Funkcja hipertranscendentalna lub funkcja transcendentalnie transcendentalna to transcendentalna funkcja analityczna , która nie jest rozwiązaniem algebraicznego równania różniczkowego ze współczynnikami w Z ( liczbami całkowitymi ) iz algebraicznymi warunkami początkowymi .
Historia
Termin „transcendentalnie transcendentalny” został wprowadzony przez EH Moore'a w 1896 roku; termin „hipertranscendentalny” wprowadził DD Morduhai-Boltovskoi w 1914 r.
Definicja
Jedna standardowa definicja (istnieją niewielkie warianty) definiuje rozwiązania równań różniczkowych postaci
- ,
gdzie jest o stałych współczynnikach, jako algebraicznie przestępne różniczkowo algebraiczne . Funkcje transcendentalne, które nie są algebraicznie transcendentalne, są transcendentalnie transcendentalne . Twierdzenie Höldera pokazuje, że funkcja gamma należy do tej kategorii.
Funkcje hipertranscendentalne zwykle powstają jako rozwiązania równań funkcjonalnych , na przykład funkcja gamma .
Przykłady
Funkcje hipertranscendentalne
- Funkcje zeta algebraicznych ciał liczbowych , w szczególności funkcja zeta Riemanna
- Funkcja gamma ( por. Twierdzenie Höldera )
Funkcje transcendentalne, ale nie hipertranscendentalne
- Funkcja wykładnicza , logarytm , funkcje trygonometryczne i hiperboliczne .
- Uogólnione funkcje hipergeometryczne , w tym przypadki specjalne, takie jak funkcje Bessela (z wyjątkiem niektórych przypadków specjalnych, które są algebraiczne).
Funkcje nietranscendentalne (algebraiczne).
- Wszystkie funkcje algebraiczne , w szczególności wielomiany .
Zobacz też
Notatki
- Loxton, JH, Poorten, AJ van der, „ Klasa funkcji hipertranscendentalnych ”, Aequationes Mathematicae , Periodical tom 16
- Mahler, K. , "Arithmetische Eigenschaften einer Klasse transzendental-transzendenter Funktionen", Math. Z. 32 (1930) 545-585.
- Morduhaĭ-Boltovskoĭ, D. (1949), „O funkcjach hipertranscendentalnych i liczbach hipertranscendentalnych”, Doklady Akademii Nauk SSSR , New Series (po rosyjsku), 64 : 21–24, MR 0028347