Twierdzenie Höldera

W matematyce twierdzenie Höldera stwierdza, że ​​funkcja gamma nie spełnia żadnego algebraicznego równania różniczkowego , którego współczynniki są funkcjami wymiernymi . Wynik ten został po raz pierwszy udowodniony przez Otto Höldera w 1887 roku; później znaleziono kilka alternatywnych dowodów.

Twierdzenie to uogólnia się również $-gamma$ funkcję .

Stwierdzenie twierdzenia

Dla $_$${\ Displaystyle P \ w \ mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}]} takie,$ niezerowego że

${\ Displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ smallsetminus \mathbb {Z} _{\równik 0}:\qquad P\left(z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\ldots ,{\Gamma ^{(n)}}(z)\ prawo)=0,}$

gdzie jest funkcją $gamma$ _ ${\ Displaystyle \ quad \ blacksquare}$

Na przykład zdefiniuj ${\ Displaystyle P \ w \ mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, Y_ {2}]}$ przez

${\ Displaystyle P ~ {\ stackrel {\ tekst {df}} {=}} ~ X ^ {2} Y_ {2} + XY_ {1} + (X ^ {2} - \ nu ^ {2}) Y_ {0}.}$

Potem równanie

${\ Displaystyle P \ lewo (z; f (z), f '(z), f'' (z) \ prawej) = z ^ {2} f '' (z) + zf' (z) + \ lewo (z^{2}-\nu ^{2}\right)f(z)\równoważnik 0}$

$}$ się algebraicznym równaniem różniczkowym , które w tym przypadku ma rozwiązania i rozwiązania - { \ ${\ nu$ odpowiednio funkcje pierwszego i drugiego rodzaju. $i$ mówimy, że są $.$ ( również transcendentalne ) ). Większość znanych funkcji specjalnych fizyki matematycznej jest algebraicznych różniczkowo. Wszystkie kombinacje algebraiczne funkcji algebraicznych różniczkowo są algebraiczne różniczkowo. Co więcej, wszystkie kompozycje funkcji algebraicznych różniczkowo są algebraiczne różniczkowo. $,$ że ​​funkcja gamma nie jest różniczkowo algebraiczna i dlatego jest transcendentalna .

Dowód

Niech ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0},}$ i załóżmy, że niezerowy wielomian ${\ Displaystyle P \ w \ mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}]}$ istnieje tak, że

${\ Displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ smallsetminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad P\left(z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\ldots ,{\Gamma ^{(n)}}(z) \prawo)=0.}$

Jako niezerowy wielomian w $Displaystyle \ mathbb {C} [X]$ może nigdy doprowadzić do funkcji zerowej w żadnej niepustej otwartej domenie ( do $]$ } przez fundamentalne twierdzenie algebry ), możemy założyć, bez utraty ogólności, że $wyraz$ jednomianowy o niezerowej potędze jednego z nieokreślonych ${\ Displaystyle Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}}$ .

Załóżmy również, że ${\ Displaystyle Y_ {0}<Y_ {1}<\ cdots <Y_ {n}<X.}$ najniższy możliwy ogólny stopień w odniesieniu do uporządkowania $leksykograficznego$ Na przykład

${\ Displaystyle \ stopień \ lewo (-3X ^ {10} Y_ {0} ^{2}Y_{1}^{4}+iX^{2}Y_{2}\right)<\deg \left(2XY_{0}^{3}-Y_{1}^{4}\right )}$

ponieważ najwyższa potęga $wyrażeniu$ jednomianowym pierwszego wielomianu jest mniejsza niż potęga drugiego wielomianu.

Następnie zauważ, że dla wszystkich mamy: ${\ Displaystyle Z \ in \ mathbb {C} \ smallsetminus \ mathbb {Z} _ {\ równoważnik 0}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P \ lewo (z + 1; \ Gamma (z + 1), \ Gamma '(z + 1), \ Gamma '' (z + 1), \ ldots, \ Gamma ^ {(n)}(z+1)\right)&=P\left(z+1;z\Gamma (z),[z\Gamma (z)]',[z\Gamma (z)]'' ,\ldots ,[z\Gamma (z)]^{(n)}\right)\\&=P\left(z+1;z\Gamma (z),z\Gamma '(z)+\Gamma (z),z\Gamma ''(z)+2\Gamma '(z),\ldots,z{\Gamma ^{(n)}}(z)+n{\Gamma ^{(n-1) }}(z)\right).\end{wyrównane}}}$

Jeśli zdefiniujemy drugi wielomian ${\ Displaystyle Q \ w \ mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}]}$ przez transformację

${\ Displaystyle Q ~ {\ stackrel {\ tekst {df}}{=}}~P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{ n-1}),}$

wtedy otrzymujemy następujące algebraiczne równanie różniczkowe dla : ${\ Displaystyle \ Gamma}$ :

${\ Displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ smallsetminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad Q\left(z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\ldots ,{\Gamma ^{(n)}}(z) \po prawej)\odpowiednik 0.}$

Ponadto, jeśli $\ Displaystyle X ^ {h} Y_ {0} ^ {h_ {0}} Y_ {1} ^ {h_ {1}} \ cdots Y_ { n} ^ {h_ {n}}}$ jest wyrazem jednomianowym najwyższego stopnia w $}$ to wyrazem jednomianowym najwyższego stopnia w jest ${\ displaystyle P$

${\ Displaystyle X ^ {h + h_ {0}+ h_ {1} + \ cdots + h_ {n}} Y_ {0} ^ {h_ {0}} Y_ {1} ^ {h_ {1}} \ cdots Y_{n}^{h_{n}}.}$

W konsekwencji wielomian

${\ Displaystyle QX ^ {h_ {0} + h_ {1} + \ cdots + h_ {n}} P}$

ma mniejszy ogólny stopień niż $,$ a ponieważ wyraźnie daje początek algebraicznemu równaniu różniczkowemu dla $to$ być wielomian zerowy przy założeniu minimalności na ${\ displaystyle P}$ . Stąd definiowanie przez ${\ Displaystyle R \ in \ mathbb {C} [X]$ }

${\ Displaystyle R ~ {\ stackrel {\ tekst {df}}}} {=}} ~ X ^ {h_ {0} + h_ {1} + \ cdots + h_{n}},}$

dostajemy

${\ Displaystyle Q = P (X + 1; XY_ {0}, XY_ {1} + Y_ {0}, XY_ {2} + 2Y_ {1}, \ ldots, XY_ {n} + nY_ {n-1} )=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}).}$

Teraz niech ${\ displaystyle X = 0}$ w ${\ displaystyle Q}$ , aby uzyskać

${\ Displaystyle Q (0; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}) = P (1; 0, Y_ {0}, 2Y_ {1}, \ ldots, nY_ {n-1 })=R(0)\cdot P(0;Y_{0},Y_{1},\ldots,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}, \ldots ,Y_{n}]}.}$

Zmiana zmiennych daje wtedy plony

${\ Displaystyle P (1; 0, Y_ {1}, Y_ {2}, \ ldots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]},}$

oraz zastosowanie indukcji matematycznej (wraz ze zmianą zmiennych na każdym kroku indukcji) do wcześniejszego wyrażenia

${\ Displaystyle P (X + 1; XY_ {0}, XY_ {1} + Y_ {0}, XY_ {2} + 2Y_ {1}, \ ldots, XY_ {n} + nY_ {n-1} )=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})}$

ujawnia to

${\ Displaystyle \ forall m \ in \ mathbb {N}: \ qquad P (m; 0, Y_ {1}, Y_ {2}, \ ldots, Y_ {n}) = 0 _ {\ mathbb {C} [Y_ {0},Y_{1},\ldkropki,Y_{n}]}.}$

Jest to możliwe tylko wtedy, gdy $co$$przez$$,$ jest sprzeczne z założeniem o . Dlatego taki nie $,$ więc $algebraiczny$ różniczkowo. CO BYŁO DO OKAZANIA