Niekompletna funkcja gamma

Górna niepełna funkcja gamma dla niektórych wartości s: 0 (niebieski), 1 (czerwony), 2 (zielony), 3 (pomarańczowy), 4 (fioletowy).

Wykres uregulowanej niepełnej funkcji gamma Q(2,z) na płaszczyźnie zespolonej od -2-2i do 2+2i z kolorami utworzonymi za pomocą funkcji Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

W matematyce górne i dolne niepełne funkcje gamma to rodzaje funkcji specjalnych , które powstają jako rozwiązania różnych problemów matematycznych, takich jak pewne całki .

Ich odpowiednie nazwy wywodzą się z ich definicji całkowych, które są zdefiniowane podobnie do funkcji gamma, ale z różnymi lub „niepełnymi” granicami całkowymi. Funkcja gamma jest zdefiniowana jako całka od zera do nieskończoności. Kontrastuje to z dolną niekompletną funkcją gamma, która jest zdefiniowana jako całka od zera do zmiennej górnej granicy. Podobnie górna niepełna funkcja gamma jest zdefiniowana jako całka od zmiennej dolnej granicy do nieskończoności.

Definicja

Górna niepełna funkcja gamma jest zdefiniowana jako:

$${\ Displaystyle \ Gamma (s, x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {s-1} \ ,e^{-t}\,dt,}$$

podczas gdy dolna niepełna funkcja gamma jest zdefiniowana jako:

$${\ Displaystyle \ gamma (s, x) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {s-1} \, e ^ {- t} \, dt.}$$

W obu przypadkach s jest parametrem złożonym, tak że część rzeczywista s jest dodatnia.

Nieruchomości

Poprzez całkowanie przez części znajdujemy relacje powtarzalności

$${\ Displaystyle \ Gamma (s + 1, x) = s \ Gamma (s, x) + x ^ {s} e ^{-x}}$$

I

$${\ Displaystyle \ gamma (s + 1, x) = s \ gamma (s, x) -x ^ {s} e ^ {- x}.}$$

Ponieważ zwykła funkcja gamma jest zdefiniowana jako

$${\ Displaystyle \ Gamma (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {s-1} \, e ^ {-t }\,dt}$$

mamy

$${\ Displaystyle \ Gamma (s) = \ Gamma (s, 0) = \ lim _ {x \ do \ infty} \ gamma (s,x)}$$

I

$${\ Displaystyle \ gamma (s, x) + \ gamma (s, x) = \ gamma (s).}$$

Kontynuacja do złożonych wartości

Dolna niepełna funkcja gamma i górna niepełna funkcja gamma, jak zdefiniowano powyżej dla rzeczywistych dodatnich s i x , można przekształcić w funkcje holomorficzne , zarówno w odniesieniu do x , jak i s , zdefiniowane dla prawie wszystkich kombinacji zespolonych x i s . Złożona analiza pokazuje, w jaki sposób właściwości rzeczywistych niekompletnych funkcji gamma rozciągają się na ich holomorficzne odpowiedniki.

Niższa niepełna funkcja gamma

Rozszerzenie holomorficzne

Wielokrotne stosowanie relacji rekurencji dla dolnej niepełnej funkcji gamma prowadzi do rozwinięcia szeregu potęgowego : [2]

$${\ Displaystyle \ gamma (s, x) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {s} e ^ {- x} x ^ {k}} {s (s + 1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x ^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.}$$

Biorąc pod uwagę szybki wzrost wartości bezwzględnej Γ ( z + k ) , gdy k → ∞ , oraz fakt, że odwrotność Γ ( z ) jest funkcją całkowitą , współczynniki w sumie najbardziej na prawo są dobrze określone, a lokalnie suma zbiega się jednakowo dla wszystkich zespolonych s i x . Zgodnie z twierdzeniem Weierstraßa funkcja ograniczająca, czasami oznaczana jako ${\ Displaystyle \ gamma ^ {*}}$ , [3]

$${\ Displaystyle \ gamma ^ {*} (s, z): = e ^ {- z} \ suma _{k=0}^{\infty}{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}}$$

jest całkowity w odniesieniu zarówno do z (dla ustalonego s ), jak i s (dla ustalonego z ) [4] , a zatem holomorficzny na C × C według twierdzenia Hartoga [5] . Stąd poniższy rozkład

${\ Displaystyle \ gamma (s, z) = z ^ {s} \ \ gamma (s) \ \ gamma ^ {* }(s,z)}$ [6] ,

rozszerza rzeczywistą dolną niekompletną funkcję gamma jako funkcję holomorficzną , zarówno łącznie, jak i osobno w z i s . $s, z)}$ właściwości i funkcji Γ $($ że ​​pierwsze dwa czynniki wychwytują osobliwości γ gamma w z = 0 lub s niedodatnia liczba całkowita), podczas gdy ostatni czynnik składa się na jego zera.

Wielowartościowość

Logarytm zespolony log z = log | z | + i arg z jest określony tylko do wielokrotności 2 πi , co czyni go wielowartościowym . Funkcje obejmujące logarytm zespolony zazwyczaj dziedziczą tę właściwość. Wśród nich jest zespolona potęga , a ponieważ z ^s pojawia się w jej rozkładzie, także funkcja γ .

Nieoznaczoność funkcji wielowartościowych wprowadza komplikacje, ponieważ trzeba stwierdzić, jak wybrać wartość. Strategie radzenia sobie z tym to:

• (najbardziej ogólny sposób) zastąpić dziedzinę C funkcji wielowartościowych odpowiednią rozmaitością w C × C zwaną powierzchnią Riemanna . Chociaż usuwa to wielowartościowość, trzeba znać teorię, która za tym stoi [7] ;
• ogranicz dziedzinę w taki sposób, aby funkcja wielowartościowa rozkładała się na oddzielne gałęzie jednowartościowe , którymi można zarządzać indywidualnie.

Poniższy zestaw reguł może służyć do poprawnej interpretacji formuł w tej sekcji. Jeżeli nie zaznaczono inaczej, zakłada się, że:

Sektory

Sektory w C mające wierzchołek w punkcie z = 0 często okazują się odpowiednimi domenami dla wyrażeń złożonych. Sektor D składa się ze wszystkich złożonych z spełniających z ≠ 0 i α - δ < arg z < α + δ z pewnymi α i 0 < δ ≤ π . Często α można wybrać dowolnie i wtedy nie jest to określone. Jeśli δ nie jest podane, przyjmuje się, że jest to π , a sektor jest w rzeczywistości całą płaszczyzną C , z wyjątkiem półprostej rozpoczynającej się w z = 0 i skierowanej w kierunku − α , zwykle służącej jako przecięcie gałęzi . Uwaga: W wielu zastosowaniach i tekstach α jest po cichu przyjmowane jako 0, co oznacza wyśrodkowanie sektora wokół dodatniej osi rzeczywistej.

Gałęzie

W szczególności jednowartościowy i holomorficzny logarytm istnieje w każdym takim sektorze D, którego część urojona jest związana z zakresem ( α - δ , α + δ ) . Opierając się na takim ograniczonym logarytmie, z ^s i niekompletne funkcje gamma z kolei zapadają się do jednowartościowych, holomorficznych funkcji na D (lub C × D ), zwanych gałęziami ich wielowartościowych odpowiedników na D. Dodawanie wielokrotności 2 π do α daje inny zestaw skorelowanych gałęzi na tym samym zbiorze D . Jednak w dowolnym kontekście zakłada się, że α jest stałe i wszystkie zaangażowane gałęzie są z nim powiązane. Jeśli | α | < δ , gałęzie nazywane są głównymi , ponieważ są równe swoim rzeczywistym analogom na dodatniej osi rzeczywistej. Uwaga: W wielu zastosowaniach i tekstach formuły obowiązują tylko dla gałęzi głównych.

Relacja między oddziałami

Wartości różnych gałęzi zarówno zespolonej funkcji potęgowej, jak i niższej niepełnej funkcji gamma można wyprowadzić od siebie przez pomnożenie mi $\ Displaystyle e ^ {2 \ pi iks}}$ [8] dla k odpowiednią liczbę całkowitą.

Zachowanie w pobliżu punktu rozgałęzienia

Powyższy rozkład dalej pokazuje, że γ zachowuje się w pobliżu z = 0 asymptotycznie jak:

$${\ Displaystyle \ gamma (s, z) \ asymp z ^ {s} \, \ gamma (s) \, \ gamma ^ {*} (s, 0) = z ^ {s} \, \ gamma (s) /\Gamma (s+1)=z^{s}/s.}$$

Dla dodatnich rzeczywistych x , y i s , x ^y /y → 0 , gdy ( x , y ) → (0, s ) . Wydaje się to uzasadniać ustawienie γ ( s , 0) = 0 dla rzeczywistych s > 0 . Jednak sprawy mają się nieco inaczej w złożonej dziedzinie. uv ^, gdy (a) część rzeczywista s jest dodatnia i (b) wartości są wzięte tylko ze skończonego zestawu gałęzi, mają gwarancję zbieżności do zera jako ( u , v ) → (0, s ) , podobnie jak γ ( u , v ) . Na pojedynczej gałęzi γ dla ( b ) jest naturalnie spełnione, więc γ ciągłą ( s , 0) = 0 s z dodatnią częścią rzeczywistą jest granicą . Należy również zauważyć, że taka kontynuacja w żadnym wypadku nie jest kontynuacją analityczną .

Relacje algebraiczne

Wszystkie relacje algebraiczne i równania różniczkowe obserwowane przez rzeczywistą γ ( s , z ) obowiązują również dla jej holomorficznego odpowiednika. Jest to konsekwencją twierdzenia o tożsamości [9] , stwierdzającego, że równania między funkcjami holomorficznymi obowiązujące na przedziale rzeczywistym zachodzą wszędzie. W szczególności relacja powtarzalności [10] i ∂γ ( s , z )/ ∂z = z ^{s −1} e ^{− z} [11] są zachowane na odpowiednich gałęziach.

Reprezentacja integralna

Ostatnia relacja mówi nam, że dla ustalonego s γ jest pierwotną lub pierwotną funkcją holomorficzną z ^{s −1} e ^{− z} . W konsekwencji, [12] , dla dowolnego zespołu u , v ≠ 0 ,

$${\ Displaystyle \ int _ {u} ^ {v} t ^ {s-1} \, e ^ {-t}\,dt=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)}$$

zachodzi, o ile ścieżka całkowania mieści się w całości w dziedzinie gałęzi podcałki. Jeżeli dodatkowo część rzeczywista s jest dodatnia, to obowiązuje granica γ ( s , u ) → 0 dla u → 0 , ostatecznie dochodząc do złożonej całkowej definicji γ [13]

$${\ Displaystyle \ gamma (s, z) = \ int _ {0} ^ {z} t ^ { s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re (s)>0.}$$

0 Obowiązuje tu każda ścieżka całkowania zawierająca 0 tylko na początku, poza tym ograniczona do dziedziny gałęzi podcałki, na przykład prosta łącząca i z .

Granica dla z → +∞

Prawdziwe wartości

Biorąc pod uwagę całkową reprezentację gałęzi głównej γ , następujące równanie zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych s , x : [14]

$${\ Displaystyle \ Gamma (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ { s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim _{x\to \infty}\gamma (s,x)}$$

jest złożony

Wynik ten rozciąga się na złożone s . Załóżmy najpierw 1 ≤ Re( s ) ≤ 2 i 1 < a < b . Następnie

$${\ Displaystyle | \ gamma (s, b) - \ gamma (s, a) | \ równoważnik \ int _ {a} ^ {b} | t ^ {s-1} | e ^ {- t} \, dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\, dt}$$

gdzie [15]

$${\ Displaystyle | z ^ {s} | = | z | ^ {\ Re s} \, e ^ {- \ Im s \ arg z}}$$

był używany w środku Ponieważ całka końcowa staje się dowolnie mała, jeśli tylko a jest wystarczająco duże, γ ( s , x ) zbiega się równomiernie dla x → ∞ na pasku 1 ≤ Re (s) ≤ 2 w kierunku funkcji holomorficznej, która musi być Γ ( s ), ponieważ twierdzenia o tożsamości [16] . Biorąc granicę w relacji powtarzalności γ ( s , x ) = ( s − 1) γ ( s − 1, x ) − x ^{s − 1} e ^{− x} i zauważając, że lim x ⁿ e ^{− x} = 0 dla x → ∞ i wszystkich n , pokazujemy, że γ ( s , x ) również zbiega się poza paskiem, w kierunku funkcji spełniającej relacja rekurencyjna funkcji Γ. Wynika

$${\ Displaystyle \ Gamma (s) = \ lim _ {x \ do \ infty} \ gamma (s, x)}$$

dla wszystkich zespolonych s nie jest dodatnią liczbą całkowitą, x rzeczywistą i główną γ .

Konwergencja sektorowa

Teraz niech u będzie z sektora | argument z | < δ < π /2 z pewnym ustalonym δ ( α = 0 ), γ będzie główną gałęzią w tym sektorze i spójrz na

$${\ Displaystyle \ Gamma (s) - \ gamma (s, u) = \ Gamma (s) - \ gamma (s, | u |) + \ gamma (s, | u |) - \ gamma (s, u) .}$$

Jak pokazano powyżej, pierwsza różnica może być dowolnie mała, jeśli | ty | jest wystarczająco duży. Druga różnica pozwala na następujące oszacowanie:

$${\ Displaystyle | \ gamma (s, | u |) - \ gamma (s, u) | \ równoważnik \ int _ {u} ^ {| u |} | z ^ {s- 1}e^{-z}|\,dz=\int _{u}^{|u|}|z|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z }\,e^{-\Re z}\,dz,}$$

gdzie wykorzystaliśmy całkową reprezentację γ i wzór o | z ^s | powyżej. Jeśli całkujemy wzdłuż łuku o promieniu R = | ty | około 0 łączące u i | ty | , to ostatnia całka wynosi

$${\ Displaystyle \ równoważnik R \ lewo | \ arg u \ prawo | R ^ {\ Re s-1} \, e ^ {\ Im s \, | \ arg u |} \, e ^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M \,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }}$$

gdzie M = δ (cos δ ) ^{−Re s} e ^{Im sδ} jest stałą niezależną od u lub R . Ponownie odnosząc się do zachowania x ⁿ e ^{− x} dla dużych x , widzimy, że ostatnie wyrażenie zbliża się do 0, gdy R rośnie w kierunku ∞ . W sumie mamy teraz:

$${\ Displaystyle \ Gamma (s) = \ lim _ {| z | \ do \ infty} \ gamma (s, z), \ quad \ lewo | \ arg z \ prawo | <\ pi /2-\epsilon ,}$$

jeśli s nie jest nieujemną liczbą całkowitą, 0 < ε < π /2 jest dowolnie małe, ale stałe, a γ oznacza główną gałąź w tej dziedzinie.

Przegląd

jest: ${\ Displaystyle \ gamma (s, z)}$

• całość w z dla ustalonej, dodatniej liczby całkowitej s ;
• wielowartościowy holomorficzny w z dla ustalonego s nie będącego liczbą całkowitą, z punktem rozgałęzienia w z = 0 ;
• na każdej gałęzi meromorficzny w s dla ustalonego z ≠ 0 , z prostymi biegunami przy niedodatnich liczbach całkowitych s .

Górna niepełna funkcja gamma

Jeśli chodzi o górną niekompletną funkcję gamma , holomorficzne rozszerzenie względem z lub s jest określone przez [17]

$${\ Displaystyle \ Gamma (s, z) = \ Gamma (s) - \ gamma (s, z)}$$

w punktach ( s , z ) , gdzie istnieje prawa strona. Ponieważ $jest wielowartościowy$ to samo dotyczy , ale ograniczenie do wartości głównych daje tylko jednowartościową gałąź główną $Gamma}$$displaystyle$ .

Kiedy s jest liczbą całkowitą nieujemną w powyższym równaniu, żadna część różnicy nie jest zdefiniowana, a proces graniczny , tutaj opracowany dla s → 0 , uzupełnia brakujące wartości. Złożona analiza gwarantuje holomorficzność , ponieważ $okazuje$ jest w sąsiedztwie tej granicy dla z [ ] .

przydatny jest szereg potęgowy przy z = 0. ${\ Displaystyle \ gamma ^ {*}}$ Zastępując przez $szereg$ potęg w całkowej definicji , otrzymuje się (zakładając $gamma} }$ x , s dodatnie liczby rzeczywiste): mi - x { \ displaystyle

$${\ Displaystyle \ gamma (s, x) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {s-1} e ^ {- t} \, dt = \ int _ {0} ^ {x}\suma _{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt=\ suma _{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s} \,\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}}$$

lub [19]

$${\ Displaystyle \ gamma ^ {*} (s, x) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-x) ^ {k}} {k! \, \ Gamma (s )(s+k)}}.}$$

która jako szeregowa reprezentacja całej $x$ jest zbieżna dla wszystkich zespolonych ( i wszystkich zespolonych nie dodatnich liczb całkowitych).

Po zniesieniu ograniczenia do wartości rzeczywistych szereg umożliwia rozszerzenie:

$${\ Displaystyle \ gamma (s, z) - {\ Frac {1} {s}} = - {\ Frac {1} {s} }+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}={\frac { z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {(-z)^{k}}{k!( s+k)}},\quad \Re (s)>-1,\,s\neq 0.}$$

Kiedy s → 0 :

$${\ Displaystyle {\ Frac {z ^ {s} -1 }{s}}\to \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s) -{\frac {1}{s}}\do -\gamma ,}$$

( ${\ displaystyle \ gamma}$ jest tutaj stałą Eulera – Mascheroniego ), stąd:

$${\ Displaystyle \ Gamma (0, z) = \ lim _ {s \ do 0} \ lewo (\ Gamma (s) - {\ tfrac {1} {s}} - (\ gamma (s, z) - {\tfrac {1}{s}})\right)=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {(-z)^{k} }{k\,(k!)}}}$$

jest funkcją ograniczającą górną niekompletną funkcję gamma jako s → 0 , znaną również jako całka wykładnicza mi $\ Displaystyle E_ {1} (z)}$ .

$dla$ pomocą relacji powtarzalności tego wyniku można liczb całkowitych

$${\ Displaystyle \ Gamma (-n, z) = {\ Frac {1} {n!}} \ lewo ({\ Frac {e ^ {-z}} {z ^ {n}}} \ suma _ {k =0}^{n-1}(-1)^{k}(nk-1)!\,z^{k}+(-1)^{n}\Gamma (0,z)\right)}$$

więc okazuje się, że górna niekompletna funkcja gamma istnieje i jest holomorficzna, zarówno w odniesieniu do z , jak i s , dla wszystkich s i z ≠ 0 .

${\ Displaystyle \ Gamma (s, z)}$ to:

• całość w z dla stałej, dodatniej całki s ;
• wielowartościowy holomorficzny w z dla ustalonego s niezerowego i nie dodatniej liczby całkowitej, z punktem rozgałęzienia w z = 0 ;
• równe ${\ Displaystyle \ Gamma (s)}$ dla s z dodatnią częścią rzeczywistą i z = 0 (granica, gdy ${\ Displaystyle (s_ {i}, z_{i})\to (s,0)}$ ), ale jest to rozszerzenie ciągłe, a nie analityczne ( nie zachodzi dla rzeczywistego s < 0 !);
• na każdej gałęzi cała w s dla ustalonego z ≠ 0 .

Specjalne wartości

• ${\ Displaystyle \ Gamma (s + 1,1) = {\ Frac {\ lfloor es! \ rfloor} {e}}}$ jeśli s jest dodatnią liczbą całkowitą ,
• ${\ Displaystyle \ Gamma (s, x) = (s-1)! \, e ^ {- x} \ suma _ {k = 0} ^ {s-1} {\ Frac {x ^ {k}}} k!}}}$ jeśli s jest dodatnią liczbą całkowitą ,
• ${\ Displaystyle \ Gamma (s, 0) = \ Gamma (s), \ Re (s)> 0}$ ,
• ${\ Displaystyle \ Gamma (1, x) = e ^ {- x}}$ ,
• ${\ Displaystyle \ gamma (1, x) = 1-e ^ {- x}}$ ,
• ${\ Displaystyle \ Gamma (0,x) = - \ operatorname {Ei} (-x)}$ dla ${\ Displaystyle x> 0}$ ,
• ${\ Displaystyle \ Gamma (s, x) = x ^ {s} \ nazwa operatora {E} _ {1-s} (x)}$ ,
• ${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {2}}, x \ prawej) = {\ sqrt {\ pi}} \ operatorname {erfc } \left({\sqrt {x}}\right)}$ ,
• ${\ Displaystyle \ gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {2}}, x \ prawej) = {\ sqrt {\ pi}} \ operatorname {erf } \left({\sqrt {x}}\right)}$ .

Tutaj ${\ displaystyle \ operatorname {Ei}}$ jest całką wykładniczą , ${\ displaystyle \ operatorname {E} _ {n}}$ jest uogólnioną całką wykładniczą , ${\ displaystyle \ operatorname {erf}}$ jest funkcja błędu , a ${\ displaystyle \ operatorname {erfc}}$ jest komplementarną funkcją błędu , ${\ Displaystyle \ operatorname {erfc} (x) = 1- \ operatorname {erf} (x)}$ .

Zachowanie asymptotyczne

• ${\ Displaystyle {\ Frac {\ gamma (s, x)} {x ^ {s}}} \ do {\ Frac {1} {s}}}$ jako ${\ displaystyle x \ do 0}$ ,
• ${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma (s, x)} {x ^ {s}}} \ do - {\ Frac {1}}}}$ jak ${\ Displaystyle x \ do 0}$ i ${\ Displaystyle \ Re (s) <0}$ (dla rzeczywistego s błąd Γ ( s , x ) ~ - x ^s / s jest na rząd O ( x ^{min{ s + 1, 0}} ) jeśli s ≠ −1 i O (ln( x )) jeśli s = −1 ),
  • ${\ Displaystyle \ Gamma (s, x) \ sim \ Gamma (s) - \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n} {\ Frac {x ^ {s + n}} {n! (s + n)}}}$ jako szereg asymptotyczny , w którym ${\ Displaystyle x \ do 0 ^ {+}}$ i ${\ Displaystyle s \ neq 0, -1, -2, \ kropki}$ .
  • ${\ Displaystyle \ Gamma (-N, x) \ sim C_ {N} + {\ Frac {(-1) ^ {N + 1}} {N!}} \ ln x- \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n} {\ Frac {x ^ {nN}} {n! (nN)}}} jako szereg asymptotyczny, w którym x → + {\ Displaystyle$ x \ do $x\to 0^{+}$ and $N=1,2,\dots$, where ${\ textstyle C_ {N} = {\ Frac {(-1) ^ {N + 1}} {N!}} \ lewo (\ gamma - \ suma _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {1} {n}} \ prawej)}$ , gdzie jest stałą $Mascheroniego$ - .
• ${\ Displaystyle \ gamma (s, x) \ do \ Gamma (s)}$ jak ${\ Displaystyle x \ do \ infty$ }
• ${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma (s, x)} {x ^ {s-1} e ^ {- x}}} \ do 1}$ jak ${\ Displaystyle x \ do \ infty}$ ,
• ${\ Displaystyle \ Gamma (s, z) \ sim z ^ {s-1} e ^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (sk)}}z^{-k}} jako$ szereg asymptotyczny gdzie ${\ Displaystyle | z | \ do \ infty}$ i ${\ Displaystyle \ lewo | \ arg z \ prawo | < {\ tfrac {3} {2}} \ pi}$ .

Formuły oceny

Dolną funkcję gamma można oszacować za pomocą rozwinięcia szeregu potęgowego: [20]

$${\ Displaystyle \ gamma (s, z) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^ {s} e ^ {- z} z ^ {k}} {s (s + 1)\kropki (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty}}{\dfrac {z^{k}}{s^{ \overline {k+1}}}}}$$

gdzie ${\ Displaystyle s ^ {\ overline {k + 1}}}$ jest symbolem Pochhammera .

Alternatywnym rozszerzeniem jest

$$\ Displaystyle \ gamma (s, z) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M( s,s+1,-z),}$$

gdzie M jest konfluentną funkcją hipergeometryczną Kummera .

Połączenie z konfluentną funkcją hipergeometryczną Kummera

Kiedy część rzeczywista z jest dodatnia,

$${\ Displaystyle \ gamma (s, z) = s ^ {- 1} z ^ {s} e ^ { -z}M(1,s+1,z)}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle M (1, s + 1, z) = 1 + {\ Frac {z} {(s + 1)}} + {\ Frac {z ^ {2}} {(s + 1) (s + 2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }$$

ma nieskończony promień zbieżności.

Ponownie z konfluentnymi funkcjami hipergeometrycznymi i wykorzystując tożsamość Kummera,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Gamma (s, z) & = e ^ {- z} U (1-s, 1-s, z) = {\ Frac {z ^ {s} e ^ {- z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty}{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\ \&=e^{-z}z^{s}U(1,1+s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z +u)^{s-1}du=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty}e^{-zu}(1+u)^{s-1} du.\end{wyrównane}}}$$

Do rzeczywistego obliczenia wartości liczbowych ułamek ciągły Gaussa zapewnia przydatne rozwinięcie:

$${\ Displaystyle \ gamma (s, z) = {\ cfrac {z ^ {s} e ^ {- z}} {s - {\ cfrac {sz} {s + 1 + {\ cfrac {z} {s + 2- {\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z }{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$$

Ten ciągły ułamek jest zbieżny dla wszystkich zespolonych z , pod warunkiem, że s nie jest ujemną liczbą całkowitą.

Górna funkcja gamma ma ułamek ciągły

$${\ Displaystyle \ Gamma (s, z) = {\ cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2 }{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots}}}}}}}}}}}}}}$$

i

$${\ Displaystyle \ Gamma (s, z) = {\ cfrac {z ^ {s} e ^ {- z}} {1 + z-s + {\ cfrac {s- 1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s- 4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}$$

Twierdzenie o mnożeniu

Następujące twierdzenie o mnożeniu jest prawdziwe:

$${\ Displaystyle \ Gamma (s, z) = {\ Frac {1} {t ^ {s}}} \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ lewo (1- {\ frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz }\sum _{i=1}^{\infty}}{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1 }^{(si)}(tz).}$$

Implementacja oprogramowania

Niekompletne funkcje gamma są dostępne w różnych systemach algebry komputerowej .

Jednak nawet jeśli są niedostępne bezpośrednio, niepełne wartości funkcji można obliczyć za pomocą funkcji zwykle zawartych w arkuszach kalkulacyjnych (i pakietach algebry komputerowej). Na przykład w programie Excel można je obliczyć za pomocą funkcji gamma połączonej z funkcją rozkładu gamma .

• Dolna niekompletna funkcja: ${\ Displaystyle \ gamma (s, x)}$ = EXP (GAMMALN (s)) * ROZKŁ.GAMMA (x, s, 1, PRAWDA) .
• Górna niekompletna funkcja: ${\ Displaystyle \ Gamma (s, x)}$ = EXP (GAMMALN (s)) * (1-GAMMA.DIST (x, s, 1, TRUE)) .

Wynikają one z definicji skumulowanej funkcji dystrybucji rozkładu gamma .

W Pythonie, chociaż Scipy zapewnia implementacje niekompletnych funkcji gamma w `scipy.special`, nie obsługuje wartości ujemnych dla pierwszego argumentu. Jednym z obejść w takich przypadkach jest użycie funkcji „gammainc” z biblioteki „mpmath”.

Uregularyzowane funkcje gamma i zmienne losowe Poissona

Dwie powiązane funkcje to uregulowane funkcje gamma:

$${\ Displaystyle P (s, x) = {\ Frac {\ gamma (s, x)} {\ gamma (s)}}}$$

$${\ Displaystyle Q (s, x) = {\ Frac {\ Gamma (s, x)} {\ Gamma (s)}} = 1-P (s, x).}$$

$, x)}$$s$ jest skumulowaną funkcją dystrybucji dla zmiennych losowych gamma z parametrem kształtu parametrem skali 1.

Gdy $liczbą$ całkowitą, ${\ Displaystyle \ operatorname {Poi} (\ lambda)}$$skumulowaną$ funkcją dystrybucji dla zmiennych losowych Poissona : o $}$ to zmienna losowa

$${\ Displaystyle \ Pr (X <s) = \ suma _ {i <s} e ^ {- \ lambda} {\ Frac {\ lambda ^ {i}} {i!}} = {\ Frac {\ Gamma ( s,\lambda )}{\Gamma (s)}}=Q(s,\lambda).}$$

Ten wzór można wyprowadzić przez wielokrotne całkowanie przez części.

W kontekście stabilnego rozkładu liczby parametr można uznać za odwrotność parametru stabilności Lévy'ego: $α$$displaystyle \ alpha$ }

$${\ Displaystyle Q (s, x) = \ Displaystyle \ int _ {0} ^{\infty}e^{\left(-{x^{s}}/{\nu}\right)}\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left( \nu \right)\,d\nu ,\,\,(s>1)}$$

gdzie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu)}$ to standardowy stabilny rozkład liczby kształtu ${\ Displaystyle \ alpha = 1/s <1}$ .

${\ Displaystyle P (s, x)}$ i ${\ Displaystyle Q (s, x)}$ są realizowane jako gammainc i gammaincc w scipy .

Pochodne

Korzystając z powyższej reprezentacji całkowej, pochodna górnej niepełnej funkcji gamma względem x wynosi ${\ Displaystyle \ Gamma (s, x$ ) }

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ Gamma (s, x)} {\ częściowe x}} = - x ^ {s-1} e^{-x}}$$

Pochodna w odniesieniu do jej pierwszego argumentu $jest$ przez

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ Gamma (s, x)} {\ częściowe s }}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)}$$

a druga pochodna wg

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ Gamma (s, x)} {\ częściowe s ^ {2}}} = \ ln ^ {2} x \ Gamma (s, x) + 2x [\ ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)]}$$

gdzie funkcja jest szczególnym przypadkiem funkcji G Meijera ${\ Displaystyle T (m, s, x)}$

$${\ Displaystyle T (m, s, x) = G_ {m-1, \, m} ^ {\, m, \, 0} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} 0,0, \dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{macierz}}\;\right|\,x\right).}$$

własne wewnętrzne właściwości domknięcia , ponieważ można go użyć do wyrażenia wszystkich kolejnych pochodnych. Ogólnie,

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {m} \ Gamma (s, x)} {\ częściowe s ^ {m}}} = \ ln ^ {m} x \ Gamma (s, x) + mx \ ,\suma _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{mn-1}x\,T(3+n,s,x)}$$

gdzie jest permutacją zdefiniowaną przez symbol Pochhammera : ${\ Displaystyle P_ {j} ^ {n}}$

$${\ Displaystyle P_ {j} ^ {n} = {\ binom {n} {j}} j! = {\ Frac {n!} {(nj)!}}.}$$

Wszystkie takie pochodne mogą być generowane kolejno z:

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy T ( m,s,x)}{\częściowe s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)}$$

I

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy T (m, s ,x)}{\częściowy x}}=-{\frac {1}{x}}[T(m-1,s,x)+T(m,s,x)]}$$

T ${\ Displaystyle T (m, s, x)}$ obliczyć z jej reprezentacji szeregowej ważnej dla ${\ displaystyle | z| <1}$ ,

$${\ Displaystyle T (m, s, z) = - {\ Frac {(-1) ^ {m-1}} {(m-2)!}} \ lewo. { \frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (st)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\ suma _{n=0}^{\infty}}{\frac {(-1)^{n}z^{s-1+n}}{n!(-sn)^{m-1}}}}$$

przy założeniu, że s nie jest ujemną liczbą całkowitą ani zerem. W takim przypadku należy zastosować limit. Wyniki dla ${\ Displaystyle | z | \ geq 1}$ można uzyskać przez kontynuację analityczną . Niektóre szczególne przypadki tej funkcji można uprościć. Na przykład ${\ Displaystyle T (2, s, x) = \ Gamma (s, x) / x}$ , ${\ Displaystyle x \ T (3,1, x) = \ operatorname {E} _ {1} (x)}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {E} _ {1} (x)}$ to całka wykładnicza . Te pochodne i funkcja ${\ Displaystyle T (m, s, x)}$ dostarczyć dokładnych rozwiązań wielu całek poprzez wielokrotne różniczkowanie całkowej definicji górnej niepełnej funkcji gamma. Na przykład,

$${\ Displaystyle \ int _ {x} ^ {\ infty}} {\ Frac {t ^ {s-1} \ ln ^ {m} t} {e ^ {t}}} dt = {\ frac {\ częściowy ^ {m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty}{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\częściowe ^{m}}{\częściowe s^{m}}}\Gamma (s,x)}$$

Formułę tę można dalej nadmuchać lub uogólnić do ogromnej klasy transformat Laplace'a i transformat Mellina . W połączeniu z systemem algebry komputerowej , wykorzystanie funkcji specjalnych zapewnia potężną metodę rozwiązywania całek oznaczonych, w szczególności tych spotykanych w praktycznych zastosowaniach inżynierskich ( więcej szczegółów w sekcji Integracja symboliczna ).

Całki nieoznaczone i oznaczone

Następujące całki nieoznaczone można łatwo uzyskać za pomocą całkowania przez części (z pominięciem stałej całkowania w obu przypadkach):

$${\ Displaystyle \ int x ^ {b-1} \ gamma (s,x)dx={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),}$$

$${\ Displaystyle \ int x ^ {b-1} \ Gamma (s, x) dx = {\ Frac {1} {b}} \ lewo (x ^ {b} \ Gamma (s, x) - \ Gamma ( s+b,x)\prawo).}$$

Dolna i górna niekompletna funkcja Gamma są połączone za pomocą transformaty Fouriera :

$${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {\ gamma \ lewo ({\ Frac {s} {2}}, z ^ {2} \ pi \ prawej)}} {(z ^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}dz={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2 }},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.}$$

Wynika to na przykład z odpowiedniej specjalizacji ( Gradshteyn & Ryzhik 2015 , §7.642) .

Notatki

•     Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. „Rozdział 6.5”. Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria Matematyki Stosowanej. Tom. 55 (Dziewiąty przedruk z dodatkowymi poprawkami dziesiątego oryginału z poprawkami (grudzień 1972); pierwsze wyd.). Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, Narodowe Biuro Standardów; Publikacje Dover. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN   65-12253 . „Niekompletna funkcja Gamma” . §6.5.
•   Allasia, Giampietro; Besenghi, Renata (1986). „Obliczanie numeryczne niepełnych funkcji gamma według reguły trapezów”. liczba. matematyka _ 50 (4): 419–428. doi : 10.1007/BF01396662 . S2CID 121964300 .
•    Amore, Paolo (2005). „Asymptotyczne i dokładne reprezentacje szeregowe dla niepełnej funkcji Gamma”. Eurofis. Lett . 71 (1): 1–7. arXiv : matematyka-ph/0501019 . Bibcode : 2005EL.....71....1A . doi : 10.1209/epl/i2005-10066-6 . MR 2170316 . S2CID 1921569 .
• G. Arfkena i H. Webera. Metody matematyczne dla fizyków . Harcourt/Academic Press, 2000. (Patrz rozdział 10.)
•   DiDonato, Armido R.; Morris, Jr., Alfred H. (grudzień 1986). „Obliczanie niepełnych stosunków funkcji gamma i ich odwrotności”. Transakcje ACM dotyczące oprogramowania matematycznego . 12 (4): 377–393. doi : 10.1145/22721.23109 . S2CID 14351930 .
•   Barakat, Richard (1961). „Ocena niepełnej funkcji gamma argumentu urojonego za pomocą wielomianów Czebyszewa” . Matematyka komp . 15 (73): 7–11. doi : 10.1090/s0025-5718-1961-0128058-1 . MR 0128058 .
•   Carsky, Petr; Polak, Marcin (1998). funkcje Gamma F_m (x) dla rzeczywistych i złożonych argumentów”. J. Komputer. fizyka . 143 (1): 259–265. Bibcode : 1998JCoPh.143..259C . doi : 10.1006/jcph.1998.5975 . MR 1624704 .
•   Chaudhry, M. Aslam; Zubair SM (1995). „O rozkładzie uogólnionych niekompletnych funkcji Gamma z zastosowaniami do transformat Fouriera” . J. Komputer. Aplikacja matematyka _ 59 (101): 253–284. doi : 10.1016/0377-0427(94)00026-w . MR 1346414 .
•   DiDonato, Armido R.; Morris, Jr., Alfred H. (wrzesień 1987). „ALGORYTM 654: podprogramy FORTRAN do obliczania niepełnych stosunków funkcji gamma i ich odwrotności” . Transakcje ACM dotyczące oprogramowania matematycznego . 13 (3): 318–319. doi : 10.1145/29380.214348 . S2CID 19902932 . (Zobacz także www.netlib.org/toms/654 ).
•   Früchtl, H.; Otto, P. (1994). „Nowy algorytm oceny niepełnej funkcji gamma na komputerach wektorowych”. ACM Trans. Matematyka oprogramowanie _ 20 (4): 436–446. doi : 10.1145/198429.198432 . S2CID 16737306 .
•   Gautschi, Walter (1998). „Niekompletna funkcja gamma od czasu Tricomi”. Atti Convegni Lincei . 147 : 203–237. MR 1737497 .
•    Gautschi, Walter (1999). „Uwaga na temat rekurencyjnego obliczania niekompletnych funkcji gamma” . ACM Trans. Matematyka oprogramowanie _ 25 (1): 101–107. doi : 10.1145/305658.305717 . MR 1697463 . S2CID 36469885 .
•    Gradsztejn, Izrail Salomonowicz ; Ryżyk, Józef Moisejewicz ; Geronimus, Jurij Wieniaminowicz ; Tsejtlin, Michaił Juljewicz ; Jeffrey, Alan (2015) [październik 2014]. „8.35”. W Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (red.). Tabela całek, szeregów i iloczynów . Przetłumaczone przez Scripta Technica, Inc. (wyd. 8). Academic Press, Inc. s. 908–911. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 .
•   Jones, William B.; Tron, WJ (1985). „O obliczaniu niepełnych funkcji gamma w dziedzinie zespolonej” . J. Komputer. Aplikacja matematyka _ 12-13: 401-417. doi : 10.1016/0377-0427(85)90034-2 . MR 0793971 .
• „Niekompletna funkcja gamma” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
•    Mathar, Richard J. (2004). „Numeryczna reprezentacja niepełnej funkcji gamma argumentu o wartościach zespolonych”. Algorytmy numeryczne . 36 (3): 247–264. arXiv : matematyka/0306184 . Bibcode : 2004NuAlg..36..247M . doi : 10.1023/B:NUMA.0000040063.91709.58 . MR 2091195 . S2CID 30860614 .
• Miller, Allen R.; Moskowitz, Ira S. (1998). „O niektórych uogólnionych niekompletnych funkcjach gamma” . J. Komputer. Aplikacja matematyka _ 91 (2): 179–190. doi : 10.1016/s0377-0427(98)00031-4 .
•    Paryż, RB (2010), „Niekompletna funkcja gamma” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
•   Paryż, RB (2002). „Jednolita asymptotyczna ekspansja niepełnej funkcji gamma” . J. Komputer. Aplikacja matematyka _ 148 (2): 323–339. Bibcode : 2002JCoAM.148..323P . doi : 10.1016/S0377-0427(02)00553-8 . MR 1936142 .
•   Prasa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Sekcja 6.2. Niekompletna funkcja gamma i funkcja błędu” . Przepisy numeryczne: sztuka obliczeń naukowych (wyd. 3). Nowy Jork: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 .
•   Takenaga, Roy (1966). „O ocenie niepełnej funkcji gamma” . Matematyka komp . 20 (96): 606–610. doi : 10.1090/S0025-5718-1966-0203911-3 . MR 0203911 .
•   Temme, Nico (1975). „Jednolite asymptotyczne rozszerzenia niekompletnych funkcji gamma i niekompletnej funkcji beta” . Matematyka komp . 29 (132): 1109–1114. doi : 10.1090/S0025-5718-1975-0387674-2 . MR 0387674 .
•   Terras, Riho (1979). „Wyznaczanie niepełnych funkcji gamma poprzez integrację analityczną”. J. Komputer. fizyka . 31 (1): 146–151. Bibcode : 1979JCoPh..31..146T . doi : 10.1016/0021-9991(79)90066-4 . MR 0531128 .
•    Tricomi, Francesco G. (1950). „Niekompletna funkcja Sulla gamma”. Ann. Mata. Aplikacja Pura . 31 : 263–279. doi : 10.1007/BF02428264 . MR 0047834 . S2CID 120404791 .
•    Tricomi, FG (1950). "Asymptotische Eigenschaften der unvollst. Gammafunktion". Matematyka Z. _ 53 (2): 136–148. doi : 10.1007/bf01162409 . MR 0045253 . S2CID 121234109 .
•    van Deun, Joris; Cools, Ronald (2006). „Stabilna rekurencja dla niepełnej funkcji gamma z wyimaginowanym drugim argumentem”. liczba. matematyka _ 104 (4): 445–456. doi : 10.1007/s00211-006-0026-1 . MR 2249673 . S2CID 43780150 .
•    Winitzki, Serge (2003). „Obliczanie niepełnej funkcji gamma z dowolną precyzją”. Wykład. Nie. Komp. nauka . Notatki z wykładów z informatyki. 2667 : 790–798. doi : 10.1007/3-540-44839-x_83 . ISBN 978-3-540-40155-1 . MR 2110953 .
• Weisstein, Eric W. „Niekompletna funkcja gamma” . MathWorld .

Linki zewnętrzne

• ${\ Displaystyle P (a, x)}$ - Uregulowany dolny niekompletny kalkulator funkcji gamma
• ${\ Displaystyle Q (a, x)}$ - Uregulowany górny niekompletny kalkulator funkcji gamma
• ${\ Displaystyle \ gamma (a, x)}$ - Dolny niekompletny kalkulator funkcji gamma
• ${\ Displaystyle \ Gamma (a, x)}$ - Górny niekompletny kalkulator funkcji gamma
• wzory i tożsamości niekompletnej funkcji gamma functions.wolfram.com