Funkcja G Meijera

Wykres funkcji G Meigera G(((a 1,...,an),(a n+1,...,ap)),((b 1,...,bm),(b m+ 1,...,bq)),z) wejście ((½),()),((⅓),()) na płaszczyźnie zespolonej od -2-2i do 2+2i

W matematyce funkcja G została wprowadzona przez Cornelisa Simona Meijera ( 1936 ) jako bardzo ogólna funkcja , która ma obejmować większość znanych funkcji specjalnych jako przypadki szczególne. Nie była to jedyna tego rodzaju próba: uogólniona funkcja hipergeometryczna i funkcja E MacRoberta miały ten sam cel, ale funkcja G Meijera była w stanie uwzględnić je również jako przypadki szczególne. Pierwsza definicja została stworzona przez Meijera za pomocą serii ; obecnie akceptowaną i bardziej ogólną definicją jest całka krzywoliniowa na płaszczyźnie zespolonej , wprowadzona w pełnej ogólności przez Arthura Erdélyi w 1953 r.

Dzięki nowoczesnej definicji większość ustalonych funkcji specjalnych można przedstawić za pomocą funkcji G Meijera. Godną uwagi właściwością jest zamknięcie zbioru wszystkich funkcji G nie tylko przy różniczkowaniu, ale także przy całkowaniu nieokreślonym. W połączeniu z równaniem funkcyjnym , które pozwala wyzwolić z funkcji G G ( z ) dowolny czynnik z ^ρ będący stałą potęgą jego argumentu z , domknięcie implikuje, że ilekroć funkcja jest wyrażalna jako funkcja G stałej wielokrotności pewnej stałej potęgi argumentu funkcji, f ( x ) = G ( cx ^γ ), pochodna i funkcja pierwotna tej funkcji są wyrażalne, więc zbyt.

Szeroki zakres funkcji specjalnych nadaje również moc zastosowaniom funkcji G Meijera innym niż reprezentacja i manipulowanie pochodnymi i funkcjami pierwotnymi. Na przykład całka oznaczona po dodatniej osi rzeczywistej dowolnej funkcji g ( x ), którą można zapisać jako iloczyn G ₁ ( cx ^γ )· G ₂ ( dx ^δ ) dwóch funkcji G o wartościach wymiernych γ / δ równa się po prostu innej funkcji G, a uogólnienia transformacji całkowych , takich jak transformata Hankla i transformata Laplace'a oraz ich odwrotności, są wynikiem zastosowania odpowiednich par funkcji G jako jąder transformacji.

Jeszcze bardziej ogólną funkcją, która wprowadza dodatkowe parametry do funkcji G Meijera, jest funkcja H Foxa i jest używana do transformacji Matrix przez Ram Kishore Saxena

Jednym z zastosowań funkcji G Meijera było widmo cząstek promieniowania z inercyjnego horyzontu w modelu ruchomego lustra dynamicznego efektu Casimira ( Good 2020 ).

Definicja funkcji G Meijera

Ogólną definicję funkcji G Meijera podaje następująca całka krzywoliniowa na płaszczyźnie zespolonej ( Bateman & Erdélyi 1953 , § 5.3-1):

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} a_ {1}, \ kropki, a_ {p} \\ b_ {1}, \dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{ j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\, z^{s}\,ds,}$

gdzie Γ oznacza funkcję gamma . Ta całka jest tak zwanego typu Mellina – Barnesa i może być postrzegana jako odwrotna transformata Mellina . Definicja opiera się na następujących założeniach:

• 0 ≤ m ≤ q i 0 ≤ n ≤ p , gdzie m , n , p i q są liczbami całkowitymi
• a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... dla k = 1, 2, ..., n i j = 1, 2, ..., m , co implikuje, że żaden biegun dowolnego Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , pokrywa się z dowolnym biegunem dowolnego Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n
• z ≠ 0

Należy zauważyć, że ze względów historycznych pierwszy dolny i drugi górny indeks odnoszą się do górnego rzędu parametrów, podczas gdy drugi dolny i pierwszy górny indeks odnoszą się do dolnego rzędu parametrów. Często spotyka się następującą, bardziej syntetyczną notację wykorzystującą wektory :

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} a_ {1}, \ kropki, a_ {p} \\ b_ {1}, \dots ,b_{q}\end{macierz}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin {macierz}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\prawo|\,z\prawo).}$

Implementacje funkcji G w systemach algebry komputerowej zazwyczaj wykorzystują oddzielne argumenty wektorowe dla czterech (prawdopodobnie pustych) grup parametrów a ₁ ... a _n , a _{n +1} ... a _p , b ₁ ... b _m , i b _{m +1} ... b _q , a zatem można pominąć rzędy p , q , n i m jako zbędne.

L w całce reprezentuje ścieżkę, którą należy podążać podczas całkowania . Dla tej ścieżki możliwe są trzy opcje:

1. L biegnie od − i ∞ do + i ∞ tak, że wszystkie bieguny Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , są po prawej stronie ścieżki, podczas gdy wszystkie bieguny Γ (1 − za _k + s ), k = 1, 2, ..., n , są po lewej stronie. Następnie całka jest zbieżna dla |arg z | < δ π , gdzie

${\ Displaystyle \ delta = m + n - {\ tfrac {1} {2}} (p + q);}$

oczywistym warunkiem wstępnym jest δ > 0. Całka dodatkowo zbiega się dla | arg z | = δ π ≥ 0 jeśli (q - p) ( σ + ¹ ⁄ ₂ ) > Re ( ν ) + 1, gdzie σ reprezentuje Re ( s ), gdy zmienna całkowa s zbliża się zarówno do + i ∞, jak i - i ∞, i gdzie

${\ Displaystyle \ nu = \ suma _ {j = 1} ^ {q} b_ {j} - \ suma _ {j = 1} ^ {p} a_ {j}.} Jako wniosek, dla |$

arg z | = δ π i p = q całka jest zbieżna niezależnie od σ zawsze, gdy Re( ν ) < −1.

2. L jest pętlą zaczynającą się i kończącą w +∞, otaczającą wszystkie bieguny Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , dokładnie raz w kierunku ujemnym, ale nie otaczającym żadnego bieguna Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n . Wtedy całka jest zbieżna dla wszystkich z , jeśli q > p ≥ 0; jest również zbieżny dla q = p > 0, o ile | z | < 1. W tym drugim przypadku całka dodatkowo jest zbieżna dla | z | = 1 jeśli Re( ν ) < −1, gdzie ν jest zdefiniowane jak dla pierwszej ścieżki.

3. L jest pętlą zaczynającą się i kończącą w −∞ i okrążającą wszystkie bieguny Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , dokładnie raz w kierunku dodatnim, ale nie okrążającą żadnej biegun Γ( b _jot - s ), jot = 1, 2, ..., m . Teraz całka jest zbieżna dla wszystkich z , jeśli p > q ≥ 0; jest również zbieżny dla p = q > 0 dopóki | z | > 1. Jak zauważono również dla drugiej ścieżki, w przypadku p = q całka jest również zbieżna dla | z | = 1 gdy Re( ν ) < −1.

Warunki zbieżności można łatwo ustalić, stosując asymptotyczne przybliżenie Stirlinga do funkcji gamma w całce. Kiedy całka jest zbieżna dla więcej niż jednej z tych ścieżek, można wykazać, że wyniki całkowania są zgodne; jeśli zbiega się tylko dla jednej ścieżki, to jest to jedyna, którą należy wziąć pod uwagę. W rzeczywistości numeryczne całkowanie ścieżki na płaszczyźnie zespolonej stanowi praktyczne i rozsądne podejście do obliczania funkcji G Meijera.

W konsekwencji tej definicji funkcja G Meijera jest funkcją analityczną z z możliwym wyjątkiem pochodzenia z = 0 i okręgu jednostkowego | z | = 1.

Równanie różniczkowe

Funkcja G spełnia następujące liniowe równanie różniczkowe rzędu max( p , q ):

${\ Displaystyle \ lewo [(-1) ^ {pmn} \; z \ prod _ {j = 1} ^ {p} \ lewo (z {\ Frac {d} {dz}} -a_ {j} + 1 \right)-\prod _{j=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}-b_{j}\right)\right]G(z)=0.}$

Za fundamentalny zbiór rozwiązań tego równania w przypadku p ≤ q można przyjąć:

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, 1, p} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} a_ {1}, \ kropki, a_ { p}\\b_{h},b_{1},\kropki,b_{h-1},b_{h+1},\kropki,b_{q}\end{macierz}}\;\prawo|\ ,(-1)^{pm-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,}$

i podobnie w przypadku p ≥ q :

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, q, 1} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} a_ {h}, a_ {1}, \ kropki, a_ {h-1} ,a_{h+1},\kropki ,a_{p}\\b_{1},\kropki ,b_{q}\end{macierz}}\;\right|\,(-1)^{qm- n+1}\;z\prawo),\kwadrat h=1,2,\kropki ,p.}$

Te konkretne rozwiązania są analityczne, z wyjątkiem możliwej osobliwości w z = 0 (jak również możliwej osobliwości w z = ∞), aw przypadku p = q także nieuniknionej osobliwości w z = (-1) ^{p - m - rz} . Jak zobaczymy obecnie, można je utożsamiać z uogólnionymi funkcjami hipergeometrycznymi _p F _{q −1} argumentu (−1) ^{p − m − n} z które są mnożone przez potęgę z ^{b _h} , oraz z uogólnionymi funkcjami hipergeometrycznymi _q F _{p −1} argumentu (−1) ^{q − m − n} z ⁻¹ które są mnożone odpowiednio przez potęgę z ^{a _h −1} .

Związek między funkcją G a uogólnioną funkcją hipergeometryczną

Jeśli całka jest zbieżna, gdy jest oceniana wzdłuż drugiej ścieżki wprowadzonej powyżej, i jeśli nie ma zlewających się biegunów między Γ ( b _j - s ), j = 1, 2, ..., m , to można wyrazić funkcję G Meijera jako suma reszt pod względem uogólnionych funkcji hipergeometrycznych _p F _{q −1} (twierdzenie Slatera):

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_ {q}} \ end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{m}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{ j}-b_{h})^{*}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1+b_{h}-a_{j})\;z^{b_{h}}} {\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1+b_{h}-b_{j})\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j }-b_{h})}}\times }$

${\ Displaystyle _ {p} F_ {q-1} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} 1 + b_ {h} - \ mathbf {a_ {p}} \\ (1 + b_ {h }-\mathbf {b_{q}} )^{*}\end{macierz}}\;\right|\,(-1)^{pmn}\;z\right).}$

Gwiazdka wskazuje, że termin odpowiadający j = h został pominięty. Aby całka była zbieżna wzdłuż drugiej ścieżki, trzeba mieć albo p < q , albo p = q i | z | < 1 i aby bieguny były różne, żadna para między b _j , j = 1, 2, ..., m , nie może różnić się o liczbę całkowitą lub zero. Gwiazdki w relacji przypominają nam o zignorowaniu wkładu o indeksie j = h następująco: W iloczynie sprowadza się to do zamiany Γ(0) na 1, aw argumencie funkcji hipergeometrycznej, jeśli przypomnimy sobie znaczenie zapisu wektorowego,

${\ Displaystyle 1 + b_ {h }-\mathbf {b_{q}} =(1+b_{h}-b_{1}),\,\kropki ,\,(1+b_{h}-b_{j}),\,\kropki ,\,(1+b_{h}-b_{q}),}$

sprowadza się to do skrócenia długości wektora z q do q -1.

Zauważ, że gdy m = 0, druga ścieżka nie zawiera żadnego bieguna, więc całka musi zniknąć identycznie,

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, 0, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf { a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)=0,}$

jeśli albo p < q , albo p = q i | z | < 1.

Podobnie, jeśli całka jest zbieżna, gdy jest oceniana wzdłuż trzeciej ścieżki powyżej, i jeśli między Γ (1 - a _k + s ), k = 1, 2, ..., n nie pojawiają się zlewające się bieguny , k = 1, 2, ..., n , to funkcja G może wyrazić jako:

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_ {q}} \ end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{ h}-a_{j})^{*}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-a_{h}+b_{j})\;z^{a_{h}-1 }}{\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{h}+a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (a_ {h}-b_{j$

${\ Displaystyle _ {q} F_ {p-1} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} 1-a_ {h} + \ mathbf {b_ {q}} \\ (1-a_ {h }+\mathbf {a_{p}} )^{*}\end{macierz}}\;\right|\,(-1)^{qmn}z^{-1}\right).}$

$)}}\times }$

W tym celu albo p > q , albo p = q i | z | > 1 są wymagane i żadna para spośród a k _, k = 1, 2, ..., n , nie może różnić się o liczbę całkowitą lub zero. Dla n = 0 mamy zatem:

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, 0} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf { a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)=0,}$

jeśli albo p > q , albo p = q i | z | > 1.

Z drugiej strony każdą uogólnioną funkcję hipergeometryczną można łatwo wyrazić za pomocą funkcji G Meijera:

${\ Displaystyle \; _ {p} F_ {q} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_ {q}} \ koniec {macierzy} }\;\right|\,z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{p ,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} \\0,1-\mathbf { b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}})}{\Gamma (\mathbf {a_{ p}} )}}\;G_{q+1,\,p}^{\,p,\,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q }} \\\mathbf {a_{p}} \end{macierz}}\;\right|\,-z^{-1}\right),}$

gdzie skorzystaliśmy z notacji wektorowej:

${\ Displaystyle \ Gamma (\ mathbf {a_ {p}}) = \ prod _ {j = 1} ^ {p} \ Gamma (a_ {j}).}$

Dzieje się tak, chyba że niedodatnia liczba całkowita co najmniej jednego z jej parametrów a _p redukuje funkcję hipergeometryczną do skończonego wielomianu, w którym to przypadku prefaktor gamma jednej z funkcji G znika, a zestawy parametrów funkcji G naruszają wymaganie a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... dla k = 1, 2, ..., n i j = 1, 2, ..., m z definicji powyżej. Poza tym ograniczeniem, zależność obowiązuje zawsze wtedy, gdy uogólniony szereg hipergeometryczny _p F _q ( z ) jest zbieżny, tj. dla dowolnego skończonego z , gdy p ≤ q , oraz dla | z | < 1 gdy p = q + 1. W tym drugim przypadku związek z funkcją G automatycznie zapewnia analityczną kontynuację _p F _q ( z ) do | z | ≥ 1 z gałęzią przeciętą od 1 do ∞ wzdłuż osi rzeczywistej. Wreszcie, relacja dostarcza naturalnego rozszerzenia definicji funkcji hipergeometrycznej na rzędy p > q + 1. Za pomocą funkcji G możemy zatem rozwiązać uogólnione hipergeometryczne równanie różniczkowe również dla p > q + 1.

Przypadki wielomianowe

Aby wyrazić wielomianowe przypadki uogólnionych funkcji hipergeometrycznych za pomocą funkcji G Meijera, ogólnie potrzebna jest liniowa kombinacja dwóch funkcji G:

${\ Displaystyle \; _ {p + 1} F_ {q} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} -h \ mathbf { a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)=h!\;{\frac {\prod _{j=n+1 }^{p}\Gamma (1-a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (b_{j})}{\prod _{j=1}^{n }\Gamma (a_{j})\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-b_{j})}}\times }$

${\ Displaystyle \ lewo [G_ {p + 1, \, q + 1} ^ {\, m + 1, \, n} \! \ lewo (\ lewo .{\begin{macierz}1-\mathbf {a_{p}} ,h+1\\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,(- 1)^{pmn}\;z\right)+(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\ left(\left.{\begin{macierz}h+1,1-\mathbf {a_{p}} \\1-\mathbf {b_{q}} ,0\end{macierz}}\;\right| \,(-1)^{pmn}\;z\right)\right],}$

gdzie h = 0, 1, 2, ... jest równe stopniowi wielomianu _{p +1} F _q ( z ). Rzędy m i n można wybierać dowolnie w przedziałach 0 ≤ m ≤ q i 0 ≤ n ≤ p , co pozwala uniknąć sytuacji, w której określone wartości całkowite lub różnice całkowite między parametrami a _p i b _q wielomianu powodują rozbieżności gamma w prefaktorze lub w konflikcie z definicja funkcji G. Zauważ, że pierwsza funkcja G znika dla n = 0, jeśli p > q , podczas gdy druga funkcja G znika dla m = 0, jeśli p < q . Ponownie wzór można zweryfikować, wyrażając dwie funkcje G jako sumy reszt ; nie trzeba tutaj wykluczać żadnych przypadków zlewających się biegunów dozwolonych przez definicję funkcji G.

Podstawowe własności funkcji G

Jak widać z definicji funkcji G , jeśli wśród a _p i b _q występują równe parametry określające czynniki w liczniku i mianowniku całki, ułamek można uprościć, a tym samym rząd funkcji być zredukowanym. To, czy rząd m czy n zmniejszy się, zależy od konkretnej pozycji danych parametrów. Zatem jeśli jedno z a _k , k = 1, 2, ..., n , jest równe jednemu z b _j , j = m + 1, ..., q , funkcja G obniża swoje rzędy p , q i n :

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} a_ {1}, a_ {2 },\kropki,a_{p}\\b_{1},\kropki,b_{q-1},a_{1}\end{macierz}}\;\prawo|\,z\prawo)=G_{ p-1,\,q-1}^{\,m,\,n-1}\!\left(\left.{\begin{macierz}a_{2},\kropki ,a_{p}\\ b_{1},\kropki ,b_{q-1}\end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad n,p,q\geq 1.}$

Z tego samego powodu, jeśli jedno z a k _, k = n + 1, ..., p , jest równe jednemu z b _j , j = 1, 2, ..., m , to funkcja G obniża swoją rzędy p , q i m :

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} a_ {1}, \ kropki, a_{p-1},b_{1}\\b_{1},b_{2},\kropki ,b_{q}\end{macierz}}\;\right|\,z\right)=G_{ p-1,\,q-1}^{\,m-1,\,n}\!\left(\left.{\begin{macierz}a_{1},\kropki ,a_{p-1} \\b_{2},\kropki ,b_{q}\end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad m,p,q\geq 1.}$

Wychodząc z definicji, możliwe jest również wyprowadzenie następujących właściwości:

${\ Displaystyle z ^ {\ rho} \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin {macierz}\mathbf {a_{p}} +\rho \\\mathbf {b_{q}} +\rho \end{macierz}}\;\right|\,z\right),}$

${\ Displaystyle G_ {p + 2, \, q} ^ {\, m, \, n + 1} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ alfa, \ mathbf {a_ {p}} ,\alpha '\\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\;G_{p +2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\ \mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z} ,}$

${\ Displaystyle G_ {p, \, q + 2} ^ {\, m + 1, \, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\ beta ,\mathbf {b_{q}} ,\beta '\end{macierz}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G_{p ,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ',\mathbf { b_{q}} ,\beta \end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,}$

${\ Displaystyle G_ {p + 1, \, q + 1} ^ {\, m, \, n + 1} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ alfa, \ mathbf {a_ {p }} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{macierz}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G_{p +1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,}$

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_ {q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)=G_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix} 1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{macierz}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_ {q}} \ end{macierz}}\;\right|\,z\right)={\frac {h^{1+\nu +(pq)/2}}{(2\pi )^{(h-1)\ delta }}}\;G_{hp,\,hq}^{\,hm,\,hn}\!\left(\left.{\begin{macierz}a_{1}/h,\kropki ,(a_ {1}+h-1)/h,\kropki ,a_{p}/h,\kropki ,(a_{p}+h-1)/h\\b_{1}/h,\kropki ,(b_ {1}+h-1)/h,\dots ,b_{q}/h,\dots ,(b_{q}+h-1)/h\end{macierz}}\;\right|\,{ \frac {z^{h}}{h^{h(qp)}}}\right),\quad h\in \mathbb {N} .}$

Skróty ν i δ zostały wprowadzone w definicji funkcji G powyżej.

Pochodne i funkcje pierwotne

Jeśli chodzi o pochodne funkcji G, można znaleźć następujące zależności:

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dz}} \ lewo [z ^ {1-a_ {1}} \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \ !\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)\right ]=z^{-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{ 2},\kropki ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dz}} \ lewo [z ^ {1-a_ {p}} \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\begin{macierz}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{- a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{macierz}a_{1},\kropki ,a_{p-1}, a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dz}} \ lewo [z ^ {- b_ {1}} \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. { \begin{macierz}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-1 -b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1} +1,b_{2},\kropki ,b_{q}\end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dz}} \ lewo [z ^ {- b_ {q}} \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. { \begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-1- b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}, \dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,}$

Z tych czterech równoważnych relacji można wywnioskować, po prostu oceniając pochodną po lewej stronie i nieco manipulując. Otrzymuje się np.:

${\ Displaystyle Z {\ Frac {d} {dz}} \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \ !\left(\left.{\begin{macierz}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)=G_ {p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{macierz}a_{1}-1,a_{2},\kropki,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)+(a_{1}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\! \left(\left.{\begin{macierz}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1.}$

Co więcej, dla pochodnych dowolnego rzędu h , mamy

${\ Displaystyle z ^ {h} {\ Frac {d ^ {h}} {dz ^ {h}}} \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\begin{macierz}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)=G_{p+1,\, q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,h\end{macierz}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1, \,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,0\\h,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right |\$

${\ Displaystyle z ^ {h} {\ Frac {d ^ {h}} {dz ^ {h}}} \; G_ {p, q }^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\ prawo|\,z^{-1}\prawo)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\lewo(\lewo.{\początek{ matrix}\mathbf {a_{p}} ,1-h\\1,\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z^{-1}\right)=( -1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{macierz}1-h ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,1\end{macierz}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

$z\right),}$

które zachowują się również dla h <0, umożliwiając w ten sposób uzyskanie funkcji pierwotnej dowolnej funkcji G równie łatwo, jak pochodną. Wybierając jeden lub drugi z dwóch wyników podanych w dowolnym wzorze, zawsze można zapobiec naruszeniu przez zestaw parametrów wyniku warunku a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... dla k = 1, 2, ..., n i j = 1, 2, ..., m narzucone przez definicję funkcji G . Zauważ, że każda para wyników staje się nierówna w przypadku h < 0.

Z tych zależności można wyprowadzić odpowiednie właściwości funkcji hipergeometrycznej Gaussa i innych funkcji specjalnych.

Relacje powtarzalności

Przyrównując różne wyrażenia dla pochodnych pierwszego rzędu, dochodzi się do następujących 3-członowych relacji rekurencyjnych między ciągłymi funkcjami G:

${\ Displaystyle (a_ {p} -a_ {1}) \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p }} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\ lewo.{\begin{macierz}a_{1}-1,a_{2},\kropki,a_{p}\\b_{1},\kropki,b_{q}\end{macierz}}\;\ prawo|\,z\prawo)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{macierz}a_{1},\kropki ,a_{p-1 },a_{p}-1\\b_{1},\kropki ,b_{q}\end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq n<p,}$

${\ Displaystyle (b_ {1} -b_ {q}) \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\$

${\ Displaystyle (b_ {1} -a_ {1} + 1) \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left (\left.{\begin{macierz}a_{1}-1,a_{2},\kropki,a_{p}\\b_{1},\kropki,b_{q}\end{macierz}}\ ;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{macierz}a_{1},\kropki ,a_{p }\\b_{1}+1,b_{2},\kropki ,b_{q}\end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,\;m \geq 1,}$

${\ Displaystyle (a_ {p} -b_ {q} -1) \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left (\left.{\begin{macierz}a_{1},\kropki,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\kropki,b_{q}\end{macierz} }\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{macierz}a_{1},\kropki ,a_ {p}\\b_{1},\kropki ,b_{q-1},b_{q}+1\end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad n<p, \;m<q.}$

Podobne relacje dla diagonalnych par parametrów a ₁ , b _q i b ₁ , a _p wynikają z odpowiedniej kombinacji powyższych. Ponownie, z tych relacji powtarzalności można wyprowadzić odpowiednie właściwości funkcji hipergeometrycznych i innych funkcji specjalnych.

Twierdzenia o mnożeniu

Zakładając, że z ≠ 0, zachodzą następujące zależności:

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{1}}\sum _{h=0}^{\infty}{\frac {( 1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p }} \\b_{1}+h,b_{2},\kropki ,b_{q}\end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,}$

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_ {q}} \ end{macierz}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{q}}\sum _{h=0}^{\infty}{\frac {(w-1)^{h }}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1 },\kropki ,b_{q-1},b_{q}+h\end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,}$

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_ {q}} \ end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{1}}\sum _{h=0}^{\infty}{ \frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{ 1}-h,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,}$

${\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\ mathbf {b_ {q}} \ end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{p}}\sum _{h=0}^{\infty}{ \frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{ 1},\kropki ,a_{p-1},a_{p}-h\\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right),\quad n <str.}$

Następują one po rozwinięciu Taylora o w = 1, za pomocą podstawowych właściwości omówionych powyżej. Promienie zbieżności będą zależne od wartości z i od rozszerzonej funkcji G. Rozwinięcia można uznać za uogólnienia podobnych twierdzeń dla funkcji Bessela , hipergeometrycznych i konfluentnych funkcji hipergeometrycznych.

Całki oznaczone z udziałem funkcji G

Wśród całek oznaczonych obejmujących dowolną funkcję G mamy:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz }\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx={\frac {\eta ^{-s }\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-s)}{\ prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+s)} }.}$

Należy zauważyć, że ograniczenia, w ramach których istnieje ta całka, zostały tutaj pominięte. Oczywiście nie jest niespodzianką, że transformata Mellina funkcji G powinna prowadzić z powrotem do całki występującej w powyższej definicji .

Eulera dla funkcji G są określone wzorem:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {- \ alfa} \; (1-x) ^ {\ alfa - \ beta -1} \;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end {macierz}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+ 1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{macierz}}\;\right |\,z\right),}$

${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} x ^ {- \ alfa} \; (x-1) ^ {\ alfa - \ beta -1} \; G_ {p, q} ^ {\, m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx \right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\ begin{macierz}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,z\right).}$

Obszerne ograniczenia, w ramach których istnieją te całki, można znaleźć na str. 417 „Tabele przekształceń całkowych”, tom. II (1954), pod redakcją A. Erdelyi. Należy zauważyć, że ze względu na ich wpływ na funkcję G, całki te można wykorzystać do zdefiniowania operacji całkowania ułamkowego dla dość dużej klasy funkcji ( operatory Erdélyi – Kobera ).

Wynikiem o fundamentalnym znaczeniu jest to, że iloczyn dwóch dowolnych funkcji G zintegrowanych na dodatniej osi rzeczywistej może być reprezentowany przez inną funkcję G (twierdzenie o splocie):

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ mathbf {a_ {p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,\eta x\right)G_{\sigma ,\tau }^{\,\mu ,\nu }\!\ left(\left.{\begin{macierz}\mathbf {c_{\sigma }} \\\mathbf {d_{\tau }} \end{macierz}}\;\right|\,\omega x\right) dx=}$

${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {\ eta}} \; G_ {q + \ sigma, \, p + \ tau} ^ {\, n + \ mu, \, m + \ nu} \! \ lewo (\ lewo .{\begin{macierz}-b_{1},\kropki,-b_{m},\mathbf {c_{\sigma}},-b_{m+1},\kropki,-b_{q}\\ -a_{1},\kropki,-a_{n},\mathbf {d_{\tau}},-a_{n+1},\kropki,-a_{p}\koniec{macierzy}}\;\ prawo|\,{\frac {\omega }{\eta}}\prawo)=}$

${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {\ omega}} \; G_ {p + \ tau, \, q + \ sigma} ^ {\, m + \ nu, \, n + \ mu} \! \ lewo (\ lewo .{\begin{macierz}a_{1},\kropki,a_{n},-\mathbf {d_{\tau}},a_{n+1},\kropki,a_{p}\\b_{1 },\dots ,b_{m},-\mathbf {c_{\sigma }},b_{m+1},\dots ,b_{q}\end{macierz}}\;\right|\,{\ frac {\eta }{\omega}}\right).}$

Ograniczenia, w ramach których istnieje całka, można znaleźć w Meijer, CS, 1941: Nederl. Akad. Wetensch, Proc. 44, s. 82–92. Zwróć uwagę, jak transformata Mellina wyniku po prostu łączy czynniki gamma z transformacji Mellina dwóch funkcji w całce.

Formułę splotu można wyprowadzić, zastępując definiującą całkę Mellina-Barnesa jedną z funkcji G, odwracając kolejność całkowania i oceniając wewnętrzną całkę z transformacją Mellina. Powyższe całki typu Eulera następują analogicznie.

Transformata Laplace'a

Korzystając z powyższej całki splotowej i podstawowych właściwości, można pokazać, że:

$\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ omega x} \; x ^ {- \ alfa} \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \ !\left(\left.{\begin{macierz}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,\eta x\right) dx=\omega ^{\alpha -1}\;G_{p+1,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\ alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,{\frac {\eta}}{\omega}}\right),}$

gdzie Re( ω ) > 0. To jest transformata Laplace'a funkcji G ( ηx ) pomnożona przez potęgę x ^{− α} ; jeśli umieścimy α = 0, otrzymamy transformatę Laplace'a funkcji G. Jak zwykle, odwrotna transformata jest następnie dana przez:

${\ Displaystyle x ^ {- \ alfa} \; G_ {p, \, q + 1} ^ {\, m, \, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć { macierz}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\alpha \end{macierz}}\;\right|\,\eta x\right)={\frac {1}{ 2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }e^{\omega x}\;\omega ^{\alpha -1}\;G_{p,q}^{ \,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\ ,{\frac {\eta }{\omega}}\right)d\omega,}$

gdzie c jest rzeczywistą stałą dodatnią, która umieszcza ścieżkę całkowania na prawo od dowolnego bieguna w całce.

Inny wzór na transformatę Laplace'a funkcji G to:

$\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ omega x} \; G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. { \begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x^{2}\right)dx={\ frac {1}{{\sqrt {\pi}}\omega}}\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{ \begin{matrix}0,{\frac {1}{2}},\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{ \frac {4\eta }{\omega ^{2}}}\right),}$

gdzie ponownie Re( ω ) > 0. W obu przypadkach pominięto szczegóły ograniczeń, w jakich istnieją całki.

Transformacje całkowe oparte na funkcji G

Ogólnie rzecz biorąc, dwie funkcje k ( z , y ) i h ( z , y ) nazywane są parą jąder transformacji, jeśli dla dowolnej odpowiedniej funkcji f ( z ) lub dowolnej odpowiedniej funkcji g ( z ) zachodzą jednocześnie następujące dwie zależności :

${\ Displaystyle g (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} k (z, y) \, f (y) \; dy, \ quad f (z) = \ int _ {0} ^ { \infty }h(z,y)\,g(y)\;dy.}$

Mówimy, że para jąder jest symetryczna, jeśli k ( z , y ) = h ( z , y ).

Transformacja Naraina

Roop Narain ( 1962 , 1963a , 1963b ) wykazał, że funkcje:

${\ Displaystyle k (z, y) = 2 \ gamma \; (zy) ^ {\ gamma -1/2} \; G_ {p + q, \, m + n} ^ {\, m, \, p }\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {c_{m}} ,\mathbf {d_{n} } \end{macierz}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right),}$

${\ Displaystyle h (z, y) = 2 \ gamma \; (zy) ^ {\ gamma -1/2} \; G_ {p + q, \, m + n} ^ { \,n,\,q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {b_{q}} ,-\mathbf {a_{p}} \\-\mathbf {d_{n }} ,-\mathbf {c_{m}} \end{macierz}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right)}$

są asymetryczną parą jąder transformacji, gdzie γ > 0, n - p = m - q > 0, oraz:

${\ Displaystyle \ suma _ {j = 1} ^ {p} a_ {j }+\sum _{j=1}^{q}b_{j}=\sum _{j=1}^{m}c_{j}+\sum _{j=1}^{n}d_{ J},}$

wraz z dalszymi warunkami konwergencji. W szczególności, jeśli p = q , m = n , a _j + b _j = 0 dla j = 1, 2, ..., p i c _j + re _j = 0 dla j = 1, 2, ..., m , to para jąder staje się symetryczna. Dobrze znana transformata Hankla jest symetrycznym przypadkiem szczególnym transformaty Naraina ( γ = 1, s = q = 0, m = n = 1, do ₁ = - re ₁ = ^ν ⁄ ₂ ).

Transformacja mięczaka

Jet Wimp ( 1964 ) pokazał, że te funkcje są asymetryczną parą jąder transformacji:

${\ Displaystyle k (z, y) = G_ {p + 2, \, q} ^ {\, m, \, n + 2} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} 1- \ nu +iz,1-\nu -iz,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\;y\right),}$

${\ Displaystyle h (z, y) = {\ Frac {i} {\ pi}} tak ^ {- \ nu \ pi ja }\left[e^{\pi y}A(\nu +iy,\nu -iy\,|\,ze^{i\pi })-e^{-\pi y}A(\nu -iy ,\nu +iy\,|\,ze^{i\pi})\right],}$

gdzie funkcja A (·) jest zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle A (\ alfa, \ beta \, | \, z) = G_ {p + 2, \, q} ^ {\, qm, \, p-n + 1} \! \ lewo (\ lewo. {\begin{macierz}-a_{n+1},-a_{n+2},\kropki,-a_{p},\alfa,-a_{1},-a_{2},\kropki,- a_{n},\beta \\-b_{m+1},-b_{m+2},\kropki ,-b_{q},-b_{1},-b_{2},\kropki ,- b_{m}\koniec{macierzy}}\;\prawo|\,z\prawo).}$

Uogólniona transformata Laplace'a

Transformatę Laplace'a można uogólnić w ścisłej analogii z uogólnieniem transformaty Hankla przez Naraina:

${\ Displaystyle g (s) = 2 \ gamma \ int _ {0} ^ {\ infty} (st) ^ {\ gamma + \ rho -1/2} \; G_ {p, \, q + 1} ^ {\,q+1,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\0,\mathbf {b_{q}} \end{macierz} }\;\right|\,(st)^{2\gamma }\right)f(t)\;dt,}$

${\ Displaystyle f (t) = {\ Frac {\ gamma} {\ pi ja}} \ int _ { ci\infty }^{c+i\infty }(ts)^{\gamma -\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\ !\left(\left.{\begin{macierz}-\mathbf {a_{p}} \\0,-\mathbf {b_{q}} \end{macierz}}\;\right|\,-( ts)^{2\gamma }\right)g(s)\;ds,}$

0 gdzie γ > , p ≤ q , oraz:

${\ Displaystyle (q + 1-p) \, {\ rho \ ponad 2 \ gamma} = \ suma _{j=1}^{p}a_{j}-\suma _{j=1}^{q}b_{j},}$

i gdzie stała c > 0 umieszcza drugą ścieżkę całkowania na prawo od dowolnego bieguna w całce. Dla γ = ¹ / ₂ , ρ = 0 i p = q = 0 odpowiada to znanej transformacie Laplace'a.

Transformacja Meijera

Dwa szczególne przypadki tego uogólnienia podał CS Meijer w latach 1940 i 1941. Przypadek wynikający dla γ = 1, ρ = − ν , p = 0, q = 1 i b ₁ = ν można zapisać (Meijer 1940 ):

${\ Displaystyle g (s) = {\ sqrt {2/\ pi}} \ int _{0}^{\infty }(st)^{1/2}\,K_{\nu }(st)\,f(t)\;dt,}$

${\ Displaystyle f (t) = {\ Frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \, ja }}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }(ts)^{1/2}\,I_{\nu }(ts)\,g(s)\;ds,}$

a przypadek uzyskany dla γ = ¹ ⁄ ₂ , ρ = − m − k , p = q = 1, a ₁ = m − k i b ₁ = 2 m można zapisać (Meijer 1941a ):

${\ Displaystyle g (s) = \int _{0}^{\infty }(st)^{-k-1/2}\,e^{-st/2}\,W_{k+1/2,\,m}(st) \,f(t)\;dt,}$

${\ Displaystyle f (t) = {\ Frac {\ Gamma (1-k + m)} {2 \ pi ja \, \ Gamma (1 + 2 m)}} \ int _ {ci \ infty} ^ {c + i\infty }(ts)^{k-1/2}\,e^{ts/2}\,M_{k-1/2,\,m}(ts)\,g(s)\;ds .}$

Tutaj I _ν i K _ν są odpowiednio zmodyfikowanymi funkcjami Bessela pierwszego i drugiego rodzaju, M _{k , m} i W _{k , m} są funkcjami Whittakera , a do funkcji f i g oraz ich argumentów zastosowano stałe współczynniki skali s i t w pierwszym przypadku.

Reprezentacja innych funkcji w kategoriach funkcji G

Poniższa lista pokazuje, w jaki sposób znane funkcje elementarne wynikają jako szczególne przypadki funkcji G Meijera:

${\ Displaystyle e ^ {x} = G_ {0,1} ^ {\, 1,0} \! \ lewo (\ lewo. {\ begin{macierz}-\\0\end{macierz}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x}$

${\ Displaystyle \ cos x = {\ sqrt {\ pi}} \; G_ {0,2} ^ {\, 1,0} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} - \\ 0, {\frac {1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \forall x}$

${\ Displaystyle \ sin x = {\ sqrt {\ pi}} \; G_ {0,2} ^ {\, 1,0} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} - \\ {\ frac {1}{2}},0\end{macierz}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi {2}}<\ arg x\leq {\frac {\pi}}{2}}}$

${\ Displaystyle \ cosh x = {\ sqrt {\ pi}} \; G_ {0,2} ^ {\, 1,0} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} - \\ 0, {\frac {1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\, - {\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \forall x}$

${\ Displaystyle \ sinh x = - {\ sqrt {\ pi}} i \; G_ {0,2} ^ {\, 1,0} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} - \\ {\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad -\pi < \arg x\leq 0}$

${\ Displaystyle \ arcsin x = {\ Frac {-i} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} \; G_ {2,2} ^ {\, 1,2} \! \ lewo (\ lewo. {\begin{matrix}1,1\\{\frac {1}{2}},0\end{macierz}}\;\right|\,-x^{2}\right),\qquad -\ pi <\arg x\leq 0}$

${\ Displaystyle \ arctan x = {\ Frac {1} {2}} \; G_ {2,2} ^ {\, 1,2} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz}} {\ frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{macierz}}\;\right|\,x^{2}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arccot} x = {\ Frac {1} {2}} \; G_ {2,2} ^ {\, 2,1} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz }{\frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,x^{2}\right),\ qquad {\frac {-\pi}}{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi}}{2}}}$

${\ Displaystyle \ ln (1 + x) = G_ {2,2} ^ {\, 1,2} \! \ lewo (\ lewo. {\ początek {macierz} 1,1 \\ 1,0 \ koniec { macierz}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\ Displaystyle H (1 -|x|)=G_{1,1}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{macierz}1\\0\end{macierz}}\;\right|\ ,x\right),\qquad \forall x}$

${\ Displaystyle H (| x | -1) = G_ {1,1} ^ {\ 0,1} \! \ lewo (\ lewo. {\ begin{macierz}1\\0\end{macierz}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

Tutaj H oznacza funkcję skokową Heaviside'a .

Poniższa lista pokazuje, jak niektóre wyższe funkcje można wyrazić za pomocą funkcji G:

${\ Displaystyle \ gamma (\ alfa, x) = G_ {1,2} ^ {\, 1,1} \!\left(\left.{\begin{macierz}1\\\alpha ,0\end{macierz}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\ Displaystyle \ Gamma (\ alfa, x) = G_ {1,2} ^ {\, 2,0} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} 1 \\\ alfa ,0\end{macierz}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\ Displaystyle J_ {\ nu} (x) = G_ {0,2} ^ {\, 1,0} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} - \\ {\ Frac {\ nu} {2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi}}{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi}}{2}}}$

${\ Displaystyle Y _ {\ nu} (x) = G_ {1,3} ^ {\, 2,0} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} {\frac {-\nu -1}{2}}\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}},{\frac {-\nu -1 }{2}}\end{macierz}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}} <\arg x\leq {\frac {\pi}}{2}}}$

${\ Displaystyle I _ {\ nu} (x) = i ^ {- \ nu} \; G_ {0,2} ^ {\, 1,0} \! \left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right| \,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0}$

${\ Displaystyle K _ {\ nu} (x) = {\ Frac {1} {2}} \; G_ {0,2} ^ {\, 2, 0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\ ;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\ Displaystyle \ Phi (x, n, a) = G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,1-a,\kropki ,1-a \\0,-a,\dots ,-a\end{macierz}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x,\;n=0,1,2,\dots }$

${\ Displaystyle \ Phi (x, -n, a) = G_ {n + 1, \, n + 1} ^ {\, 1, \, n + 1} \! \ lewo (\ lewo. {\begin{macierz}0,-a,\kropki,-a\\0,1-a,\kropki,1-a\koniec{macierz}}\;\prawo|\,-x\prawo),\ qquad \dla wszystkich x,\;n=0,1,2,\kropki }$

Nawet pochodne γ( α , x ) i Γ ( α , x ) względem α można wyrazić za pomocą funkcji G Meijera. Tutaj γ i Γ są dolnymi i górnymi niekompletnymi funkcjami gamma , J _ν i Y _ν są odpowiednio funkcjami Bessela pierwszego i drugiego rodzaju, I _ν i K _ν są odpowiednimi zmodyfikowanymi funkcjami Bessela, a Φ jest transcendentną Lercha .

Zobacz też

• Gradsztejna i Ryżyka

•   Andrews, LC (1985). Funkcje specjalne dla inżynierów i matematyków stosowanych . Nowy Jork: MacMillan. ISBN 978-0-02-948650-4 .
•    Askey, RA ; Daalhuis, Adri B. Olde (2010), „Funkcja G Meijera” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
• Bateman, H. ; Erdélyi, A. (1953). Wyższe funkcje transcendentalne, tom. ja (PDF) . Nowy Jork: McGraw-Hill. (patrz § 5.3, „Definicja funkcji G”, s. 206)
• Beals, Richard; Szmigielski, Jacek (2013). „Funkcje G Meijera: delikatne wprowadzenie” (PDF) . Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 60 (7): 866. doi : 10.1090/noti1016 .
• Bryczkow, Yu. A.; Prudnikov, AP (2001) [1994], "Meijer transform" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•    Gradsztejn, Izrail Salomonowicz ; Ryżyk, Józef Moisejewicz ; Geronimus, Jurij Wieniaminowicz ; Tsejtlin, Michaił Juljewicz ; Jeffrey, Alan (2015) [październik 2014]. "9.3." W Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (red.). Tabela całek, szeregów i iloczynów . Przetłumaczone przez Scripta Technica, Inc. (wyd. 8). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 .
• Klimyk, AU (2001) [1994], "Funkcje Meijera G" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•   Łukasz, Yudell L. (1969). Funkcje specjalne i ich przybliżenia, tom. ja . Nowy Jork: prasa akademicka. ISBN 978-0-12-459901-7 . (patrz Rozdział V, „Uogólniona funkcja hipergeometryczna i funkcja G”, s. 136)
•   Meijera, CS (1936). "Über Whittakersche bzw. Besselsche Funktionen und deren Produkte". Nieuw Archief voor Wiskunde (2) (w języku niemieckim). 18 (4): 10–39. JFM 62.0421.02 .
•   Meijera, CS (1940). „Über eine Erweiterung der Laplace-Transformation - I, II” . Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Amsterdam) (w języku niemieckim). 43 : 599-608 i 702-711. JFM 66.0523.01 .
•   Meijer, CS (1941a). „Eine neue Erweiterung der Laplace-Transformation - I, II” . Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Amsterdam) (w języku niemieckim). 44 : 727-737 i 831-839. JFM 67.0396.01 .
•   Meijer, CS (1941b). „Multiplikationstheorem für die Funktion ${\ Displaystyle \ scriptstyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} (z)}$ ". Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Amsterdam) (w języku niemieckim). 44 : 1062-1070. JFM 67.1016.01 .
•   Narain, Roop (1962). „G-funkcje jako niesymetryczne jądra Fouriera - I” (PDF) . Postępowanie Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 13 (6): 950–959. doi : 10.1090/S0002-9939-1962-0144157-5 . MR 0144157 .
•   Narain, Roop (1963a). „Funkcje G jako niesymetryczne jądra Fouriera - II” (PDF) . Postępowanie Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 14 (1): 18–28. doi : 10.1090/S0002-9939-1963-0145263-2 . MR 0145263 .
•   Narain, Roop (1963b). „Funkcje G jako niesymetryczne jądra Fouriera - III” (PDF) . Postępowanie Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 14 (2): 271–277. doi : 10.1090/S0002-9939-1963-0149210-9 . MR 0149210 .
•   Prudnikow, AP; Mariczew, OI; Bryczkow, Yu. A. (1990). Całki i serie, tom. 3: więcej funkcji specjalnych . Newark, NJ: Gordon i naruszenie. ISBN 978-2-88124-682-1 . (patrz § 8.2, „Funkcja G Meijera”, s. 617)
•    Łupek, Lucy Joan (1966). Uogólnione funkcje hipergeometryczne . Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06483-5 . (jest wydanie w miękkiej oprawie z 2008 r. z ISBN 978-0-521-09061-2 )
•    Mięczak, Jet (1964). „Klasa transformacji integralnych” . Proceedings of Edinburgh Mathematical Society . Seria 2. 14 : 33–40. doi : 10.1017/S0013091500011202 . MR 0164204 . Zbl 0127.05701 .
•   Mathai, Saxena, AM i RK (1973). Uogólnione funkcje hipergeometryczne z zastosowaniami w statystyce i naukach fizycznych . Springera . ISBN 9780387064826 .
• Dobrze, Michael (2020). „Promieniowanie z bezwładnościowego horyzontu lustrzanego” . Wszechświat . 6(9) (131): 131. arXiv : 2008.08776 . Bibcode : 2020Univ....6..131G . doi : 10.3390/wszechświat6090131 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Funkcja G Meijera” . MathWorld .
• hypergeom na GitLabie