Transformata Hankla

Nie mylić z transformacją macierzową Hankla .

W matematyce transformata Hankla wyraża dowolną daną funkcję f ( r ) jako sumę ważoną nieskończonej liczby funkcji Bessela pierwszego rodzaju J _v ( kr ) . Wszystkie funkcje Bessela w sumie są tego samego rzędu v, ale różnią się współczynnikiem skalowania k wzdłuż osi r . Niezbędny współczynnik F _v każdej funkcji Bessela w sumie, jako funkcja współczynnika skalowania k stanowi przekształconą funkcję. Transformata Hankla jest transformacją całkową i została po raz pierwszy opracowana przez matematyka Hermanna Hankla . Jest również znany jako transformata Fouriera-Bessela. Tak jak transformata Fouriera dla nieskończonego przedziału jest związana z szeregiem Fouriera w skończonym przedziale, tak transformata Hankla w nieskończonym przedziale jest związana z szeregiem Fouriera-Bessela w skończonym przedziale.

Definicja

Transformata Hankla rzędu funkcji fa ( r ) jest dana przez ${\ displaystyle \ nu}$

${\ Displaystyle F _ {\ nu} (k) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (r) J_ {\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,}$

gdzie jest funkcją Bessela $geq$ rodzaju rzędu z $Displaystyle$$\ nu \$ . Odwrotna transformata Hankla F _v ( k ) jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle f (r) = \ int _ {0} ^ {\ infty} F_ {\ nu} (k) J_ {\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,}$

co można łatwo zweryfikować za pomocą opisanej poniżej zależności ortogonalności.

Domena definicji

Odwrócenie transformaty Hankla funkcji f ( r ) jest ważne w każdym punkcie, w którym f ( r ) jest ciągła, pod warunkiem, że funkcja jest zdefiniowana w (0, ∞), jest fragmentarycznie ciągła i ma ograniczoną zmienność w każdym skończonym podprzedziale w (0, ∞) i

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | f (r) | \, r ^ {\ Frac {1} {2}} \ \ operatorname {d} r <\ infty.}$

Jednak, podobnie jak transformata Fouriera, dziedzinę można rozszerzyć za pomocą argumentu gęstości, aby obejmowała niektóre funkcje, których powyższa całka nie jest skończona, na przykład ${\ displaystyle f (r) =(1+r)^{-3/2}}$ .

Alternatywna definicja

Alternatywna definicja mówi, że transformata Hankla g ( r ) jest

${\ Displaystyle h_ {\ nu} (k) = \ int _ {0} ^ {\ infty} g (r) J_ {\ nu} (kr) \, {\ sqrt {kr}} \, \ operatorname {d } R.}$

Te dwie definicje są ze sobą powiązane:

Jeśli ${\ Displaystyle g (r) = f (r) {\ sqrt {r}}}$ , to ${\ Displaystyle h_ {\ nu} (k) = F _ {\ nu} (k) {\ sqrt {k}}.}$

Oznacza to, że podobnie jak w przypadku poprzedniej definicji, zdefiniowana w ten sposób transformata Hankla jest również swoją własną odwrotnością:

${\ Displaystyle g (r) = \ int _ {0} ^ {\ infty} h _ {\ nu} (k) J_ {\ nu} (kr) \, {\ sqrt {kr}} \, \ operatorname {d } k.}$

Oczywista domena ma teraz warunek

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | g (r) | \ \ operatorname {d} r <\ infty,}$

ale to można przedłużyć. Zgodnie z powyższym odniesieniem możemy przyjąć całkę jako granicę, gdy górna granica dąży do nieskończoności (całka niewłaściwa, a nie całka Lebesgue'a ) iw ten sposób transformata Hankla i jej odwrotność działają dla wszystkich funkcji w L ² (0, ∞).

Przekształcanie równania Laplace'a

Transformatę Hankla można wykorzystać do przekształcenia i rozwiązania równania Laplace'a wyrażonego we współrzędnych cylindrycznych. W przypadku transformacji Hankla operator Bessela staje się mnożeniem przez ${\ displaystyle -k ^ {2}}$ . W przypadku osiowosymetrycznego równanie różniczkowe cząstkowe przekształca się jako

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0} \ lewo \ {{\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe r ^ {2}}} + {\ Frac {1} {r} }{\frac {\częściowy u}{\częściowy r}}+{\frac {\częściowy ^{2}u}{\częściowy z^{2}}}\right\}=-k^{2}U+ {\frac {\częściowy ^{2}}{\częściowy z^{2}}}U,}$

które jest równaniem różniczkowym zwyczajnym w przekształconej zmiennej. ${\ displaystyle U}$ .

Ortogonalność

Funkcje Bessela tworzą podstawę ortogonalną w odniesieniu do współczynnika ważenia r :

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} J_ {\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (kk')}{k}},\quad k,k '>0.}$

Twierdzenie Plancherela i twierdzenie Parsevala

Jeśli f ( r ) i g ( r ) są takie, że ich transformaty Hankla F _ν ( k ) i G _ν ( k ) są dobrze zdefiniowane, to twierdzenie Plancherela stwierdza

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (r) g (r) \, r \ \ operatorname {d} r = \ int _ {0} ^ {\ infty} F_ {\ nu} (k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.}$

Twierdzenie Parsevala , które stwierdza

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | f (r) | ^ {2} \, r \ \ operatorname {d} r = \ int _ {0} ^ {\ infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,}$

jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Plancherela. Te twierdzenia można udowodnić za pomocą własności ortogonalności.

Związek z wielowymiarową transformatą Fouriera

Transformata Hankla pojawia się, gdy zapiszemy wielowymiarową transformatę Fouriera we współrzędnych hipersferycznych , co jest powodem, dla którego transformata Hankla często pojawia się w problemach fizycznych o symetrii cylindrycznej lub sferycznej.

Rozważmy funkcję -wymiarowego wektora r . fa $)}$$mathbf {r$ } Jego $Fouriera$ jest zdefiniowana jako

$${\ Displaystyle F (\ mathbf {k}) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} f (\ mathbf {r}) e ^ {-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r } }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .}$$

Aby przepisać to we współrzędnych hipersferycznych, możemy użyć rozkładu fali płaskiej na $Displaystyle$ harmoniczne hipersferyczne $Y_ {l, m}}: re {\ textstyle d$ }

$${\ Displaystyle e ^ {-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} = (2 \ pi) ^ {d/2} (kr) ^ { 1-d/2}\suma _{l=0}^{+\infty}(-i)^{l}J_{d/2-1+l}(kr)\suma _{m}Y_{l ,m}(\Omega _{\mathbf {k}})Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r}}),}$$

gdzie i są zbiorami wszystkich kątów hipersferycznych w ${\ textstyle \ Omega _ {\ mathbf {r}}}$$Ω$$mathbf {k}}} r}}$ -przestrzeń i ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$ -przestrzeń. Daje to następujące wyrażenie dla -wymiarowej transformaty Fouriera we współrzędnych hipersferycznych: ${\ textstyle d}$

$${\ Displaystyle F (\ mathbf {k}) = (2 \ pi) ^ {d / 2} k ^ {1-d / 2} \ suma _ {l = 0} ^ {+ \ infty} (-i) ^{l}\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k}})\int _{0}^{+\infty}J_{d/2-1+l} (kr)r^{d/2}\mathrm {d} r\int f(\mathbf {r} )Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r}})\mathrm {d} \Omega _{\mathbf {r}}.}$$

Jeśli rozwiniemy i rozwiniemy w hipersferyczne harmoniczne: ${\ Displaystyle f (\ mathbf {r})}$ i ${\ Displaystyle F (\ mathbf {k})}$

$${\ Displaystyle f (\ mathbf {r}) = \ suma _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ suma _ {m} f_ {l, m} (r) Y_ {l, m} (\Omega _{\mathbf {r}}),\quad F(\mathbf {k})=\sum _{l=0}^{+\infty}\sum _{m}F_{l,m} (k)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k}}),}$$

transformata Fouriera we współrzędnych hipersferycznych upraszcza się do

$${\ Displaystyle k ^ {d / 2-1} F_ {l, m} (k) = (2 \ pi) ^ {d / 2} (-i) ^ {l} \ int _ {0} ^ {+ \infty }r^{d/2-1}f_{l,m}(r)J_{d/2-1+l}(kr)r\mathrm {d} r.}$$

Oznacza to, że funkcje z zależnością kątową w postaci hipersferycznej harmonicznej zachowują ją na wielowymiarowej transformacie Fouriera, podczas gdy część promieniowa przechodzi transformatę Hankla (do kilku dodatkowych czynników, takich jak r re / 2 - 1 { $/ 2-1}}$ ).

Przypadki specjalne

Transformata Fouriera w dwóch wymiarach

Jeśli dwuwymiarowa funkcja f ( r ) jest rozwinięta w szereg wielobiegunowy ,

${\ Displaystyle f (r, \ teta) = \ suma _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} f_ {m}(r)e^{im\theta _{\mathbf {r}}},}$

wtedy jego dwuwymiarowa transformata Fouriera jest dana przez

$$\ Displaystyle F (\ mathbf {k}) = 2 \ pi \ suma _ {m} i ^ {- m} e^{im\theta _{\mathbf {k}}}F_{m}(k),}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle F_ {m} (k) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {m} (r )J_{m}(kr)\,r\,\mathrm {d} r}$$

jest transformatą Hankela -tego rzędu $}$$textstyle m}} odgrywa$ tym przypadku rolę momentu pędu, który był $textstyle$ oznaczony przez ${\ textstyle l}$ w poprzedniej sekcji).

Transformata Fouriera w trzech wymiarach

Jeśli trójwymiarowa funkcja f ( r ) zostanie rozwinięta w szeregu wielobiegunowym po sferycznych harmonicznych ,

${\ Displaystyle f (r, \ theta _ {\ mathbf {r}}, \ varphi _ {\ mathbf {r}}) = \ suma _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ suma _ {m = -l}^{+l}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {r}},\varphi _{\mathbf {r}}),}$

wtedy jego trójwymiarowa transformata Fouriera jest dana przez

$${\ Displaystyle F (k, \ theta _ {\ mathbf {k}}, \ varphi _ {\ mathbf {k}}) = (2 \ pi) ^ {3/2} \ suma _ {l = 0} ^{+\infty }(-i)^{l}\suma _{m=-l}^{+l}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k}}),}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle {\ sqrt {k}} F_ {l, m} (k) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ sqrt {r}} f_ {l, m} (r) J_ { l+1/2}(kr)r\mathrm {d} r.}$$

jest transformatą Hankla rzędu ${\ Displaystyle {\ sqrt {r}} f_ {l, m} (r)}$ rzędu ${\ textstyle (l + 1 / 2)}$ .

Ten rodzaj transformaty Hankla rzędu półcałkowitej jest również znany jako sferyczna transformata Bessela.

Transformata Fouriera w wymiarach d (przypadek radialnie symetryczny)

Jeśli d -wymiarowa funkcja f ( r ) nie zależy od współrzędnych kątowych, to jej d -wymiarowa transformata Fouriera F ( k ) również nie zależy od współrzędnych kątowych i jest dana wzorem

$${\ Displaystyle k ^ {d / 2-1} F (k) = (2 \ pi) ^ {d / 2} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} r ^ {d / 2-1} f (r)J_{d/2-1}(kr)r\mathrm {d} r.}$$

która jest transformatą Hankla rzędu $r ^ {d / 2-1} f (r)}$ Displaystyle ${\ textstyle (d/2- 1)}$ aż do współczynnika ${\ Displaystyle (2 \ pi) ^ {d/2}}$ .

Funkcje 2D w ograniczonym promieniu

Jeśli dwuwymiarowa funkcja f ( r ) jest rozwinięta w szereg wielobiegunowy i współczynniki rozszerzalności f _m są wystarczająco gładkie w pobliżu początku układu współrzędnych i zerowe poza promieniem R , część radialna f ( r )/ r ^m może zostać rozwinięta w szereg potęgowy 1 − ( r / R )^2 :

${\ Displaystyle f_ {m} (r) = r ^ {m} \ suma _ {t\geq 0}f_{m,t}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\quad 0\leq r\równik R,}$

staje się dwuwymiarowa transformata Fouriera f ( r ) .

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F (\ mathbf {k}) & = 2 \ pi \ suma _ {m} i ^ {- m} e ^ {im \ theta _ {k}} \ suma _ {t }f_{m,t}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right) ^{t}J_{m}(kr)r\,\mathrm {d} r&&\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}} R^{m+2}\suma _{t}f_{m,t}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x^{2})^{t}J_ {m}(kxR)\,\mathrm {d} x&&(x={\tfrac {r}{R}})\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{ im\theta _{k}}R^{m+2}\suma _{t}f_{m,t}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}} }J_{m+t+1}(kR),\end{wyrównane}}}$

gdzie ostatnia równość wynika z §6.567.1 ust. Współczynniki rozszerzalności f _{m, t} są dostępne za pomocą dyskretnych technik transformaty Fouriera : jeśli odległość promieniowa jest skalowana za pomocą

${\ Displaystyle r / R \ równoważnik \ sin \ teta \ quad 1- (r / R) ^ {2} = \ cos ^{2}\theta ,}$

współczynniki szeregu Fouriera-Czebyszewa g pojawiają się jako

${\ Displaystyle f (r) \ równoważnik r ^ {m} \ suma _ {j} g_ {m, j} \ cos (j \ teta) = r ^ {m} \ suma _ {j} g_ {m, j }T_{j}(\cos\theta).}$

Korzystanie z ponownego rozszerzenia

${\ Displaystyle \ sałata (j \ teta) = 2 ^ {j-1} \ sałata ^ {j} \ teta - {\ Frac {j} {1 }}2^{j-3}\cos ^{j-2}\theta +{\frac {j}{2}}{\binom {j-3}{1}}2^{j-5}\ sałata ^{j-4}\theta -{\frac {j}{3}}{\binom {j-4}{2}}2^{j-7}\cos ^{j-6}\theta + \cdots}$

wydajność f _m,t wyrażona jako suma g _m,j .

To jeden ze smaków technik szybkiej transformacji Hankla.

Stosunek do transformat Fouriera i Abela

Transformata Hankla jest jednym z elementów cyklu operatorów całkowych FHA . W dwóch wymiarach, jeśli zdefiniujemy A jako operator transformaty Abla , F jako operator transformaty Fouriera , a H jako operator transformaty Hankla zerowego rzędu, to szczególny przypadek twierdzenia o projekcji dla funkcji kołowo-symetrycznych stwierdza, że

${\ Displaystyle FA = H.}$

Innymi słowy, zastosowanie transformaty Abela do funkcji jednowymiarowej, a następnie zastosowanie transformaty Fouriera do tego wyniku jest tym samym, co zastosowanie transformaty Hankla do tej funkcji. Koncepcję tę można rozszerzyć na wyższe wymiary.

Ocena numeryczna

Proste i skuteczne podejście do numerycznej oceny transformaty Hankla opiera się na obserwacji, że można ją oddać w postać splotu przez logarytmiczną zmianę zmiennych

$${\ Displaystyle r = r_ {0} e ^ {- \ rho}, \ quad k = k_ {0} \, e ^ {\ kappa}.}$$

W tych nowych zmiennych odczytuje się transformatę Hankla

$$\ Displaystyle {\ tylda {F}} _ {\ nu} (\ kappa) = \ int _ {-\infty}^{\infty}}{\tylda {f}}(\rho){\tylda {J}}_{\nu}(\kappa -\rho)\,\mathrm {d}\rho, }$$

Gdzie

$${\ Displaystyle {\ tylda {f}} (\ rho) = \ lewo (r_ {0} \, e ^ { -\rho }\right)^{1-n}\,f(r_{0}e^{-\rho }),}$$

$${\ Displaystyle {\ tylda {F}} _ {\ nu} (\ kappa) = \ lewo (k_ {0} \,e^{\kappa }\right)^{1+n}\,F_{\nu }(k_{0}e^{\kappa}),}$$

$${\ Displaystyle {\ tylda {J}} _ {\ nu} (\ kappa - \ rho) = \ lewo (k_ {0} \, r_ {0} \, e ^ {\ kappa - \ rho} \ prawej) ^{1+n}\,J_{\nu}(k_{0}r_{0}e^{\kappa -\rho}).}$$

$Teraz$ całkę ze przy transformaty Fouriera Algorytm można jeszcze bardziej uprościć, używając znanego wyrażenia analitycznego dla transformaty Fouriera z : ${\ Displaystyle {\ tylda {J}} _ {\ nu}}$ :

$${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty}} {\ tylda {J}} _ {\ nu} (x) e ^ {-iqx} \, \ operatorname {d} x = {\ frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1+n-iq}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1-n+iq}{2}} \right)}}\,2^{n-iq}e^{iq\ln(k_{0}r_{0})}.}$$

Optymalny $szczególności$$_$ właściwości przy ${\ displaystyle r \ do 0}$ i ${\ displaystyle r \ do \ infty.}$

Algorytm ten jest znany jako „quasi-szybka transformata Hankla” lub po prostu „szybka transformata Hankla”.

Ponieważ jest oparty na $szybkiej$ transformacie Fouriera w zmiennych logarytmicznych, musi być zdefiniowany W przypadku funkcji zdefiniowanych na jednolitej siatce istnieje szereg innych algorytmów, w tym prosta kwadratura , metody oparte na twierdzeniu o projekcji i metodach wykorzystujących asymptotyczne rozwinięcie funkcji Bessela.

Niektóre pary transformacji Hankla

${\ Displaystyle f (r)}$	${\ Displaystyle F_ {0} (k)}$
${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta (k)} {k}}}$
${\ Displaystyle {\ Frac {1} {r}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {k}}}$
${\ displaystyle r}$	${\ Displaystyle - {\ Frac {1} {k ^ {3}}}}$
${\ displaystyle r ^ {3}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {9} {k ^ {5}}}}$
${\ displaystyle r ^ {m}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\, 2 ^ {m + 1} \,\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)\,}{k^{m+2}\,\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2} }\right)}},\quad -2<{\mathcal {R_{e}}}\{m\}<-{\tfrac {1}{2}}}$
${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {r ^ {2} + z ^ {2} \,}}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ e ^ {- k | z |} \, {k}}}$
${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\, z ^ {2} + r ^ {2} \,}}}$	${\ Displaystyle K_ {0} (kz), \ quad z \ w \ mathbb {C}}$
$\ Displaystyle {\ Frac {e ^ {jar}} {r}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {i} {\, {\ sqrt {a ^ {2} -k ^ {2} \,}} \,}} \ czwórka a>0,\;k<a}$
	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\, {\ sqrt {k ^ {2} -a ^ {2} \,}} \,}}, \ quad a>0,\;k>a}$
${\ Displaystyle e ^ {- {\ Frac {1} {2}} a ^ {2} r ^ {2}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\, a ^ {2} \,}} \, e ^ {- {\ tfrac {k ^ {2}} {2 \ ,a^{2}}}}}$
${\ Displaystyle {\ Frac {1} {r}} J_ {0} (lr) \, e ^ {- sr}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {2} {\, \ pi {\ sqrt {(k + l) ^ {2}+s^{2}\,}}\,}}K\left({\sqrt {{\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}\ ,}}\Prawidłowy)}$
${\ Displaystyle -r ^ {2} f (r)}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\, \ operatorname {d} ^ {2} F_ {0} \, {\ operatorname {d} k ^ {2}} }+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{0}\,}{\mathrm {d} k}}}$

${\ Displaystyle f (r)}$	${\ Displaystyle F _ {\ nu} (k)}$
${\ displaystyle r ^ {s}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {2 ^ {s + 1}} {\, k ^ {s+2}\,}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac { 1}{2}}(\nu -s))}}}$
${\ Displaystyle R ^ {\ nu -2s} \ Gamma (s, r ^ {2} h)}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ lewo ({\ tfrac {k} {2} }\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)}$
${\ Displaystyle e ^ {- r ^ {2}} r ^ {\ nu} \, U (a, b, r ^ {2})}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma (2+ \ nu -b)} {\, 2 \, \ Gamma (2 + \ nu -b + a)}} \ lewo ({\ tfrac {k} {2} }\right)^{\nu }\,e^{-{\frac {k^{2}}{4}}\,}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a -b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)}$
${\ Displaystyle r ^ {n} J _ {\ mu} (lr) \, e ^ {- sr}}$	Wyrażalne w postaci całek eliptycznych .
${\ Displaystyle -r ^ {2} f (r)}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {2} F _ {\ nu}} {\ operatorname {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{\nu }\,}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}\,F_{\nu }}$

Kn ₍ z ) jest zmodyfikowaną funkcją Bessela drugiego rodzaju . K ( z ) jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju .

Ekspresja

${\ Displaystyle {\ Frac {\, \ operatorname {d} ^ {2} F_ {0} \, {\ operatorname {d} k ^ {2}} }+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{0}\,}{\mathrm {d} k}}}$

pokrywa się z wyrażeniem dla operatora Laplace'a we współrzędnych biegunowych ( k , θ ) zastosowanym do sferycznie symetrycznej funkcji ₀ F ( k ) .

Transformata Hankla wielomianów Zernike'a to zasadniczo funkcje Bessela (Noll 1976):

${\ Displaystyle R_ {n} ^ {m} (r) = (-1 )^{\frac {nm}{2}}\int _{0}^{\infty}J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k}$

dla nawet n - m ≥ 0 .

Zobacz też

• Transformata Fouriera
• Transformacja całkowa
• Transformacja Abla
• szereg Fouriera-Bessela
• Wielomian Neumanna
• Transformacje Y i H

•   Gaskill, Jack D. (1978). Systemy liniowe, transformaty Fouriera i optyka . Nowy Jork: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-29288-3 .
•   Polianina, AD; Manżyrow, AV (1998). Podręcznik równań całkowych . Boca Raton: CRC Press. ISBN 978-0-8493-2876-3 .
• Smythe, William R. (1968). Elektryczność statyczna i dynamiczna (wyd. 3). Nowy Jork: McGraw-Hill. s. 179–223.
• Offord, AC (1935). „O przemianach Hankla”. Proceedings of London Mathematical Society . 39 (2): 49–67. doi : 10.1112/plms/s2-39.1.49 .
•   Eason, G.; Szlachetny, B.; Sneddon, IN (1955). „O niektórych całekach typu Lipschitza-Hankla obejmujących iloczyny funkcji Bessela”. Transakcje filozoficzne Towarzystwa Królewskiego A. 247 (935): 529–551. Bibcode : 1955RSPTA.247..529E . doi : 10.1098/rsta.1955.0005 . JSTOR 91565 .
• Kilpatrick, JE; Katsura, Shigetoshi; Inoue, Yuji (1967). „Obliczanie całek iloczynów funkcji Bessela” . Matematyka obliczeń . 21 (99): 407–412. doi : 10.1090/S0025-5718-67-99149-1 .
•   MacKinnon, Robert F. (1972). „Asymptotyczne rozwinięcia transformat Hankla i powiązanych całek” . Matematyka obliczeń . 26 (118): 515–527. doi : 10.1090/S0025-5718-1972-0308695-9 . JSTOR 2003243 .
•   Linz, Piotr; Kropp, TE (1973). „Uwaga na temat obliczania całek obejmujących iloczyny funkcji trygonometrycznych i Bessela” . Matematyka obliczeń . 27 (124): 871–872. doi : 10.2307/2005522 . JSTOR 2005522 .
• Noll, Robert J. (1976). „Wielomiany Zernike'a i turbulencje atmosferyczne”. Journal of Optical Society of America . 66 (3): 207–211. Bibcode : 1976JOSA...66..207N . doi : 10.1364/JOSA.66.000207 .
•   Siegman, AE (1977). „Quasi-szybka transformata Hankla” . Optować. Lett . 1 (1): 13–15. Bibcode : 1977OptL....1...13S . doi : 10.1364/OL.1.000013 . PMID 19680315 .
• Magni, Vittorio; Cerullo, Giulio; De Silverstri, Sandro (1992). „Szybka transformata Hankla o wysokiej dokładności do propagacji wiązki optycznej”. J. opt. soc. Jestem. A. _ 9 (11): 2031–2033. Bibcode : 1992JOSAA...9.2031M . doi : 10.1364/JOSAA.9.002031 .
• Agnesi, A.; Reali, Giancarlo C.; Patrini, G.; Tomaselli, A. (1993). „Numeryczna ocena transformaty Hankla: uwagi”. Journal of Optical Society of America A. 10 (9): 1872. Bibcode : 1993JOSAA..10.1872A . doi : 10.1364/JOSAA.10.001872 .
•   Barakat, Richard (1996). „Numeryczna ocena transformaty Hankla rzędu zerowego przy użyciu filozofii kwadratury Filona” . Litery z matematyki stosowanej . 9 (5): 21–26. doi : 10.1016/0893-9659(96)00067-5 . MR 1415467 .
• Ferrari, José A.; Perciante, Daniel; Dubra, Alfredo (1999). „Szybka transformata Hankla n-tego rzędu”. J. opt. soc. Jestem. A. _ 16 (10): 2581–2582. Bibcode : 1999JOSAA..16.2581F . doi : 10.1364/JOSAA.16.002581 .
• Wieder, Thomas (1999). „Algorytm 794: Numeryczna transformata Hankla za pomocą programu Fortran HANKEL” . ACM Trans. Matematyka oprogramowanie _ 25 (2): 240–250. doi : 10.1145/317275.317284 .
•   Knockaert, Luc (2000). „Szybka transformata Hankla przez szybkie transformaty sinusoidalne i kosinusowe: połączenie Mellina” (PDF) . IEEE Trans. Proces sygnału . 48 (6): 1695–1701. Bibcode : 2000ITSP...48.1695K . CiteSeerX 10.1.1.721.1633 . doi : 10.1109/78.845927 .
•   Zhang, DW; Yuan, X.-C.; Ngo, NQ; Shum, P. (2002). „Szybka transformata Hankla i jej zastosowanie do badania propagacji cylindrycznych pól elektromagnetycznych” . Optować. Ekspres . 10 (12): 521–525. Bibcode : 2002OExpr..10..521Z . doi : 10.1364/oe.10.000521 . PMID 19436390 .
•   Markham, Joanne; Conchello, Jose-Angel (2003). „Numeryczna ocena transformat Hankla dla funkcji oscylacyjnych”. J. opt. soc. Jestem. A. _ 20 (4): 621–630. Bibcode : 2003JOSAA..20..621M . doi : 10.1364/JOSAA.20.000621 . PMID 12683487 .
•   Perciante, César D.; Ferrari, José A. (2004). „Szybka transformata Hankla n-tego rzędu z poprawioną wydajnością” . J. opt. soc. Jestem. A. _ 21 (9): 1811–2. Bibcode : 2004JOSAA..21.1811P . doi : 10.1364/JOSAA.21.001811 . PMID 15384449 .
•   Gizar-Sicairos, Manuel; Guitierrez-Vega, Julio C. (2004). „Obliczanie quasi-dyskretnej transformaty Hankla rzędu liczb całkowitych do propagacji pól fal optycznych”. J. opt. soc. Jestem. A. _ 21 (1): 53–58. Bibcode : 2004JOSAA..21...53G . doi : 10.1364/JOSAA.21.000053 . PMID 14725397 .
•   Cerjan, Karol (2007). „Reprezentacja Zernike-Bessela i jej zastosowanie do transformacji Hankla” . J. opt. soc. Jestem. A. _ 24 (6): 1609-1616. Bibcode : 2007JOSAA..24.1609C . doi : 10.1364/JOSAA.24.001609 . PMID 17491628 .