Wielomian Neumanna

W matematyce wielomiany Neumanna , wprowadzone przez Carla Neumanna $\ displaystyle$ szczególnego przypadku to sekwencja wielomianów w $1/t}$ używana do rozwinięcia funkcji w kategoriach Bessela funkcje .

Kilka pierwszych wielomianów to

${\ Displaystyle O_ {0} ^ {(\ alfa)} (t) = {\ Frac {1} {t}},}$

${\ Displaystyle O_ {1} ^ {(\ alfa)} (t) = 2 {\ Frac {\ alfa + 1} {t ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle O_ {2} ^ {(\ alfa)} (t) = {\ Frac {2 + \ alfa} {t}} + 4 {\ Frac {( 2+\alfa )(1+\alfa )}{t^{3}}},}$

${\ Displaystyle O_ {3} ^ {(\ alfa)} (t) = 2 {\ Frac {(1 + \ alfa) (3+ \ alfa)} {t ^ {2 }}}+8{\frac {(1+\alfa )(2+\alfa )(3+\alfa )}{t^{4}}},}$

${\ Displaystyle O_ {4} ^ {(\ alfa)} (t) = {\ Frac {(1+ \ alfa) (4+ \ alfa)} {2t}} + 4 {\ Frac {(1+ \ alfa )(2+\alpha )(4+\alpha )}{t^{3}}}+16{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\ alfa )}{t^{5}}}.}$

Ogólna postać wielomianu to

${\ Displaystyle O_ {n} ^ {(\ alfa)} (t) = {\ Frac {\ alfa + n} {2 \ alfa}} \ suma _ {k = 0} ^ {\ lfloor n/2 \rfloor }(-1)^{nk}{\frac {(nk)!}{k!}}{-\alpha \choose nk}\left({\frac {2}{t}}\right)^ {n+1-2k},}$

i mają „funkcję generującą”

${\ Displaystyle {\ Frac {\ lewo ({\ Frac {z }{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {1}{tz}}=\sum _{n=0}O_{n}^{ (\alpha )}(t)J_{\alpha +n}(z),}$

gdzie J to funkcje Bessela .

Aby rozwinąć funkcję f w formularzu

${\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {n = 0} a_ {n} J _ {\ alfa + n} (z) \,}$

dla ${\ Displaystyle | z | <c}$ , oblicz

${\ Displaystyle a_ {n} = {\ Frac {1} {2 \ pi ja}} \oint _{|z|=c'}{\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}}f( z)O_{n}^{(\alfa)}(z)\,dz,}$

gdzie do $\ Displaystyle c'<c}$${\ Displaystyle z ^ {- \ alfa} f (z)}$ c jest odległością najbliższej osobliwości od od ${\ styl wyświetlania z=0}$ .

Przykłady

Przykładem jest rozszerzenie

${\ Displaystyle \ lewo ({\ tfrac { 1}{2}}z\right)^{s}=\Gamma (s)\cdot \sum _{k=0}(-1)^{k}J_{s+2k}(z)(s+ 2k){-s \wybierz k},}$

lub bardziej ogólny wzór Sonine

${\ Displaystyle e ^ {i \ gamma z} = \ Gamma (s) \ cdot \ suma _ {k = 0} i ^ {k} C_ {k} ^ {(s)} (\ gamma) (s + k ){\frac {J_{s+k}(z)}{\left({\frac {z}{2}}\right)^{s}}}.}$

gdzie jest wielomianem Gegenbauera do $}}$ . Następnie

${\ Displaystyle {\ Frac {\ lewo ({\ Frac {z} {2}} \ prawej) ^ {2k}} {(2k-1) !}}J_{s}(z)=\sum _{i=k}(-1)^{ik}{i+k-1 \wybierz 2k-1}{i+k+s-1 \wybierz 2k -1}(s+2i)J_{s+2i}(z),}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} t ^ {n} J_ {s + n} (z) = {\ Frac {e ^ {\ Frac {tz} {2}}} {t ^ {s}} }\sum _{j=0}{\frac {\left(-{\frac {z}{2t}}\right)^{j}}{j!}}{\frac {\gamma \left(j +s,{\frac {tz}{2}}\right)}{\,\Gamma (j+s)}}=\int _{0}^{\infty}e^{-{\frac {zx ^{2}}{2t}}}{\frac {zx}{t}}{\frac {J_{s}(z{\sqrt {1-x^{2}}})}{{\sqrt { 1-x^{2}}}^{s}}}\,dx,}$

konfluentna funkcja hipergeometryczna

${\ Displaystyle M (a, s, z) = \ Gamma (s) \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} \ lewo (- {\ Frac {1} {t}} \ prawo) ^ {k}L_{k}^{(-ak)}(t){\frac {J_{s+k-1}\left(2{\sqrt {tz}}\right)}{({\sqrt { tz}})^{sk-1}}},}$

i w szczególności

${\ Displaystyle {\ Frac {J_ {s} (2z)} {z ^ {s}}} = {\ Frac {4 ^ {s} \ Gamma \ lewo (s+{\frac {1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi}}}e^{2iz}\sum _{k=0}L_{k}^{(-s-1/ 2-k)}\left({\frac {it}{4}}\right)(4iz)^{k}{\frac {J_{2s+k}\left(2{\sqrt {tz}}\ dobrze)}{{\sqrt {tz}}^{2s+k}}},}$

formuła przesunięcia indeksu

${\ Displaystyle \ Gamma (\ nu - \ mu) J _ {\ nu} (z) = \ Gamma (\ mu + 1) \ suma _ {n = 0} {\ Frac {\ Gamma (\ nu - \mu +n)}{n!\Gamma (\nu +n+1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu -\mu +n}J_{\ mi +n}(z),}$

rozwinięcie Taylora (wzór na dodawanie)

${\ Displaystyle {\ Frac {J_ {s} \ lewo ({\ sqrt {z ^ {2} -2uz}} \ prawej)} {\ lewo ({\ sqrt {z ^ {2} -2uz}} \ prawo )^{\pm s}}}=\sum _{k=0}{\frac {(\pm u)^{k}}{k!}}{\frac {J_{s\pm k}(z )}{z^{\pm s}}},}$

(por. ) i rozwinięcie całki funkcji Bessela,

${\ Displaystyle \ int J_ {s} (z) dz = 2 \ suma _ {k = 0} J_ {s +2k+1}(z),}$

są tego samego typu.

Zobacz też

• Funkcja Bessela
• Wielomian Bessela
• Wielomian Lommla
• Transformata Hankla
• szereg Fouriera-Bessela
• Wielomian Schläfliego