Transformacja Abla

Aby zapoznać się z transformacją sumowania, zobacz sumowanie według części .

W matematyce transformata Abla , nazwana na cześć Nielsa Henrika Abela , jest transformacją całkową często używaną w analizie funkcji sferycznie symetrycznych lub osiowo symetrycznych. Transformata Abla funkcji f ( r ) jest dana przez

${\ Displaystyle F (y) = 2 \ int _ {y} ^ {\ infty}} {\ Frac {f (r) r}} {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}} \, dr.}$

Zakładając, że f ( r ) spada do zera szybciej niż 1/ r , odwrotna transformata Abla jest dana wzorem

${\ Displaystyle f (r) = - {\ Frac {1} {\ pi}} \ int _ {r} ^ {\ infty} {\ Frac {dF} {dy}} \, {\ Frac {dy} \sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$

W analizie obrazu przednia transformata Abla jest używana do rzutowania optycznie cienkiej, osiowo symetrycznej funkcji emisji na płaszczyznę, a odwrotna transformata Abla jest używana do obliczenia funkcji emisji na podstawie rzutu (tj. skanu lub fotografii) tej emisji funkcjonować.

W spektroskopii absorpcyjnej cylindrycznych płomieni lub pióropuszy przednia transformata Abla to zintegrowana absorbancja wzdłuż promienia o najbliższej odległości y od środka płomienia, podczas gdy odwrotna transformata Abla daje lokalny współczynnik absorpcji w odległości r od środka. Transformata Abla jest ograniczona do zastosowań z geometrią osiowosymetryczną. należy zastosować bardziej ogólne algorytmy rekonstrukcji, takie jak technika rekonstrukcji algebraicznej (ART), maksymalizacja oczekiwań największego prawdopodobieństwa (MLEM), algorytmy filtrowanej projekcji wstecznej (FBP).

W ostatnich latach odwrotna transformata Abla (i jej warianty) stała się kamieniem węgielnym analizy danych w obrazowaniu fotofragmentacji jonów i obrazowaniu fotoelektronów . Wśród ostatnich najbardziej godnych uwagi rozszerzeń odwrotnej transformaty Abla są metody „obierania cebuli” i „rozszerzania zbioru podstawowego” (BASEX) analizy obrazu fotoelektronów i fotojonów.

Interpretacja geometryczna

Geometryczna interpretacja transformaty Abla w dwóch wymiarach. Obserwator (I) patrzy wzdłuż linii równoległej do x w odległości y powyżej początku układu współrzędnych. Obserwator widzi rzut (tj. całkę) funkcji kołowo-symetrycznej f ( r ) wzdłuż linii wzroku. Funkcja f ( r ) jest przedstawiona na tym rysunku na szaro. Zakłada się, że obserwator znajduje się nieskończenie daleko od początku układu, więc granice całkowania wynoszą ±∞.

W dwóch wymiarach transformatę Abla F ( y ) można interpretować jako rzut funkcji kołowo-symetrycznej f ( r ) wzdłuż zestawu równoległych linii wzroku w odległości y od początku układu współrzędnych. Odnosząc się do rysunku po prawej stronie, obserwator (I) zobaczy

${\ Displaystyle F (y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f \ lewo ({\ sqrt {x ^{2}+y^{2}}}\right)\,dx,}$

gdzie f ( r ) jest funkcją kołowo-symetryczną reprezentowaną przez szary kolor na rysunku. Zakłada się, że obserwator faktycznie znajduje się w punkcie x = ∞, więc granice całkowania wynoszą ±∞, a wszystkie linie wzroku są równoległe do osi x . Zdając sobie sprawę, że promień r jest powiązany z x i y jako r ² = x ² + y ² , wynika z tego, że

${\ Displaystyle dx = {\ Frac {r \ dr} {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}}}$

dla x > 0. Ponieważ f ( r ) jest parzystą funkcją w x , możemy napisać

${\ Displaystyle F (y) = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} f \ lewo ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}\right)\,dx=2\int _{|y|}^{\infty}f(r)\,{\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2} -y^{2}}}},}$

co daje transformatę Abela f ( r ).

Transformatę Abla można rozszerzyć na wyższe wymiary. Szczególnie interesujące jest rozszerzenie do trzech wymiarów. Jeśli mamy osiowo symetryczną funkcję f ( ρ , z ), gdzie ρ ² = x ² + y ² jest promieniem walca, to możemy chcieć poznać rzut tej funkcji na płaszczyznę równoległą do osi z . Bez utraty ogólności możemy przyjąć, że ta płaszczyzna jest płaszczyzną yz , tak że

${\ Displaystyle F (y, z) = \ int _{-\infty}^{\infty}f(\rho,z)\,dx=2\int _{y}^{\infty}}{\frac {f(\rho,z)\rho \, d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2}}}},}$

która jest po prostu transformatą Abela z f ( ρ , z ) w ρ i y .

Szczególnym rodzajem symetrii osiowej jest symetria sferyczna. W tym przypadku mamy funkcję f ( r ), gdzie r ² = x ² + y ² + z ² . Rzut na, powiedzmy, yz będzie wtedy kołowo symetryczny i wyrażalny jako F ( s ), gdzie s ² = y ² + z ² . Przeprowadzając integrację, mamy

${\ Displaystyle F (s) = \ int _ {- \ infty} ^ {\infty}f(r)\,dx=2\int _{s}^{\infty}}{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-s^{ 2}}}},}$

co jest znowu transformatą Abla f ( r ) w r i s .

Weryfikacja odwrotnej transformaty Abela

Zakładając , ${\ displaystyle f$ jest różniczkowalna w sposób ciągły i spada do zera szybciej niż $\ displaystyle 1/r }$${$ , $'}$ możemy ustawić ${\ Displaystyle u = f (r)}$ i ${\ Displaystyle v = {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}}$ . Całkowanie przez części daje wtedy plony

${\ Displaystyle F (y) = - 2 \ int _ {y} ^ {\ infty} f' (r) {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}} \, dr.}$

Różniczkując formalnie ,

${\ Displaystyle F' (y) = 2y \ int _ {y} ^ {\ infty} {\ Frac {f' (r)}} {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}} \ ,dr.}$

Teraz podstaw to do wzoru na odwrotną transformatę Abela:

${\ Displaystyle - {\ Frac {1} {\ pi}} \ int _ {r} ^ {\ infty}} {\ Frac {F' (y)}} {\ sqrt {y ^ {2} -r ^ {2 }}}}\,dy=\int _{r}^{\infty}\int _{y}^{\infty}{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2} -r^{2})(s^{2}-y^{2})}}}}f'(s)\,dsdy.}$

Zgodnie z twierdzeniem Fubiniego ostatnia całka jest równa

${\ Displaystyle \ int _ {r} ^ {\ infty} \ int _ {r} ^ {s} {\ Frac {-2y} {\ pi {\ sqrt {(y ^ {2} -r ^ {2} )(s^{2}-y^{2})}}}}\,dyf'(s)\,ds=\int _{r}^{\infty }(-1)f'(s)\ ,ds=f(r).}$

Uogólnienie transformaty Abela na nieciągłą F ( y )

Rozważmy przypadek, w którym $jest$$\Delta F}$ gdzie $gwałtownie$ o skończoną ilość ${\$ . Oznacza to, że ${\ Displaystyle y_ {\ Delta}$$}$${\ Displaystyle \ Delta F \ równoważnik \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} [F (y _ {\ Delta} - \ epsilon) -F (y _ {\ Delta} + \ epsilon)]}$ są przez . Taka sytuacja występuje w polimerach na uwięzi ( $}$ polimerowa ) wykazujących pionowy rozdział faz, gdzie $f$ { jest związany z rozkładem przestrzennym końcowych, niezwiązanych monomerów polimerów.

Transformata Abla funkcji f ( r ) jest w tych okolicznościach ponownie dana wzorem:

${\ Displaystyle F (y) = 2 \ int _ {y} ^ {\ infty}} {\ Frac {f (r) r \, dr} {\ sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}} }.}$

Zakładając, że f ( r ) spada do zera szybciej niż 1/ r , odwrotna transformata Abla jest jednak dana przez

${\ Displaystyle f (r) = \ lewo [{\ Frac {1} {2}} \ delta (r-y _ {\ delta}) {\ sqrt {1- (y _ {\ delta} / r) ^ {2 }}}-{\frac {1}{\pi}}{\frac {H(y_{\Delta}-r)}{\sqrt {y_{\Delta}^{2}-r^{2}} }}\right]\Delta F-{\frac {1}{\pi}}\int _{r}^{\infty}{\frac {dF}{dy}}{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$

gdzie jest funkcją $delta$ i $_$ _ _ _ Rozszerzona wersja transformacji Abela dla $fa$ F jest udowodniona po zastosowaniu transformacji Abela do przesuniętej, ciągłej $displaystyle \ delta F=0}$ do klasycznej transformacji Abela, gdy . Jeśli $nieciągłość$ , trzeba wprowadzić przesunięcia, aby którakolwiek z nich dała uogólnioną wersję odwrotnej transformaty Abela, która zawiera wyrazów , których każdy odpowiadającą jednej z n nieciągłości.

Związek z innymi transformatami całkowymi

Związek z transformatami Fouriera i Hankla

Transformata Abla jest jednym z elementów cyklu FHA operatorów całkowych. Na przykład w dwóch wymiarach, jeśli zdefiniujemy A jako operator transformaty Abela, F jako operator transformaty Fouriera i H jako operator transformaty Hankla zerowego rzędu , to specjalny przypadek twierdzenia o projekcji-przecinku dla funkcji kołowo-symetrycznych stwierdza, że

${\ Displaystyle FA = H.}$

Innymi słowy, zastosowanie transformaty Abela do funkcji 1-wymiarowej, a następnie zastosowanie transformaty Fouriera do tego wyniku jest tym samym, co zastosowanie transformaty Hankla do tej funkcji. Koncepcję tę można rozszerzyć na wyższe wymiary.

Związek z transformatą Radona

Transformatę Abla można postrzegać jako transformatę Radona izotropowej funkcji 2D f ( r ). Ponieważ f ( r ) jest izotropowe, jego transformata Radona jest taka sama pod różnymi kątami osi obserwacji. Zatem transformata Abla jest funkcją odległości tylko wzdłuż osi obserwacji.

Zobacz też

• Zakrycie radiowe GPS

•   Bracewell, R. (1965). Transformata Fouriera i jej zastosowania . Nowy Jork: McGraw-Hill. ISBN 0-07-007016-4 .