Funkcja H Foxa

W matematyce funkcja H Foxa H ( x ) jest uogólnieniem funkcji G Meijera i funkcji Foxa – Wrighta wprowadzonej przez Charlesa Foxa ( 1961 ). Jest zdefiniowany przez całkę Mellina-Barnesa

{\ Displaystyle H_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo [z \ lewo | {\ początek{macierz}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1}, B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldokropki &(b_{q},B_{q})\end{macierz}}\right.\right]={\frac {1 }{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+B_{j}s)\,\prod _{ j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-A_{j}s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}- B_{j}s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+A_{j}s)}}z^{-s}\,ds,}

gdzie L jest pewnym konturem oddzielającym bieguny dwóch czynników w liczniku. Porównaj z funkcją G Meijera:

Wykres funkcji H Foxa H((((a 1,α 1),...,(an,α n)),((a n+1,α n+1),...,(ap, α p)),(((b 1,β 1),...,(bm,β m)),in ((b m+1,β m+1),...,(bq,β q ))),z) z H(((),()),(((-1,½)),()),z)

{\ Displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo (\ lewo. {\ rozpocząć {macierz} a_ {1}, \ kropki, a_ {p} \\ b_ {1}, \dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s) }}\,z^{s}\,ds.}

Szczególnym przypadkiem, dla którego Fox H redukuje się do Meijera G, jest A _j = B _k = C , C > 0 dla j = 1... p i k = 1... q ( Srivastava 1984 , s. 50) :

{\ Displaystyle H_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ lewo [z \ lewo | {\ rozpocząć {macierz} (a_ {1}, C) & (a_ {2}, C) & \ldots &(a_{p},C)\\(b_{1},C)&(b_{2},C)&\ldots &(b_{q},C)\end{macierz}}\right .\right]={\frac {1}{C}}G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\kropki ,a_{p}\\b_{1},\kropki ,b_{q}\end{macierz}}\;\right|\,z^{1/C}\right).}

Uogólnienie funkcji H Foxa zostało podane przez Ram Kishore Saxena Innayat Hussain AA (1987) . Dalsze uogólnienie tej funkcji, przydatne w fizyce i statystyce, zostało podane przez AMMothai i Ram Kishore Saxena , patrz Rathie (1997) .

Fox, Charles (1961), „G i H funkcjonują jako symetryczne jądra Fouriera”, Transactions of the American Mathematical Society , 98 (3): 395–429, doi : 10.2307/1993339 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993339 , MR 0131578
Innayat-Hussain, AA (1987), „Nowe właściwości szeregów hipergeometrycznych wyprowadzanych z całek Feynmana. I: Formuły transformacji i redukcji”, J. Phys. O: Matematyka. Gen. , 20 : 4109–4117, doi : 10.1088/0305-4470/20/13/019
Innayat-Hussain, AA (1987), „Nowe właściwości szeregu hipergeometrycznego wyprowadzane z całek Feynmana. II: Uogólnienie funkcji H”, J. Phys. O: Matematyka. Gen. , 20 (13): 4119–4128, doi : 10.1088/0305-4470/20/13/020
Kilbas, Anatolij A. (2004), H-transformacje: teoria i zastosowania , CRC Press, ISBN 978-0415299169

Mathai, AM; Saxena, Ram Kishore (1978), Funkcja H z zastosowaniami w statystyce i innych dyscyplinach , Halsted Press [John Wiley & Sons], New York-London-Sidney, ISBN 978-0-470-26380-8 , MR 0513025
Mathai, AM; Saxena, Ram Kishore; Haubold, Hans J. (2010), Funkcja H , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4419-0915-2 , MR 2562766
Rathie, Arjun K. (1997), „Nowe uogólnienie uogólnionej funkcji hipergeometrycznej”, Le Matematiche , LII : 297–310 .
Srivastava, HM; Gupta, KC; Goyal, SP (1982), Funkcje H jednej i dwóch zmiennych , New Delhi: South Asian Publishers Pvt. z oo, MR 0691138
Srivastava, HM; Manocha, HL (1984). Traktat o funkcjach generujących . ISBN 0-470-20010-3 .

Linki zewnętrzne

hypergeom na GitLabie
Użyj w rozwiązywaniu ${\ Displaystyle x + x ^ {a} = y$ MathOverflow }