Twierdzenie Hartogsa o ​​odrębnej holomorficzności

„Twierdzenie Hartogsa” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z twierdzeniem o rozszerzeniach funkcji holomorficznych, zobacz twierdzenie Hartogsa o ​​rozszerzeniu . Twierdzenie o nieskończonych liczbach porządkowych można znaleźć w numerze Hartogsa .

W matematyce twierdzenie Hartogsa jest fundamentalnym wynikiem Friedricha Hartogsa w teorii kilku zmiennych zespolonych . Z grubsza mówiąc, stwierdza, że ​​funkcja „oddzielnie analityczna” jest ciągła. Dokładniej, jeśli $analityczna$ funkcją, w zmiennej ja _, ≤ ja ≤ n , podczas gdy inne zmienne są utrzymywane na stałym poziomie, to F jest funkcją ciągłą .

Konsekwencją jest to , że funkcja F jest wtedy faktycznie funkcją analityczną w sensie n -zmiennym (tj. że lokalnie ma rozwinięcie Taylora ). Dlatego „analityczność oddzielna” i „analityczność” są pojęciami zbieżnymi w teorii kilku zmiennych zespolonych.

Zaczynając od dodatkowej hipotezy, że funkcja jest ciągła (lub ograniczona), twierdzenie jest znacznie łatwiejsze do udowodnienia iw tej formie jest znane jako lemat Osgooda .

Nie ma odpowiednika tego twierdzenia dla zmiennych rzeczywistych . Jeśli założymy, że funkcja jest różniczkowalna (lub nawet analityczna ) w każdej zmiennej osobno ${\ Displaystyle f \ okrężnica {\ textbf {R}} ^ {n} \ do {\ textbf {R}}}$ , nie jest prawdą, że $.$ będzie ciągły Kontrprzykład w dwóch wymiarach podaje

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ Frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}$

Jeśli dodatkowo zdefiniujemy $displaystyle$ ma dobrze zdefiniowane pochodne cząstkowe w i $x}$ początku, ale $displaystyle y}$ nie jest ciągła w początku. (Rzeczywiście, $= -y}$ linii i x $displaystyle$ nie są równe, więc nie ma sposobu, aby rozszerzyć definicję tak, aby obejmowała $pochodzenie i$ funkcja była tam ciągła.)

• Stevena G. Krantza . Teoria funkcji kilku zmiennych zespolonych , AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
•   Fuks, Borys Abramowicz (1963). Teoria funkcji analitycznych kilku zmiennych zespolonych . ISBN 978-1-4704-4428-0 .

Linki zewnętrzne

• „Twierdzenie Hartoga” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]

Ten artykuł zawiera materiał z twierdzenia Hartogsa o ​​oddzielnej analizie w PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .