Stabilna dystrybucja liczby

Stabilna liczba

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Funkcja dystrybucji skumulowanej
Parametry	${\ Displaystyle \ alpha}$ ∈ (0, 1) - parametr stabilności ${\ Displaystyle \ theta}$ ∈ (0, ∞) - parametr skali ${\ Displaystyle \ nu _ {0}}$ ∈ (-∞, ∞) - parametr lokalizacji
Wsparcie	x ∈ R i x ∈ [ ${\ Displaystyle \ nu _ {0}}$ , ∞)
PDF	${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (x; \ nu _{0},\theta )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha}}+1)}}{\frac {1}{x-\nu _{0} }} L_ {\ alfa } ({\ frac {\ teta }{ x- \ nu _ {0}}})}$
CDF	istnieje forma integralna
Mieć na myśli	${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma ({\ Frac {2} {\ alfa}})} {\ Gamma ({\ Frac {1} {\ alfa}})} }}$
Mediana	nie da się wyrazić analitycznie
Tryb	nie da się wyrazić analitycznie
Zmienność	${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma ({\ Frac {3} {\ alfa}})} {2 \Gamma ({\frac {1}{\alpha}})}}-\left[{\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha}})}{\Gamma ({\frac {1 }{\alfa }})}}\prawo]^{2}}$
Skośność	DO USTALENIA
Były. kurtoza	DO USTALENIA
MGF	Istnieje reprezentacja Foxa-Wrighta

W teorii prawdopodobieństwa stabilny rozkład liczebności jest koniugatem wcześniejszego jednostronnego rozkładu stabilnego . Rozkład ten został odkryty przez Stephena Lihna (chiński:藺鴻圖) w jego badaniu dziennych rozkładów S &P 500 i VIX z 2017 roku . Rodzina rozkładów stabilnych jest również czasami określana jako rozkład alfa-stabilny Lévy'ego , na cześć Paula Lévy'ego , pierwszego matematyka, który ją badał.

$Spośród$ trzech parametrów definiujących rozkład najważniejszy jest parametr Stabilne rozkłady liczby mają ${\ displaystyle 0 <\ alpha <1}$ . Znany analityczny przypadek ${\ displaystyle \ alpha = 1/2}$ jest związany z rozkładem VIX (patrz sekcja 7). Wszystkie momenty są skończone dla rozkładu.

Definicja

Jego rozkład standardowy jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu) = {\ Frac {1} \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha}\left({\frac {1}{\nu }}\ Prawidłowy),}$

gdzie ${\ Displaystyle \ nu > 0}$ i ${\ Displaystyle 0 <\ alfa <1.}$

Jego rodzina skali lokalizacji jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu; \nu _{0},\theta )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha}}+1)}}{\frac {1}{\nu -\nu _ {0}}}L_{\alpha}\left({\frac {\theta}}{\nu -\nu _{0}}}\right),}$

gdzie ${\ Displaystyle \ nu > \ nu _ {0}}$ , ${\ Displaystyle \ theta > 0}$ i ${\ Displaystyle 0 <\ alfa <1.}$

W powyższym wyrażeniu $.$ jednostronnym rozkładem stabilnym w następujący

Niech $będzie$ standardową stabilną zmienną losową , której rozkład charakteryzuje się ${\ Displaystyle f (x; \ alfa, \ beta, c, \ mu)$ , Następnie mamy

${\ Displaystyle L _ {\ alfa} (x) = f (x; \ alfa, 1 \ sałata \left({\frac {\pi \alpha}{2}}\right)^{1/\alpha},0),}$

gdzie ${\ Displaystyle 0 <\ alfa <1}$ .

Rozważmy sumę Lévy'ego ${\ Displaystyle Y = \ suma _ {i = 1} ^ {N} X_ {i}}$ gdzie ${\ Displaystyle X_ {i} } \ sim L _ {\ alfa} (x)}$${\ textstyle {\ Frac {1} {\ nu}} L_ {\ alfa} \left({\frac {x}{\nu}}\right)}$ to gęstość $)$ gdzie ${\ textstyle \ nu = N ^ {1/\ alfa}}$ . Ustaw ${\ Displaystyle x = 1}$ , dochodzimy do ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu)}$ bez stałej normalizacji.

Powód, dla którego ten rozkład nazywa się „stabilną liczbą”, można zrozumieć na podstawie relacji $}$ } Zauważ, że $”$ sumy Lévy'ego. Biorąc pod uwagę stałą $daje$$,$ prawdopodobieństwo podjęcia kroków aby przebyć jedną jednostkę odległości.

Forma integralna

$L _ {\ alfa} (x)}$ Displaystyle i ${\ Displaystyle q = \ exp (-i \ alfa \ pi /2)}$ , mamy postać całkową jako ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu)$ }

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu) & = {\ Frac {2} {\ pi \ Gamma ({\ Frac {1} {\ alfa}} +1)}}\int _{0}^{\infty}e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha}}{\frac {1}{\nu }} \sin({\frac {t}{\nu }})\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha})\,dt,{\text{lub }}\ \&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha}}+1)}}\int _{0}^{\infty}e^{-{\text{ Re}}(q)\,t^{\alpha}}{\frac {1}{\nu}}\cos({\frac {t}{\nu}})\cos({\text{im} }(q)\,t^{\alfa})\,dt.\\\end{wyrównane}}}$

W oparciu o powyższą całkę podwójnego sinusa prowadzi to do postaci całkowej standardowego CDF:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Phi _ {\ alfa} (x) & = {\ Frac {2} {\ pi \ Gamma ({\ Frac {1} {\ alfa}} + 1)}} \ int _{0}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{ \nu }}\sin({\frac {t}{\nu }})\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha})\,dt\,d\nu \\&=1-{\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha}}+1)}}\int _{0}^{\infty}e^{-{ \text{Re}}(q)\,t^{\alpha}}\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha})\,{\text{Si}} ({\frac {t}{x}})\,dt,\\\koniec {wyrównane}}}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ tekst {Si}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac {\ sin (x)} {x}}\,dx}$ to funkcja sinusoidalna.

Reprezentacja Wrighta

W „ Reprezentacji szeregowej ” pokazano, że stabilny rozkład liczby jest szczególnym przypadkiem funkcji Wrighta (patrz sekcja 4):

${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu) = {\ Frac {1} {\ Gamma \ lewo ({\ Frac {1} {\ alfa}} + 1 \ prawo)}} W_{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha }),\,{\text{where}}\,\,W_{\lambda ,\mu }(z)=\suma _{n= 0}^{\infty}{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}}.}$

Prowadzi to do całki Hankla: (na podstawie (1.4.3) z )

$\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu )={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{Ha }e^{t-(\nu t)^{\alpha }}\,dt,\,}$ gdzie Ha reprezentuje kontur Hankla .

Alternatywne wyprowadzenie – rozkład lambda

Innym podejściem do wyprowadzenia stabilnego rozkładu liczby jest użycie transformaty Laplace'a jednostronnego rozkładu stabilnego (sekcja 2.4 )

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-zx} L _ {\ alfa} (x) \, dx = e ^ {- z ^ {\ alfa}},}$ gdzie ${\ Displaystyle 0 <\ alfa <1}$ .

Niech ${\ Displaystyle x = 1/\ nu}$ i można rozłożyć całkę po lewej stronie na rozkład iloczynu standardowego rozkładu Laplace'a i standardowego rozkładu stabilnego zliczania,

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}}} {\ Frac {1} {1} Gamma ({\ Frac {1} {1} {\ alfa}} + 1)}} e ^ {- | z | ^ {\ alfa }}=\int _{0}^{\infty}{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\ right)\left({\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha}}+1)}}{\frac {1}{\nu}}L_{\alpha}\left( {\frac {1}{\nu }}\right)\right)\,d\nu ,}$

gdzie ${\ Displaystyle Z \ w {\ mathsf {R}}}$ .

Nazywa się to „rozkładem lambda” (patrz rozdział 4), ponieważ LHS został nazwany „symetrycznym rozkładem lambda” w poprzednich pracach Lihna. Ma $odnosi$ nazw, takich jak „ wykładniczy rozkład mocy lub „błąd uogólniony / rozkład normalny”, do których często się . Jest to również funkcja przetrwania Weibulla w inżynierii niezawodności .

Dekompozycja lambda jest podstawą struktury zwrotu z aktywów Lihna w ramach prawa stabilnego. LHS to dystrybucja zwrotów z aktywów. Na RHS rozkład Laplace'a reprezentuje szum lepkurtotyczny, a stabilny rozkład zliczeń reprezentuje zmienność.

Stabilna dystrybucja Vol

Wariant stabilnego rozkładu zliczeń nazywany jest stabilnym rozkładem objętości. ${\ Displaystyle V _ {\ alfa} (s)}$ . Można go wyprowadzić z rozkładu lambda przez zmianę zmiennej (patrz rozdział 6). Transformata Laplace'a ${\ Displaystyle e ^ {- | z | ^ {\ alfa}}}$ jest wyrażone w postaci mieszaniny Gaussa takiej, że

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {1} {\ Gamma ({\ Frac {1} {\ alfa}} + 1)}} e^{-|z|^{\alpha}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha}}+1)}} e^{-(z^{2})^{\alpha /2}}=\int _{0}^{\infty}{\frac {1}{s}}\left({\frac {1} {\sqrt {2\pi}}}e^{-{\frac {1}{2}}(z/s)^{2}}\right)V_{\alpha}(s)\,ds,}$

Gdzie

${\ Displaystyle V _ {\ alfa} (s) = {\ frac {{\sqrt {2\pi}}\,\Gamma ({\frac {2}{\alpha}}+1)}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha}}+1)} }\,{\mathfrak {N}}_{\frac {\alpha}{2}}(2s^{2}),0<\alpha \leq 2.}$

$_ 1}(s)=2{\sqrt {2\pi}}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(2s^{2})=s\,e^{ -s^{2}/2}}$ się uogólnioną uogólnia transmutację co .

Połączenie z rozkładami gamma i Poissona

$jest połączony z$ Lévy'ego . Górna uregulowana funkcja gamma $}$ niepełna mi $}}}$ Jak

$${\ Displaystyle Q ({\ Frac {1} {1} {\ alfa}}, z ^ {\ alfa}) = {\ Frac {1} {\ Gamma ({\ Frac {1} {\ alfa}} + 1)} } \ Displaystyle \ int _ {z} ^ {\ infty} e ^ {- {u ^ {\ alfa}}} \ du.}$$

Zastępując ${\ displaystyle e ^ {- {u ^ {\ alfa}}}$ i przeprowadzając jedną całkę, mamy: mi -

$${\ Displaystyle Q ({\ Frac {1} {1} {\ alfa}}, z ^ {\ alfa}) = \ Displaystyle \ int _ {z} ^ {\ infty} \, du \ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\infty}{\frac {1}{\nu}}\left(e^{-u/\nu}\right)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha}\left(\nu \ right)\,d\nu =\displaystyle \int _{0}^{\infty}\left(e^{-z/\nu}\right)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha} \left(\nu \right)\,d\nu .}$$

Wracając do $) {$$($ } dojść do rozkładu pod względem stabilnej liczby: ${\ Displaystyle Q (s, x)}$

$${\ Displaystyle Q (s, x) = \ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {\ lewo (- {x ^ {s}} / {\ nu} \ prawej) }\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu .\,\,(s>1)}$$

Różniczkując przez , dochodzimy do pożądanego wzoru: ${\ Displaystyle Q (s, x)}$ przez ${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {1} {\ Gamma (s)}} x ^ {s-1} e ^ {-x} & = \ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty }{\frac {1}{\nu }}\left[s\,x^{s-1}e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\right ]\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu \\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty} {\frac {1}{t}}\left[s\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{s-1}e^{-{\left(x/ t\right)}^{s}}\right]\,\left[{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(t^{s}\right)\,s\ ,t^{s-1}\right]\,dt\,\,\,(\nu =t^{s})\\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty}{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};s\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{1 }/{s}}\left(t^{s}\right)\,s\,t^{s-1}\right]\,dt\end{wyrównane}}}$

Jest to w formie dystrybucji produktów . [ ${\ Displaystyle \ lewo [s \, {\ lewo ({\ Frac {x} {t}} \ prawej)} ^ {$ w RHS jest związane z rozkładem kształtu Weibulla ${\ displaystyle s}$ . Stąd ten wzór łączy stabilny rozkład zliczeń z funkcją gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Gamma ( tutaj ) i funkcją masy prawdopodobieństwa rozkładu Poissona ( tutaj , ${\ displaystyle s \ rightarrow s + 1}$ ). $za$ parametr kształtu $stabilności$ odwrotność parametru Lévy'ego

Połączenie z rozkładami chi i chi-kwadrat

$, że$ swobody $dystrybucjach chi i$ chi -kwadrat są powiązane z $jest$ pierwotny pomysł postrzegania indeksu liczby całkowitej w rozkładzie lambda

Dla rozkładu chi-kwadrat jest to proste, ponieważ rozkład chi-kwadrat jest szczególnym przypadkiem rozkładu gamma , ponieważ ${\ Displaystyle \ chi _ {k} ^ {2}\sim {\text{Gamma}}\left({\frac {k}{2}},\theta =2\right)}$ . A patrząc z góry, parametr kształtu rozkładu gamma to ${\ displaystyle 1/\ alpha}$ .

Dla rozkładu chi zaczynamy od jego CDF . ${\ Displaystyle P \ lewo ({\ Frac {k} {2}}, {\ Frac {x ^ {2}} {2} } \ prawej)}$ , gdzie ${\ Displaystyle P (s, x) = 1-Q (s, x)}$ . Różniczkuj ${\ Displaystyle P \ lewo ({\ Frac {k} {2}}, {\ Frac {x ^ {2}} {2}} \ prawej)}$ przez ${\ Displaystyle x}$ , mamy jego funkcję gęstości jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ chi _ {k} (x) = {\ Frac {x ^ {k-1} e ^ {-x ^ {2}/2}} {2 ^ {{\ frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}&=\displaystyle\int _{0}^{\infty}{\frac {1 }{\nu }}\left[2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,x^{k-1}e^{\left(-2^{-{\frac {k}{2}}}\,{x^{k}}/{\nu }\right)}\right]\,{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\ left(\nu \right)\,d\nu \\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty}{\frac {1}{t}}\left[k\,{\left({ \frac {x}{t}}\right)}^{k-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{k}}\right]\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k}\right)\,2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,t^{k-1}\right]\,dt,\,\,\,(\nu =2^{-{\frac {k}{2} }}t^{k}}\\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty}{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};k\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(2^{-{\frac {k}{2 }}}t^{k}\right)\,2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,t^{k-1}\right]\,dt\end{wyrównane }}}$

Ta formuła łączy się $_ {\ Frac {2} {$ { \ ${$$}$ termin.

Połączenie z uogólnionymi rozkładami gamma

Uogólniony rozkład gamma jest rozkładem prawdopodobieństwa z dwoma parametrami kształtu i jest nadzbiorem rozkładu gamma , rozkładu Weibulla , rozkładu wykładniczego i rozkładu półnormalnego . Jego CDF ma postać ${\ Displaystyle P (s, x ^ {c}) = 1-Q (s, x ^ {c})}$ . (Uwaga: używamy zamiast za $dla$$\ displaystyle a}$ spójności i uniknięcia pomyłki z $Displaystyle$ ) Rozróżnij $x ^ {c})}$$P (s$ przez ${\ displaystyle x}$ dochodzimy do formuły dystrybucji produktu: x {\ displaystyle x}

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tekst {GenGamma}} (x; s, c) & = \ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {t}} \, {\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};sc\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left (t^{sc}\right)\,sc\,t^{sc-1}\right]\,dt\end{wyrównane}}}$

gdzie $_$ _ Ta formuła łączy się ${1} {s}$ { \ ${$$N$ termin. s $\ displaystyle sc}$ term jest wykładnikiem reprezentującym drugi stopień swobody w przestrzeni parametrów kształtu.

Właściwości asymptotyczne

Dla stabilnej rodziny dystrybucyjnej niezbędne jest zrozumienie jej asymptotycznych zachowań. od, dla małych, ${\ displaystyle \ nu$ }

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu) & \rightarrow B(\alpha )\,\nu ^{\alpha },{\text{ for }}\nu \rightarrow 0{\text{ i }}B(\alpha )>0.\\\end{wyrównane }}}$

To potwierdza ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (0) = 0}$ .

Dla dużych , ${\ displaystyle \ nu}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathfrak {N}}_{\alpha}(\nu )&\rightarrow \nu ^{\frac {\alpha}{2(1-\alpha)}}e^{-A(\alpha)\,\nu ^ {\frac {\alpha }{1-\alpha }}},{\text{ dla }}\nu \rightarrow \infty {\text{i }}A(\alpha )>0.\\\end{wyrównane }}}$

$To$ że ogon rozpada . Im większy $.$ tym silniejszy rozpad

Chwile

n - ty moment ${\ Displaystyle m_ {n}}$ N $\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu)}$ to ${ \ Displaystyle - (n + 1)}$ -ty moment ${\ Displaystyle L _ {\ alfa} (x)}$ . Wszystkie pozytywne momenty są skończone. To w pewnym sensie rozwiązuje drażliwy problem rozbieżnych momentów w stabilnym rozkładzie. (Patrz Sekcja 2.4 )

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} m_ {n} & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ nu ^ {n} {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu) d \ nu ={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha}}+1)}}\int _{0}^{\infty}}{\frac {1}{t^{n +1}}}L_{\alpha}(t)\,dt.\\\end{wyrównane}}}$

Analityczne rozwiązanie momentów uzyskuje się za pomocą funkcji Wrighta:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} m_ {n} & = {\ Frac {1} {\ Gamma ({\ Frac {1} {\ alfa}} + 1)}} \ int _ {0} ^ {\ infty }\nu ^{n}W_{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha})\,d\nu \\&={\frac {\Gamma ({\frac {n+1} {\alpha}})}{\Gamma (n+1)\Gamma ({\frac {1}{\alpha}})}},\,n\geq -1.\\\end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} r ^ {\ delta} W_ {- \ nu, \ mu} (-r) \, dr = {\ Frac {\ Gamma (\ delta + 1)} {\Gamma (\nu \delta +\nu +\mu )}},\,\delta >-1,0<\nu <1,\mu >0.} (Patrz (1.4.28) z$ )

Zatem średnia wynosi ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu)}$

${\ Displaystyle m_ {1} = {\ Frac {\ Gamma ({\ Frac {2} {\ alfa}})} {\ Gamma ({\ Frac {1 }{\alfa }})}}}$

Wariancja jest

${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} = {\ Frac {\ Gamma ({\ Frac {3 }{\alpha}})}{2\Gamma ({\frac {1}{\alpha}})}}-\left[{\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha}}) }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha}})}}\right]^{2}}$

A najniższy moment to ${\ Displaystyle m_ {-1} = {\ Frac {1} {\ Gamma ({\ Frac {1} {\ alfa}} +1) }}}$ .

Funkcja generująca moment

MGF można wyrazić za pomocą funkcji Foxa-Wrighta lub funkcji Foxa H :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} M _ {\ alfa} (s) & = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {m_ {n} \, s ^ ​​{n} }{n!}}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha}})}}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha}})\,s^{n}}{\Gamma (n+1)^{2}}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha}}}}}{}_{1}\Psi_{1}\left[({\frac {1}{\alpha}},{\frac {1}{ \alpha }});(1,1);s\right],\,\,{\text{or}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\ alpha }})}}H_{1,2}^{1,1}\left[-s{\bigl |}{\begin{matrix}(1-{\frac {1}{\alpha}},{ \frac {1}{\alpha }})\\(0,1);(0,1)\end{macierz}}\right]\\\end{wyrównane}}}$

Jako weryfikacja, w $($ 1 $_ {\$ (patrz poniżej) można rozwinąć Taylora do ${\ Displaystyle {} _ {1} \ psi _ {1} \ lewo [(2,2); (1, 1);s\right]=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {\Gamma (2n+2)\,s^{n}}{\Gamma (n+1)^{ 2}}}}$ przez ${\ Displaystyle \ Gamma ({\ Frac {1} {2}} -n) = {\ sqrt {\ pi}} {\ Frac {(-4) ^ {n} n!} {(2n)!}} }$ .

Znany przypadek analityczny – quartic stabilna liczba

Kiedy ${\ Displaystyle \ alpha = {\ Frac {1} {2}}}$ , ${\ Displaystyle L_ {1/2} (x)}$ jest rozkładem Lévy'ego , który jest odwrotny rozkład gamma. Zatem ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {1/2} (\ nu; \ nu _ {0}, \ teta)}$ rozkładem kształtu gamma 3/2 i skala ${\ Displaystyle 4 \ teta}$ ,

${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{4{\sqrt {\pi}}\theta ^{3/2}}}( \nu -\nu _{0})^{1/2}e^{-(\nu -\nu _{0})/4\theta },}$

gdzie ${\ Displaystyle \ nu > \ nu _ {0}}$ , ${\ Displaystyle \ theta > 0}$ .

Jego średnia to ${\ Displaystyle \ nu _ {0} + 6 \ theta},$ a odchylenie standardowe wynosi ${\ Displaystyle {\ sqrt {24}} \ theta}$ . Nazywa się to „kwartalnym stabilnym rozkładem liczby”. Słowo „kwartalny” pochodzi z wcześniejszej pracy Lihna nad rozkładem lambda, gdzie ${\ Displaystyle \ lambda = 2/\ alfa = 4}$ . Przy tym ustawieniu wiele aspektów stabilnego rozkładu liczby ma eleganckie rozwiązania analityczne.

P -te momenty centralne to ${\ Displaystyle {\ Frac {2 \ Gamma (p + 3/2)} {\ Gamma (3/ 2)}}4^{p}\theta^{p}}$ . CDF wynosi ${\ textstyle {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ gamma \ lewo ({\ frac {3} {2}}, {\ frac {\ nu - \ nu _ {0}} {4$$gamma$$}$ gdzie niższą niepełną funkcją A MGF to ${\ Displaystyle M _ {\ Frac {1} {2}} (s) = e ^ {s \ nu _ { 0}}(1-4s\theta )^{-{\frac {3}{2}}}}$ . (Patrz sekcja 3)

Szczególny przypadek, gdy α → 1

Gdy staje się $większy$ szczyt rozkładu staje się ostrzejszy. Szczególnym przypadkiem $alfa$ , gdy $(\ nu)}$ . Rozkład zachowuje się jak funkcja delta Diraca ,

${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa \ rightarrow 1} (\ nu) \ rightarrow \ delta (\ nu -1)}$

gdzie ${\ Displaystyle \ delta (x) = {\ rozpocząć {przypadki} \ infty, & {\ tekst {jeśli}} x = 0 \\ 0,& {\ tekst {jeśli}} x \ neq 0 \ koniec {przypadków}}}$ i ${\ Displaystyle \ int _ {0_ {-}} ^ {0_ {+}} \delta (x)dx=1}$ .

Reprezentacja serii

Na podstawie reprezentacji szeregowej jednostronnego rozkładu stabilnego mamy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (x) & = {\ Frac {1} {\ pi \ Gamma ({\ Frac {1} {\ alfa}} + 1)}}\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}{x}^{\alpha n} \Gamma (\alpha n+1)\\&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^ {\infty}{\frac {(-1)^{n+1}\sin(n\alpha \pi)}{n!}}{x}^{\alpha n}\Gamma (\alpha n+1 )\\\koniec {wyrównany}}}$ .

Ta reprezentacja serii ma dwie interpretacje:

• Po pierwsze, podobna postać tego szeregu została po raz pierwszy podana w Pollard (1948), aw „ Relation to Mittag-Leffler function ” stwierdza się, że $\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (x) = {\ Frac {\ alfa ^ {2} x ^ {\ alfa}} {\ Gamma \ lewo ({\ frac { 1}{\alpha }}\right)}}H_{\alpha }(x^{\alpha }),}$ gdzie ${\ Displaystyle H _ {\ alfa} (k)}$ to transformata Laplace'a funkcji Mittaga-Lefflera ${\ Displaystyle E _ {\ alfa} (-x)}$ .
• $szereg$ szczególnym przypadkiem Wrighta

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (x) & = {\ Frac {1} {\ pi \ Gamma ({\ Frac {1} {\ alfa}} + 1)}}\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}{x}^{\alpha n}}{n!}}\,\sin(( \alpha n+1)\pi )\Gamma (\alpha n+1)\\&={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right) }}W_{-\alfa ,0}(-x^{\alfa}),\,{\text{gdzie}}\,\,W_{\lambda ,\mu }(z)=\suma _{n =0}^{\infty}{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.\\\end{wyrównane}}}$

Dowód uzyskuje się za pomocą wzoru na odbicie funkcji Gamma: ${\ Displaystyle \ sin ((\ alfa n +1)\pi )\Gamma (\alpha n+1)=\pi /\Gamma (-\alpha n)}$ , co dopuszcza odwzorowanie: ${\ Displaystyle \ lambda = - \ alfa, \ mu = 0, z = - x ^ {\ alfa}}$ w ${\ Displaystyle W _ {\ lambda, \ mu} (z) }$ . Reprezentacja Wrighta prowadzi do rozwiązań analitycznych dla wielu właściwości statystycznych stabilnego rozkładu zliczeń i ustanawia inne połączenie z rachunkiem ułamkowym.

Aplikacje

Stabilna dystrybucja liczby może dość dobrze reprezentować dzienną dystrybucję VIX. Przypuszcza się, że VIX jest rozprowadzany jak ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ Frac {1} {2}} (\ nu; \ nu _ {0}, \ theta )}$ z ${\ Displaystyle \ nu _ {0} = 10,4}$ i ${\ Displaystyle \ theta = 1,6}$ (Patrz Sekcja 7 ). Zatem stabilny rozkład liczby jest pierwszym rzędem krańcowym rozkładem procesu zmienności. W tym kontekście $.$ jest „zmiennością dolną” W praktyce VIX rzadko spada poniżej 10. Zjawisko to uzasadnia pojęcie „dolnej zmienności”. Przykład dopasowania pokazano poniżej:

VIX dzienna dystrybucja i dopasowanie do stabilnej liczby

Jedna forma SDE z odwracaniem średniej dla ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ Frac {1} {2}} (\ nu; \ nu _ {0}, \theta )}$ opiera się na zmodyfikowanym modelu Coxa-Ingersolla-Rossa (CIR) . Załóżmy $zmienności$ mamy proces

${\ Displaystyle dS_ {t} = {\ Frac {\ sigma ^ {2}} {8 \ theta }}(6\theta +\nu _{0}-S_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {S_{t}-\nu _{0}}}\,dW,}$

gdzie jest tak zwanym „vol of vol $.$ „vol of vol” dla VIX nazywa się VVIX i ma typową wartość około 85.

$.$$,$ wykonalne analitycznie i spełnia warunek Fellera więc nigdy nie spadnie Istnieje jednak subtelna kwestia między teorią a praktyką. Istnieje około 0,6% prawdopodobieństwa, że ​​​​VIX spadł poniżej ${\ displaystyle \ nu _ {0}}$ . Nazywa się to „przelewem”. Aby temu zaradzić, można zastąpić pierwiastek kwadratowy wyrażeniem ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ max (S_ {t} - \ nu _ {0}, \ delta \ nu _ {0})}}} gdzie δ ν ≈ 0,01 ν {\$ Displaystyle $około 0,01 \, \ nu _ {0}}$${ 0$$displaystyle$$\ nu _ {0}}$ zapewnia mały kanał wycieku, aby dryfować nieco poniżej .

Niezwykle niski odczyt VIX wskazuje na bardzo zadowolony rynek. $cyklu$ więc warunek uboczny ma pewne znaczenie - kiedy występuje, zwykle wskazuje na ciszę przed burzą

Generowanie zmiennych losowych

Jak pokazuje powyższy model CIR, do symulacji sekwencji stabilnych zmiennych losowych potrzebny jest inny $parametr$ wejściowy Proces stochastyczny z odwracaniem średniej ma postać

${\ Displaystyle dS_ {t} = \ sigma ^ {2} \ mu _ {\ alfa} \ lewo ({\ Frac { S_{t}}{\theta}}\right)\,dt+\sigma {\sqrt {S_{t}}}\,dW,}$

$) {\ Displaystyle {\ mathfrak {$ powinno dawać , rozprowadza się jak $)}$$}} _ {\ alfa} (\ nu;$ . A $użytkownika$$przez$ preferencje dotyczące tego, jak szybko się zmieniać

Rozwiązując $} \alpha }(x)}$ Fokkera-Plancka rozwiązanie dla N $\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ Displaystyle \ mu _ {\ alfa}$ jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcl} \ mu _ {\ alfa} (x) & = & \ Displaystyle {\ Frac {1} {2}}} {\ Frac {\ lewo (x {d \ nad dx }+1\right){\mathfrak {N}}_{\alpha}(x)}{{\mathfrak {N}}_{\alpha}(x)}}\\&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[x{d \over dx}\left(\log {\mathfrak {N}}_{\alpha}(x)\right)+1\right]\end{array} }}$

Można to również zapisać jako stosunek dwóch funkcji Wrighta,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcl} \ mu _ {\ alfa} (x) & = & \ Displaystyle - {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {W_ {- \ alfa ,-1}(-x^{\alpha})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha}}+1)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha}(x)} }\\&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {W_{-\alfa,-1}(-x^{\alfa})}{W_{-\alfa,0 }(-x^{\alpha})}}\end{tablica}}}$

Kiedy , $Displaystyle \ mu _ {1$ się do modelu CIR, w którym $μ$ . Jest $w$ jedyny szczególny przypadek, .

Rachunek ułamkowy

Związek z funkcją Mittaga-Lefflera

Z sekcji 4 odwrotna transformata Laplace'a funkcji Mittaga -Lefflera mi $-x) }$$Displaystyle$ jest ( ${\ Displaystyle k> 0}$ )

${\ Displaystyle H _ {\ alfa} (k) = {\ mathcal {L}} ^ {-1} \ {E _ {\ alfa} (-x) \} (k) = {\ Frac {2} {\ pi }}\int _{0}^{\infty}E_{2\alpha }(-t^{2})\cos(kt)\,dt.}$

Z drugiej strony następującą zależność podał Pollard (1948):

${\ Displaystyle H _ {\ alfa} (k) = {\ Frac {1} {\ alfa}} {\ Frac {1} {k ^ {1 + 1 / \ alfa}}} L_ {\ alfa} \ lewo ( {\frac {1}{k^{1/\alpha}}}\right).}$

W ten sposób otrzymujemy zależność między stabilnym rozkładem zliczeń a funkcją Mittaga-Lefftera: ${\ Displaystyle k = \ nu ^ {\ alfa}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu) = {\ Frac {\ alfa ^ {2} \ nu ^ {\ alfa}} {\ Gamma \ lewo ({\ frac {1} {\alpha}}\right)}}H_{\alpha}(\nu ^{\alpha}).}$

$\ Displaystyle H_$ można szybko zweryfikować H. $=$ 2 $Displaystyle k^{2}=\nu}$ . Prowadzi to do dobrze znanego stabilnego wyniku zliczania kwartalnego :

${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ Frac {1} {2}} (\ nu) = {\ Frac {\ nu ^ {1/2}} {4 \, \ Gamma (2)}} \times {\frac {1}{\sqrt {\pi}}}\,e^{-\nu /4}={\frac {1}{4\,{\sqrt {\pi}}}}\ nu ^{1/2}\,e^{-\nu /4}.}$

Związek z ułamkowym równaniem Fokkera-Plancka w czasie

Zwykłe równanie Fokkera-Plancka (FPE) to ${\ Frac {\ częściowe P_ {1} (x, t)}{\częściowe t}}=K_{1}\,{\tylda {L}}_{FP}P_{1}(x,t)} ,$ gdzie $}}$${\ Displaystyle {\ tylda {L}} _ {FP} = {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}} {\ Frac {F (x)}} {T}} + {\ Frac {\$ częściowy ^ {2}} {\ częściowy x ^ {2} $}$ to operator przestrzeni Fokkera-Plancka, to współczynnik dyfuzji , $Displaystyle K_ {1}$$_$ i zewnętrznym Ułamkowa FPE w czasie wprowadza dodatkową pochodną ułamkową ${1- \ alfa}}$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe P _ {\ alfa} (x, t)} {\ częściowe t}} = K_ {\ alfa} \, _ {0} D_ {t} ^ {1- \alpha }{\tylda {L}}_{FP}P_{\alpha }(x,t)}$ takie, że , gdzie ${\ Displaystyle K _ {\ alfa}}$ to ułamkowy współczynnik dyfuzji.

k ${\ Displaystyle k = s / t ^ {\ alfa}}$${\ Displaystyle H _ {\ alfa} (k)}$ , otrzymujemy jądro dla ułamkowego czasu FPE (Równanie (16) z )

${\ Displaystyle n (s, t) = {\ Frac {1} {\ alfa}} {\ Frac { t}{s^{1+1/\alpha}}}L_{\alpha}\left({\frac {t}{s^{1/\alpha}}}\right)}$

z którego gęstość ułamkową można obliczyć ze zwykłego rozwiązania. $\ alfa} ($$\ Displaystyle$ przez

${\ Displaystyle P _ {\ alfa} (x, t) = \ int _ {0} ^ {\ infty} n \ lewo ({\ Frac {s} {K}}, t \ prawej) \, P_ {1} (x,s)\,ds,{\text{ gdzie }}K={\frac {K_{\alpha}}{K_{1}}}.}$

ponieważ ${\ Displaystyle n ({\ Frac {s} {K}}, t)\,ds=\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right){\frac {1}{\nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\ alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })\,d\nu }$ poprzez zmianę zmiennej ${\ Displaystyle \ nu t = s ^ {1/\ alfa}}$ powyższa całka staje się rozkładem produktu z ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} ( \nu )}$ , podobnie jak koncepcja „ rozkładu lambda ” i skalowanie czasu ${\ Displaystyle t \ Strzałka w prawo (\ nu t) ^ {\ alfa}}$ :

${\ Displaystyle P _ {\ alfa} (x, t) = \ Gamma \ lewo ({\ Frac {1} {1} {\ alfa}} + 1 \ prawo) \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac { 1}{\nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha})\,P_{1}(x,(\nu t )^{\alpha})\,d\nu .}$

Tutaj jest interpretowany jako rozkład ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ alfa} (\ nu; \ theta = K ^ {1/\ alfa})}$$dyfuzję$ w jednostce która anomalną

Związek z rozkładem Weibulla

Dla rozkładu Weibulla jego $\ Displaystyle$$\ lambda)}$ stabilności Lévy'ego w tym kontekście $F (x; k,$ . $Laplace'a$ jądro jest rozkładem albo fa ${\ Displaystyle F (x; 2, \ lambda)$ :

${\ Displaystyle F (x; k, \ lambda) = {\ rozpocząć {przypadki} \ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {\ nu}} \, F (x; 1 ,\lambda \nu )\left(\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right)\,d \nu ,&1\geq k>0;{\text{lub }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty}}{\frac {1}{s}}\,F(x;2, {\sqrt {2}}\lambda s)\left({\sqrt {\frac {2}{\pi}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right )V_{k}(s)\right)\,ds,&2\geq k>0.\end{przypadki}}}$

Zobacz też

• Lot Levy'ego
• Proces Lévy'ego
• Rachunek ułamkowy
• Anomalna dyfuzja
• Niekompletna funkcja gamma i rozkład gamma
• Rozkład Poissona

Linki zewnętrzne

• Pakiet R „stabledist” autorstwa Diethelma Wuertza, Martina Maechlera i głównych członków zespołu Rmetrics. Oblicza stabilną gęstość, prawdopodobieństwo, kwantyle i liczby losowe. Zaktualizowano 12 września 2016 r.