Funkcja Dawsona

Wykres funkcji całkowej Dawsona F(z) na płaszczyźnie zespolonej od -2-2i do 2+2i z kolorami utworzonymi za pomocą funkcji Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

W matematyce funkcja Dawsona lub całka Dawsona (nazwana na cześć HG Dawsona ) jest jednostronną transformatą sinusoidalną Fouriera-Laplace'a funkcji Gaussa.

Definicja

Funkcja Dawsona jest zdefiniowana jako:

$${\ Displaystyle D_ {+} (x) = e ^ {-x ^ {2}} \ int _ {0} ^ {x} e ^{t^{2}}\,dt,}$$

oznaczony również jako lub re $\ Displaystyle$$fa ( x ) {\ Displaystyle F (x)}$ lub alternatywnie

$${\ Displaystyle D_ {-} (x) = e ^ {x ^ {2}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {-t ^ {2}} \, dt. \!}$$

Funkcja Dawsona wokół pochodzenia ${\ Displaystyle D_ {-} (x)}$

Funkcja Dawsona jest jednostronną transformatą sinusoidalną Fouriera – Laplace'a funkcji Gaussa ,

$${\ Displaystyle > D_ {+} (x) = {\ Frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}/4} \, \ sin ( xt)\,dt.}$$

Jest to ściśle związane z funkcją błędu erf, as

${\ Displaystyle D_ {+} (x) = {{\ sqrt {\ pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}} \operatorname {erf} (ix)}$

gdzie erfi jest urojoną funkcją błędu, erfi( x ) = − i erf( ix ). Podobnie,

Funkcja Dawsona wokół pochodzenia ${\ Displaystyle F (x) = D_ {+} (x)}$

$${\ Displaystyle D_ {-} (x) = {\ Frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} e ^ {x ^ {2} }\nazwa_operatora {erf} (x)}$$

pod względem rzeczywistej funkcji błędu, erf.

W kategoriach funkcji erfi lub Faddeeva funkcję Dawsona można rozszerzyć na całą płaszczyznę zespoloną : ${\ displaystyle w (z)}$

$${\ Displaystyle F (z) = {{\ sqrt {\ pi}} \ ponad 2}e^{-z^{2}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {i{\sqrt {\pi}}}{2}}\left[e^{-z^{ 2}}-w(z)\prawo],}$$

co upraszcza

$${\ Displaystyle D_ {+} (x) = F (x) = {\ Frac {\ sqrt {\ pi}} {2 }}\nazwa_operatora {Im} [w(x)]}$$

$${\ Displaystyle D_ {-} (x) = iF (-ix) = - {\ Frac {\sqrt {\pi}}{2}}\left[e^{x^{2}}-w(-ix)\right]}$$

naprawdę ${\ displaystyle x.}$

dla ${\ Displaystyle | x|}$ blisko zera, fa ( x ) ≈ x . dla ${\ Displaystyle | x |}$ duży, fa ( x ) ≈ 1 / (2 x ). Dokładniej, w pobliżu pochodzenia ma rozwinięcie serii

$${\ Displaystyle F (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{ \frac {4}{15}}x^{5}-\cdots ,}$$

podczas gdy dla dużych $asymptotyczne$ rozwinięcie

$${\ Displaystyle F (x) = {\ Frac {1} {2x}} + {\ Frac {1} {4x ^ {3}}} + {\ Frac {3} {8x ^ {5}}} + \ kropki .}$$

Dokładniej

$${\ Displaystyle \ lewo | F (x) - \ suma _ {k = 0} ^ {N} {\ Frac {(2k-1) !!} {2 ^ {k + 1} x ^ {2k + 1} }}\right|\leq {\frac {C_{N}}{x^{2N+3}}}.}$$

gdzie ${\ displaystyle n !!}$ to podwójna silnia .

${\ Displaystyle F (x)}$ spełnia równanie różniczkowe

$${\ Displaystyle {\ Frac {dF} {dx}} + 2xF = 1 \, \!}$$

z warunkiem początkowym ${\ Displaystyle F (0) = 0.}$ W związku z tym ma ekstrema dla

$${\ Displaystyle F (x) = {\ Frac {1} {2x}},}$$

co daje x = ±0,92413887... ( OEIS : A133841 ), F ( x ) = ±0,54104422... ( OEIS : A133842 ).

Następują punkty przegięcia dla

$${\ Displaystyle F (x) = {\ Frac {x} {2x ^ {2} -1}}}$$

co daje x = ±1,50197526... ( OEIS : A133843 ), F ( x ) = ±0,42768661... ( OEIS : A245262 ). (Oprócz trywialnego punktu przegięcia w ${\ Displaystyle x = 0,}$${\ Displaystyle F (x) = 0.}$ )

Związek z transformatą Hilberta Gaussa

Transformata Hilberta Gaussa jest zdefiniowana jako

$${\ Displaystyle H (y) = \ pi ^ {- 1} \ nazwa operatora {PV} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {e^{-x^{2}}}{yx}}\,dx}$$

PV oznacza główną wartość Cauchy'ego i ograniczamy się do rzeczywistego ${\ Displaystyle y.}$${\ Displaystyle H (y)}$ można odnieść do funkcji Dawsona w następujący sposób. Wewnątrz $uogólnioną$ wartości głównej możemy traktować jako funkcję lub rozkład i użyć

$${\ Displaystyle {1 \ nad u} = \ int _ {0} ^ {\ infty} dk \ \ sin ku = \ int _ {0} ^ {\ infty} dk \ \ operatorname {Im} e ^ { iku}.}$$

${\ Displaystyle 1/u = 1 / (yx)}$ używamy wykładniczej reprezentacji ${\ Displaystyle \ sin (ku)}$ i uzupełniamy kwadrat w $odniesieniu$ do

$${\ Displaystyle \ pi H (y) = \ nazwa operatora {im} \ int _ {0} ^ {\ infty} dk \, \ exp [-k ^ {2}/4 + iky] \ int _ {- \ infty }^{\infty }dx\,\exp[-(x+ik/2)^{2}].}$$

Możemy przesunąć całkę $rzeczywistej$ i daje to ${\ Displaystyle \ pi ^ {1/2}.}$ Tak więc

$${\ Displaystyle \ pi ^ {1/2} H (y) = \ nazwa operatora {Im} \ int _ {0} ^ {\ infty} dk \, \ exp [-k ^ {2}/4 + iky]. }$$

Uzupełniamy kwadrat w odniesieniu do ${\ displaystyle k}$ i otrzymujemy

$${\ Displaystyle \ pi ^ {1/2} H (y) = e ^ {-y ^ {2}} \ operatorname {Im} \ int _ {0} ^ {\ infty} dk \, \ exp [- ( k/2-iy)^{2}].}$$

Zmieniamy zmienne na ${\ Displaystyle u = ik/2 + y:}$

$${\ Displaystyle \ pi ^ {1/2} H (y) = -2e ^ {-y ^ {2}} \ operatorname {Im} i \ int _ {y} ^ {i \ infty + y} du \ e ^{u^{2}}.}$$

Całkę można wykonać jako całkę po konturze wokół prostokąta na płaszczyźnie zespolonej. Wzięcie wyimaginowanej części wyniku daje

$${\ Displaystyle H (y) = 2 \ pi ^ {- 1/2} F (y)}$$

gdzie $Dawsona$ powyżej

Transformata $_$ funkcją Widzimy to za pomocą techniki różniczkowania wewnątrz znaku całki. Pozwalać

$${\ Displaystyle H_ {n} = \ pi ^ {-1} \ operatorname {PV} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {2n} e ^ {-x ^ {2 }}}{yx}}\,dx.}$$

Wprowadzić

$${\ Displaystyle H_ {a} = \ pi ^ {-1} \ operatorname {PV} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {e ^ {-ax ^ {2}} \ nad yx} \, dx.}$$

Pochodna to $\ displaystyle n}$ {

$${\ Displaystyle {\ częściowe ^ {n} H_ {a} \ ponad \ częściowe a ^ {n}} = (-1) ^ {n} \ pi ^ {-1} \ operatorname {PV} \ int _ {- \infty }^{\infty}{\frac {x^{2n}e^{-ax^{2}}}{yx}}\,dx.}$$

W ten sposób znajdujemy

$${\ Displaystyle \ lewo.H_ {n} = (-1) ^ {n} {\ Frac {\ częściowe ^ {n} H_ {a}} {\ częściowe a ^ {n}}} \ prawo | _ {a =1}.}$$

$zmianie$ wykonywane najpierw, a następnie wynik oceniany przy również $F (y {\ sqrt {a}}).} Ponieważ fa$$Displaystyle F'(y) = 1-2yF (y)}$ ′ możemy napisać $(y)}$${\ Displaystyle H_ {n} = P_ {1} (y) +$$i$ {2} ( $wielomianami$ gdzie . Na przykład ${\ Displaystyle H_ {1} = - \ pi ^ {-1/2} y + 2 \ pi ^ {-1/2} y ^ {2} F (y).} Alternatywnie, H n {$ \ ${ n}}$ można obliczyć za pomocą relacji powtarzalności (dla ${\ Displaystyle n \ geq 0}$ )

$${\ Displaystyle H_ {n + 1} (y) = y ^ {2} H_ {n} (y) - {\ Frac {(2n-1) !!} {{\ sqrt {\ pi}} 2 ^ { n}}}y.}$$

Zobacz też

• Lista funkcji matematycznych

Linki zewnętrzne

• gsl_sf_dawson w Bibliotece Naukowej GNU
• libcerf , numeryczna biblioteka C dla złożonych funkcji błędów, udostępnia funkcję voigt(x, sigma, gamma) z dokładnością około 13-14 cyfr. Opiera się na funkcji Faddeeva zaimplementowanej w pakiecie MIT Faddeeva
• Całka Dawsona (w Mathworld)
• Funkcje błędów