różniczkowy

„Całkowanie ułamkowe” przekierowuje tutaj. Nie należy mylić z ułamkowo zintegrowaną średnią ruchomą z autoregresją .

W rachunku ułamkowym , obszarze analizy matematycznej , całka różnicowa (czasami nazywana także derivigriral) jest połączonym operatorem różniczkowania / całkowania . Zastosowana do funkcji ƒ, q -differintegral z f , tutaj oznaczona przez

${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {q} f}$

jest pochodną ułamkową (jeśli q > 0) lub całką ułamkową (jeśli q <0). Jeśli q = 0, to q -tą całką różnicową funkcji jest sama funkcja. W kontekście całkowania i różniczkowania ułamkowego istnieje kilka uzasadnionych definicji całki różnicowej.

Standardowe definicje

Cztery najczęstsze formy to:

• Riemanna -Liouville'a Jest to najprostsza i najłatwiejsza w użyciu, a co za tym idzie, najczęściej używana. Jest to uogólnienie wzoru Cauchy'ego na wielokrotne całkowanie do dowolnego porządku. Tutaj ${\ Displaystyle n = \ lceil q \ rceil}$ .
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} _ {a} ^ {RL} \ mathbb {D} _ {t} ^ {q} f (t) & = {\ Frac {d ^ {q}f(t)}{d(ta)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (nq)}}{\frac {d^{n}}{dt^ {n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{nq-1}f(\tau)d\tau \end{wyrównane}}}$$
• Grunwalda -Letnikowa Całka różniczkowa Grunwalda-Letnikowa jest bezpośrednim uogólnieniem definicji pochodnej . Jest trudniejszy w użyciu niż całka różnicowa Riemanna-Liouville'a, ale czasami może być użyty do rozwiązania problemów, których nie może rozwiązać Riemanna-Liouville'a.
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} _ {a} ^ {GL} \ mathbb {D} _ {t} ^ {q} f (t) &={\frac {d^{q}f(t)}{d(ta)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty}\left[{\frac {ta} {N}}\right]^{-q}\suma _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \wybierz j}f\lewo(tj\lewo[{\ frac {ta}{N}}\prawo]\prawo)\end{wyrównane}}}$$
• Całka różniczkowa Weyla Jest formalnie podobna do całki różniczkowej Riemanna-Liouville'a, ale dotyczy funkcji okresowych z całkowitym zerem w okresie.
• Całka różniczkowa Caputo $przeciwieństwie$ różnicowej Riemanna-Liouville'a, pochodna Caputo stałej jest równa zeru Co więcej, postać transformaty Laplace'a pozwala po prostu oszacować warunki początkowe poprzez obliczenie pochodnych skończonego rzędu liczb całkowitych w punkcie za $\ displaystyle a}$ .
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} _ {a} ^ {C} \ mathbb {D} _ {t} ^ {q} f (t) i = {\ Frac {d ^ {q} f(t)}{d(ta)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (nq)}}\int _{a}^{t}{\frac {f^ {(n)}(\tau )}{(t-\tau )^{q-n+1}}}d\tau \end{wyrównane}}}$$

Definicje poprzez transformacje

Definicje pochodnych ułamkowych podane przez Liouville'a, Fouriera oraz Grunwalda i Letnikova są zbieżne. Można je przedstawić za pomocą transformat Laplace'a, Fouriera lub rozwinięcia w szereg Newtona.

Przypomnij sobie ciągłą transformatę Fouriera , tutaj oznaczoną: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}: fa {\ displaystyle {\ mathcal {f}}$ }

$${\ Displaystyle F (\ omega) = {\ mathcal {F}} \ {f (t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi}}}\int _{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\, dt}$$

Używając ciągłej transformaty Fouriera, w przestrzeni Fouriera różniczkowanie przekształca się w mnożenie:

$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ lewo [{\ Frac {df (t)} {dt}} \ prawej] = ja \ omega {\ mathcal {F}} [f (t)]}$$

Więc,

$${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {n} f (t)} {dt ^ {n} }}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega)^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}}$$

co uogólnia do

$${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {q} f (t) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ lewo \ {(i \ omega) ^ {q} {\ mathcal {F}} [ f(t)]\prawo\}.}$$

Pod dwustronną transformatą Laplace'a , tutaj oznaczoną przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ i zdefiniowaną jako ${\ textstyle { \mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt} , różniczkowanie przekształca się w$ mnożenie

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ lewo [{\ Frac {df (t)}} {dt}} \ prawej] = s {\ mathcal {L}} [f (t)].}$$

${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {q} f (t)}$ porządku i rozwiązując dla , otrzymuje się re

$${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {q} f (t) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ lewo \ {s ^ {q} {\ mathcal {L}} [f (t) ]\Prawidłowy\}.}$$

Reprezentacja za pomocą szeregu Newtona to interpolacja Newtona po kolejnych rzędach liczb całkowitych:

$${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {q} f (t) = \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ binom {q} {m}} \ suma _ {k = 0} ^ { m}{\binom {m}{k}}(-1)^{mk}f^{(k)}(x).}$$

W przypadku definicji pochodnych ułamkowych opisanych w tej sekcji obowiązują następujące tożsamości:

${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {q} (t ^ {n}) = {\ Frac {\ Gamma (n + 1)} {\ Gamma (n + 1-q)}} t ^ {nq}}$

${\ Displaystyle \ mathbb { D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)}$

${ \displaystyle \mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}}$

Podstawowe własności formalne

• Zasady liniowości
  $${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {q} (f + g) = \ mathbb {D} ^ {q} (f) + \mathbb {D} ^{q}(g)}$$

$${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {q} (af) = a \ mathbb {D} ^ {q} (f)}$$

• Zerowa zasada
  $${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {0} f = f}$$
• Reguła produktu
  $${\ Displaystyle \ mathbb {D} _ {t} ^ {q} (fg) = \sum _{j=0}^{\infty}{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{qj}(g )}$$

Ogólnie rzecz biorąc, reguła kompozycji (lub półgrupy ) jest pożądaną właściwością, ale jest trudna do osiągnięcia matematycznie, a zatem nie zawsze jest w pełni spełniona przez każdy proponowany operator; stanowi to część procesu decyzyjnego, który wybrać:

• ${\ textstyle \ mathbb {D} ^ {a} \ mathbb {D} ^ {b} f = \ mathbb {D} ^ {a + b} f}$ )
• $textstyle \ mathbb {D} ^ {a} \ mathbb {D} ^ {b} f \ neq \ mathbb {D} ^ {a + b} f}$ w ćwiczyć)

Zobacz też

• Integrator ułamkowego rzędu

•   Miller, Kenneth S. (1993). Ross, Bertram (red.). Wprowadzenie do rachunku ułamkowego i równań różniczkowych ułamkowych . Wiley'a. ISBN 0-471-58884-9 .
•   Oldham, Keith B.; Spanier, Jerome (1974). Rachunek ułamkowy; Teoria i zastosowania różnicowania i integracji do dowolnego porządku . Matematyka w nauce i inżynierii . Tom. V. Prasa Akademicka. ISBN 0-12-525550-0 .
•   Podlubny, Igor (1998). Ułamkowe równania różniczkowe. Wprowadzenie do pochodnych ułamkowych, równań różniczkowych ułamkowych, niektórych metod ich rozwiązywania i niektórych zastosowań . Matematyka w nauce i inżynierii . Tom. 198. Prasa akademicka. ISBN 0-12-558840-2 .
•   Carpinteri, A.; Mainardi, F., wyd. (1998). Fraktale i rachunek ułamkowy w mechanice ośrodków ciągłych . Springer-Verlag. ISBN 3-211-82913-X .
•   Mainardi, F. (2010). Rachunek ułamkowy i fale w liniowej lepkosprężystości: wprowadzenie do modeli matematycznych . Imperial College Press. ISBN 978-1-84816-329-4 . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2012-05-19.
•   Tarasow, VE (2010). Dynamika ułamkowa: zastosowania rachunku ułamkowego do dynamiki cząstek, pól i mediów . Nieliniowa nauka fizyczna . Skoczek. ISBN 978-3-642-14003-7 .
•   Uchaikin, VV (2012). Pochodne ułamkowe dla fizyków i inżynierów . Nieliniowa nauka fizyczna . Skoczek. Bibcode : 2013fdpe.book.....U . ISBN 978-3-642-33910-3 .
•   Zachód, Bruce J.; Bolonia, Mauro; Grigolini, Paolo (2003). Fizyka operatorów fraktalnych . Springer Verlag. ISBN 0-387-95554-2 .

Linki zewnętrzne

• MathWorld – rachunek ułamkowy
• MathWorld – pochodna ułamkowa
• Czasopismo specjalistyczne: Rachunek ułamkowy i analiza stosowana (1998-2014) oraz rachunek ułamkowy i analiza stosowana (od 2015)
• Czasopismo specjalistyczne: Ułamkowe równania różniczkowe (FDE)
•   Czasopismo specjalistyczne: Komunikacja w rachunku ułamkowym ( ISSN 2218-3892 )
• Czasopismo specjalistyczne: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
• Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (2002). „Zainicjowany rachunek ułamkowy” . Technologia informacyjna . Tech Briefs Media Group.
• https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• Zbiór powiązanych książek, artykułów, linków, oprogramowania itp. autorstwa Igora Podlubnego.
• Podlubny, I. (2002). „Geometryczna i fizyczna interpretacja całkowania ułamkowego i różniczkowania ułamkowego” (PDF) . Rachunek ułamkowy i analiza stosowana . 5 (4): 367–386. arXiv : math.CA/0110241 . Bibcode : 2001math.....10241P .
•   Zavada, P. (1998). „Operator pochodnej ułamkowej na płaszczyźnie zespolonej”. Komunikacja w fizyce matematycznej . 192 (2): 261–285. arXiv : funkcja-an/9608002 . Bibcode : 1998CMaPh.192..261Z . doi : 10.1007/s002200050299 . S2CID 1201395 .