Wzór Cauchy'ego na całkowanie wielokrotne

Wzór Cauchy'ego na wielokrotne całkowanie , nazwany na cześć Augustina-Louisa Cauchy'ego , pozwala skompresować n antyróżnicowań funkcji w jedną całkę (por. Wzór Cauchy'ego ).

Przypadek skalarny

Niech f będzie funkcją ciągłą na prostej rzeczywistej. Wtedy n -ta powtarzająca się całka z f z punktem bazowym a ,

$${\ Displaystyle f ^ {(-n)} (x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f( \sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1},}$$

jest dana przez pojedynczą integrację

$${\ Displaystyle f ^ {(-n)} (x) = {\ Frac {1} {(n-1)!}} \ int _ {a} ^ {x} \ lewo (xt \ prawo) ^ {n -1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Dowód

Dowód jest dany przez indukcję . Przypadek podstawowy z n=1 jest trywialny, ponieważ jest równoważny z:

$${\ Displaystyle f ^ {(-1)} (x) = {\ Frac {1} {0!}} \int _{a}^{x}{(xt)^{0}}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$$

Załóżmy teraz, że to jest prawdziwe dla n i udowodnijmy to dla n +1. Po pierwsze, korzystając z reguły całki Leibniza , zauważ to

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} \ lewo [{\ Frac {1} {n!}} \ int _ {a} ^ {x} \ lewo (xt \right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left (xt\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Następnie, stosując hipotezę indukcyjną,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f ^ {- (n + 1)} (x) & = \ int _ {a} ^ {x} \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {1}} \ cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d } \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\ int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[ {\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\, \mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left( xt\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t.\end{wyrównane}}}$$

To kończy dowód.

Uogólnienia i zastosowania

Wzór Cauchy'ego jest uogólniony na parametry niecałkowite przez ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {C} \ \ Re (\ alfa)> 0}$ Riemanna-Liouville'a , gdzie ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {Z} _ {\ geq 0}}$ jest zastępowane przez , a silnia jest zastępowana przez funkcję gamma . Te dwie formuły zgadzają się, gdy ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z} _ {\ geq 0}}$ .

Zarówno wzór Cauchy'ego, jak i całka Riemanna-Liouville'a są uogólnione do dowolnego wymiaru przez potencjał Riesza .

W rachunku ułamkowym te wzory mogą być używane do konstruowania całki różnicowej , co pozwala na różnicowanie lub całkowanie ułamkowej liczby razy. Różniczkowanie ułamkowej liczby razy można osiągnąć przez całkowanie ułamkowe, a następnie różniczkowanie wyniku.

• Augustin-Louis Cauchy : Trente-Cinquième Leçon . W: Résumé des leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur le calcul infinitésimal . Imprimerie Royale, Paryż 1823. Przedruk: Œuvres complètes II (4), Gauthier-Villars, Paryż, s. 5–261.
•   Gerald B. Folland, Zaawansowany rachunek różniczkowy , s. 193, Prentice Hall (2002). ISBN 0-13-065265-2

Linki zewnętrzne

• Alana Beardona (2000). „Rachunek ułamkowy II” . Uniwersytet Cambridge.