Potencjał Riesza
W matematyce potencjał Riesza to potencjał nazwany na cześć jego odkrywcy, węgierskiego matematyka Marcela Riesza . W pewnym sensie potencjał Riesza definiuje odwrotność potęgi operatora Laplace'a w przestrzeni euklidesowej. Uogólniają na kilka zmiennych całki Riemanna – Liouville'a jednej zmiennej.
Definicja
Jeżeli 0 < α < n , to potencjał Riesza I α f lokalnie całkowalnej funkcji f na R n jest funkcją zdefiniowaną przez
-
()
gdzie stała jest dana przez
Ta całka osobliwa jest dobrze zdefiniowana pod warunkiem, że f zanika wystarczająco szybko w nieskończoności, szczególnie jeśli f ∈ L p ( R n ) z 1 ≤ p < n / α . W rzeczywistości, dla dowolnego 1 ≤ p ( p >1 jest klasyczne, ze względu na Sobolewa, podczas gdy dla p = 1 patrz ( Schikorra, Spector & Van Schaftingen ) ), tempo zaniku f i I α f są powiązane w postaci nierówności ( nierówność Hardy'ego – Littlewooda – Sobolewa )
gdzie jest wektorową transformatą Riesza . Mówiąc bardziej ogólnie, operatory I α są dobrze zdefiniowane dla zespolonego α tak, że 0 < Re α < n .
Potencjał Riesza można zdefiniować bardziej ogólnie w słabym sensie jako splot
gdzie K α jest funkcją lokalnie całkowalną:
Potencjał Riesza można zatem zdefiniować zawsze, gdy f jest zwartym rozkładem obsługiwanym. W związku z tym potencjał Riesza dodatniej miary borelowskiej μ ze zwartym nośnikiem jest głównie interesujący w teorii potencjału , ponieważ I α μ jest wówczas (ciągłą) funkcją subharmoniczną poza nośnikiem μ i jest półciągła dolna na całym Rn .
Uwzględnienie transformaty Fouriera ujawnia, że potencjał Riesza jest mnożnikiem Fouriera . W rzeczywistości jeden ma
i tak, przez twierdzenie o splotach ,
Potencjały Riesza spełniają następującą właściwość półgrupy , na przykład na szybko malejących funkcjach ciągłych
pod warunkiem, że
Ponadto, jeśli 0 < Re α < n –2 , to
Dla tej klasy funkcji mamy również
Zobacz też
Notatki
- Landkof, NS (1972), Podstawy współczesnej teorii potencjału , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , MR 0350027
- Riesz, Marcel (1949), „L'intégrale de Riemann-Liouville et le problem de Cauchy”, Acta Mathematica , 81 : 1–223, doi : 10.1007/BF02395016 , ISSN 0001-5962 , MR 0030102 .
- Solomentsev, ED (2001) [1994], „Riesz potencjał” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
- Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Jean ( 2014), Oszacowanie dla potencjałów Riesza , arXiv : , : 10,4171/rmi/937 , S2CID 55497245
- Stein, Elias (1970), Całki osobliwe i właściwości różniczkowalności funkcji , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 0-691-08079-8
- Samko, Stefan G. (1998), „Nowe podejście do inwersji potencjalnego operatora Riesza” (PDF) , Rachunek ułamkowy i analiza stosowana , 1 (3): 225–245