Transformacja Riesza

W matematycznej teorii analizy harmonicznej transformaty Riesza są rodziną uogólnień transformaty Hilberta na przestrzenie euklidesowe o wymiarze d > 1. Są rodzajem osobliwego operatora całkowego , co oznacza, że ​​są dane przez splot jednej funkcji z inna funkcja mająca osobliwość na początku. W szczególności transformaty Riesza funkcji o wartościach zespolonych ƒ na R ^d są zdefiniowane przez

${\ Displaystyle R_ {j} f (x) = c_ {d} \ lim _ {\ epsilon \ do 0} \ int _ {\ mathbf {R} ^ {d} \ ukośnik odwrotny B _ {\ epsilon} (x)} {\frac {(x_{j}-t_{j})f(t)}{|xt|^{d+1}}}\,dt}$

 

 

 

 

()

dla j = 1,2,..., re . Stała c _d jest normalizacją wymiarową określoną przez

${\ Displaystyle c_ {d} = {\ Frac {1} {\ pi \ omega _ {d-1}}} = {\ Frac {\ Gamma [(d + 1)/2]} {\ pi ^ {( d+1)/2}}}.}$

gdzie ω _{d −1} jest objętością jednostki ( d − 1)-kuli . Granica jest zapisywana na różne sposoby, często jako wartość główna lub splot z rozkładem temperowanym

${\ Displaystyle K (x) = {\ Frac {1} {\ pi \ omega _ {d-1}}} \ pv {\ Frac {x_ {j}}} {| x | ^ {d + 1}} }.}$

Transformata Riesza powstaje w badaniu własności różniczkowalności potencjałów harmonicznych w teorii potencjału i analizie harmonicznej . W szczególności pojawiają się one w dowodzie nierówności Calderóna-Zygmunda ( Gilbarg i Trudinger 1983 , §9.4).

Właściwości mnożnika

Transformaty Riesza są podane przez mnożnik Fouriera . Rzeczywiście, transformata Fouriera Rj ƒ jest dana _przez

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (R_ {j} f) (x) = -i {\ Frac {x_ {j}}} {|x|}} ({\ mathcal {F}} f) (x ).}$

W tej postaci transformaty Riesza są postrzegane jako uogólnienia transformaty Hilberta . Jądro jest rozkładem jednorodnym stopnia zerowego . Szczególną konsekwencją tej ostatniej obserwacji jest to, że transformata Riesza definiuje ograniczony operator liniowy od L ² ( R ^d ) do siebie.

Tę właściwość jednorodności można również określić bardziej bezpośrednio bez pomocy transformaty Fouriera. Jeśli σ _s jest dylatacją na R ^d przez skalar s , to jest σ _s x = sx , to σ _s definiuje działanie na funkcje poprzez pullback :

${\ Displaystyle \ sigma _ {s} ^ {*} f = f \ circ \ sigma _ {s}.}$

Riesz przekształca dojazdy z σ _s :

${\ Displaystyle \ sigma _ {s} ^ {*} (R_ {j} f) = R_ {j} (\ sigma _ {x} ^ {*} f).}$

Podobnie Riesz przerabia dojazdy z tłumaczeniami. Niech τ _a będzie translacją na R ^d wzdłuż wektora a ; to znaczy τ _za ( x ) = x + za . Następnie

${\ Displaystyle \ tau _ {a} ^ {*} (R_ {j} f) = R_ {j} (\ tau _ {a} ^ {*} f).}$

W przypadku ostatniej własności wygodnie jest traktować transformaty Riesza jako pojedynczą jednostkę wektorową R ƒ = ( R ₁ ƒ,..., R _d ƒ). Rozważmy obrót ρ w R ^d . Rotacja działa na zmienne przestrzenne, a tym samym na funkcje poprzez wycofanie. Ale może również działać na wektor przestrzenny R ƒ. Własność transformacji końcowej stwierdza, że ​​transformata Riesza jest równoważna w odniesieniu do tych dwóch działań; to jest,

${\ Displaystyle \ rho ^ {*} R_ {j} [(\ rho ^ {-1}) ^ {*} f] = \ suma _ {k = 1} ^ {d} \ rho _ {jk} R_ { k} f.}$

Te trzy właściwości charakteryzują w istocie transformatę Riesza w następującym znaczeniu. Niech T =( T ₁ ,..., T _d ) będzie d -krotką ograniczonych operatorów liniowych od L ² ( R ^d ) do L ² ( R ^d ) taką, że

• T komutuje ze wszystkimi dylatacjami i translacjami.
• T jest równoważne w odniesieniu do obrotów.

Wtedy dla pewnej stałej c , T = cR .

Związek z Laplacianem

Nieco nieprecyzyjnie transformaty Riesza dają pierwsze pochodne cząstkowe rozwiązania równania ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle {(- \ delta) ^ {\ Frac {1} {2}} u = f},}$

gdzie Δ jest Laplacianem. Zatem transformatę Riesza można zapisać jako: ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle {Rf = \ nabla (- \ Delta) ^ {- {\ Frac {1} {2}}} f}}$

W szczególności należy również mieć

${\ Displaystyle R_ {i} R_ {j} \ Delta u = - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x_ {i}\częściowo x_{j}}},}$

tak, aby transformaty Riesza dawały sposób na wydobycie informacji o całym heskim funkcji ze znajomości tylko jej laplace'a.

Zostało to teraz uściślone. Załóżmy, $Schwartza$ jest funkcją . Wtedy rzeczywiście przez jawną postać mnożnika Fouriera, jeden ma

${\ Displaystyle R_ {i} R_ {j} (\ Delta u) = - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x_ {i} \ częściowe x_ {j}}}.}$

Tożsamość nie jest generalnie prawdziwa w sensie dystrybucji . Na przykład, jeśli $Delta$ rozkładem temperowanym takim, że $u \ w L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {d})}$ , to można tylko stwierdzić, że

$\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x_ {i} \ częściowe x_ { j}}}=-R_{i}R_{j}\Delta u+P_{ij}(x)}$

dla pewnego wielomianu ${\ displaystyle P_ {ij}}$ .

Zobacz też

• Transformacja Hilberta
• jądro Poissona
• Potencjał Riesza

•   Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu , Nowy Jork: Springer, ISBN 3-540-41160-7 .
• Stein, Elias (1970), Całki osobliwe i właściwości różniczkowalności funkcji , Princeton University Press .
•   Stein, Eliasz ; Weiss, Guido (1971), Wprowadzenie do analizy Fouriera w przestrzeniach euklidesowych , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
•    Arcozzi, N. (1998), Riesz Transform na sferach i zwartych grupach Liego , New York: Springer, doi : 10.1007/BF02384766 , ISSN 0004-2080 , S2CID 119919955 .