Autoregresywna ułamkowo zintegrowana średnia krocząca

W statystyce modele autoregresyjnej , ułamkowo zintegrowanej średniej ruchomej to modele szeregów czasowych , które uogólniają modele ARIMA ( autoregresywna zintegrowana średnia ruchoma ), dopuszczając niecałkowite wartości parametru różnicującego . Modele te są przydatne w modelowaniu szeregów czasowych o długiej pamięci — to znaczy, w którym odchylenia od średniej długookresowej zanikają wolniej niż zanikanie wykładnicze. Akronimy „ARFIMA” lub „FARIMA” są często używane, chociaż zwyczajowo po prostu rozszerza się notację „ARIMA ( p , d , q )” dla modeli, po prostu zezwalając na kolejność różnicowania d , aby przyjmować wartości ułamkowe .

Podstawy

W modelu ARIMA zintegrowana część modelu zawiera operator różniczkowy (1 - B ) (gdzie B jest operatorem przesunięcia wstecz ) podniesiony do potęgi całkowitej. Na przykład,

${\ Displaystyle (1-B) ^ {2} = 1-2B + B ^ {2} \,,}$

Gdzie

${\ Displaystyle B ^ {2} X_ {t} = X_ {t-2} \,,}$

aby

${\ Displaystyle (1-B) ^ {2} X_ {t} = X_ {t} -2X_ {t-1} + X_ {t-2}.}$

W modelu ułamkowym moc może być ułamkowa, a znaczenie tego terminu można zidentyfikować za pomocą następującego formalnego rozwinięcia szeregu dwumianowego

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (1-B) ^ {d} & = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} \; {d \ wybierz k} \; (-B) ^ {k }\\&=\suma _{k=0}^{\infty}\;{\frac {\prod _{a=0}^{k-1}(da)\ (-B)^{k} }{k!}}\\&=1-dB+{\frac {d(d-1)}{2!}}B^{2}-\cdots \,.\end{wyrównane}}}$

ARFIMA(0; d ; 0)

Najprostszy ułamkowo zintegrowany model autoregresji, ARFIMA(0, d , 0), to w notacji standardowej:

${\ Displaystyle (1-B) ^ {d} X_ {t} = \ varepsilon _ {t},}$

gdzie to ma swoją interpretację

${\ Displaystyle X_ {t} -dX_ {t-1} + {\ Frac {d (d-1)} {2!}} X_ {t-2} - \ cdots = \ varepsilon _ {t}.}$

ARFIMA(0, d , 0) jest podobny do ułamkowego szumu gaussowskiego (fGn): dla d = H − 1 ⁄ 2 , ich kowariancje mają ten sam rozkład potęgowy. Przewagą fGn nad ARFIMA(0, d ,0) jest to, że wiele relacji asymptotycznych zachodzi dla próbek skończonych. Przewagą ARFIMA(0, d , 0) nad fGn jest to, że ma szczególnie prostą gęstość widmową —

$${\ Displaystyle f (\ lambda) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ lewo (2 \ sin \ lewo ( {\frac {\lambda}}{2}}\right)\right)^{-2d}}$$

— i jest to szczególny przypadek ARFIMA( p , d , q ), która jest wszechstronną rodziną modeli.

Postać ogólna: ARFIMA( p , d , q )

Model ARFIMA ma tę samą formę reprezentacji co proces ARIMA ( p , d , q ), w szczególności:

${\ Displaystyle \ lewo (1- \ suma _ {i = 1} ^ {p} \ phi _ {i} B ^ {i} \ prawo) \ lewo (1-B \ prawo) ^ {d} X_ {t }=\left(1+\suma _{i=1}^{q}\theta _{i}B^{i}\right)\varepsilon _{t}\,.}$

W przeciwieństwie do zwykłego procesu ARIMA, „parametr różnicowy”, d , może przyjmować wartości niebędące liczbami całkowitymi.

Ulepszenie do zwykłych modeli ARMA

Ulepszenie zwykłych modeli ARMA jest następujące:

1. weź oryginalne serie danych i przefiltruj je górnoprzepustowo z różnicowaniem ułamkowym wystarczającym, aby wynik był stacjonarny, i zapamiętaj kolejność d tej różnicy ułamkowej, d zwykle między 0 a 1 ... prawdopodobnie do 2+ w bardziej ekstremalnych przypadkach. Ułamkowa różnica 2 to druga pochodna lub druga różnica.
   • uwaga: zastosowanie różnicowania ułamkowego zmienia jednostki problemu. Jeśli zaczęliśmy od cen, a następnie weźmy różnice ułamkowe, nie jesteśmy już w jednostkach ceny.
   • określenie kolejności różnicowania w celu ustabilizowania szeregu czasowego może być procesem iteracyjnym, eksploracyjnym.
2. obliczyć zwykłe terminy ARMA zwykłymi metodami, aby dopasować je do tego stacjonarnego tymczasowego zestawu danych, który jest w jednostkach zastępczych.
3. prognozować na podstawie istniejących danych (prognoza statyczna) lub „do przodu” (prognoza dynamiczna, do przodu w czasie) z tymi warunkami ARiMR.
4. zastosować odwrotną operację filtrowania ( całkowanie ułamkowe do tego samego poziomu d jak w kroku 1) do prognozowanego szeregu, aby przywrócić prognozę do pierwotnych jednostek problemowych (np. zamienić zastępcze jednostki z powrotem na cenę).
   • Różnicowanie ułamkowe i całkowanie ułamkowe to ta sama operacja z przeciwnymi wartościami d: np. różnicę ułamkową szeregu czasowego do d = 0,5 można odwrócić (całkować) przez zastosowanie tej samej operacji różniczkowania ułamkowego (ponownie), ale z ułamkiem d = -0,5 . Zobacz funkcję fracdiff GRETL: http://gretl.sourceforge.net/gretl-help/funcref.html#fracdiff

Celem wstępnego filtrowania jest redukcja niskich częstotliwości w zbiorze danych, które mogą powodować niestacjonarności w danych, z którymi modele ARMA nie radzą sobie dobrze (lub wcale)… ale tylko na tyle, aby redukcje można odzyskać po zbudowaniu modelu.

Różnicowanie ułamkowe i całkowanie ułamkowe operacji odwrotnej (oba kierunki są wykorzystywane w procesie modelowania i prognozowania ARFIMA) można traktować jako operacje filtrowania cyfrowego i operacji „niefiltrowania”. W związku z tym przydatne jest zbadanie odpowiedzi częstotliwościowej takich filtrów, aby wiedzieć, które częstotliwości są utrzymywane, a które są tłumione lub odrzucane, a mianowicie: https://github.com/diffent/fracdiff/blob/master/freqrespfracdiff.pdf

Należy zauważyć, że każde filtrowanie, które zastąpiłoby ułamkowe różnicowanie i całkowanie w tym modelu AR(FI)MA, powinno być podobnie odwracalne jak różnicowanie i całkowanie (sumowanie), aby uniknąć utraty informacji. Np. filtr górnoprzepustowy, który całkowicie odrzuca wiele niskich częstotliwości (w przeciwieństwie do filtru górnoprzepustowego różnicującego ułamkowo, który całkowicie odrzuca tylko częstotliwość 0 [stałe zachowanie sygnału wejściowego] i jedynie tłumi inne niskie częstotliwości, patrz wyżej PDF) może nie działać tak dobrze, ponieważ po dopasowaniu terminów ARMA do filtrowanych szeregów operacja odwrotna mająca na celu przywrócenie prognozy ARMA do jej pierwotnych jednostek nie byłaby w stanie ponownie wzmocnić tych stłumionych niskich częstotliwości, ponieważ niskie częstotliwości zostały obcięte do zera.

Takie badania odpowiedzi częstotliwościowej mogą sugerować inne podobne rodziny (odwracalnych) filtrów, które mogą być użytecznymi zamiennikami części „FI” przepływu modelowania ARFIMA, takie jak dobrze znany, łatwy do wdrożenia i minimalizujący zniekształcenia górnoprzepustowy filtr Butterwortha lub podobny: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-55789-2_13

Zobacz też

• Rachunek ułamkowy — różniczka ułamkowa
• Differintegral — ułamkowe całkowanie i różniczkowanie
• Ułamkowy ruch Browna — proces stochastyczny w czasie ciągłym o podobnej podstawie
• Zależność dalekiego zasięgu

Notatki

• Granger, CWJ ; Joyeux, R. (1980). „Wprowadzenie do modeli szeregów czasowych o długiej pamięci i różnicowania ułamkowego”. Dziennik analizy szeregów czasowych . 1 : 15–30. doi : 10.1111/j.1467-9892.1980.tb00297.x .
• Hosking, JRM (1981). „Różnicowanie ułamkowe”. Biometria . 68 (1): 165–176. doi : 10.1093/biomet/68.1.165 .
•   Robinson, PM (2003). Szeregi Czasowe Z Długą Pamięcią . Oxford University Press. ISBN 0-19-925729-9 .