Zainicjowany rachunek ułamkowy

W analizie matematycznej inicjalizacja całek różniczkowych jest tematem rachunku ułamkowego .

Zasada składania całki różniczkowej

Należy zwrócić uwagę na pewną sprzeczną z intuicją właściwość operatora różniczkowo-całkowego , a mianowicie na prawo składu . Chociaż

{\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {q} \ mathbb {D} ^ {-q} = \ mathbb {I}}

gdzie D ^{- q} jest lewą odwrotnością D : ^q , odwrotność niekoniecznie jest prawdziwa

{\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {- q} \ mathbb {D} ^ {q} \ neq \ mathbb {I}}

Przykład

Pouczające jest rozważenie elementarnego rachunku całkowitoliczbowego, aby zobaczyć, co się dzieje. Najpierw całkuj, a następnie różniczkuj, korzystając z przykładowej funkcji 3 x ² + 1:

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} \ lewo [ \int (3x^{2}+1)dx\right]={\frac {d}{dx}}[x^{3}+x+c]=3x^{2}+1\,,}

w sprawie wymiany kolejności składu:

{\ Displaystyle \ int \ lewo [{\ Frac {d} {dx}} (3x ^ {2} +1)\right]=\int 6x\,dx=3x^{2}+c\,,}

w którym stała całkowania wynosi c . Nawet jeśli nie było to oczywiste, można było użyć terminów inicjalizacji ƒ '(0) = c , ƒ ''(0) = d , itd. Gdybyśmy zaniedbali te warunki inicjalizacji, ostatnie równanie pokazałoby skład całkowania, a następnie różniczkowanie (i odwrotnie) nie byłoby spełnione.

Opis inicjalizacji

To jest problem z całką różnicową. Jeśli całka różniczkowa jest poprawnie zainicjowana, wtedy obowiązuje oczekiwane prawo składu. Problem polega na tym, że podczas różniczkowania tracimy informacje, tak jak straciliśmy c w pierwszym równaniu.

Jednak w rachunku ułamkowym, ponieważ operator został podzielony na części, a zatem jest ciągły, potrzebna jest cała funkcja uzupełniająca , a nie tylko stała lub zestaw stałych. Tę funkcję komplementarną nazywamy ${\ displaystyle \ Psi}$ .

{\ Displaystyle \ mathbb {D} _ {t} ^ {q} f (t) = {\ Frac {1} {\ Gamma (nq)}} {\ Frac {d ^ {n}} {dt ^ {n }}}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{nq-1}f(\tau )\,d\tau +\Psi (x)}

Praca z poprawnie zainicjowaną całką różnicową jest przedmiotem zainicjowanego rachunku ułamkowego.

Zobacz też

Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (2000), Zainicjowany rachunek ułamkowy (PDF) , NASA (raport techniczny).