Transformacja sekwencji

W matematyce transformacja sekwencji to operator działający na danej przestrzeni sekwencji ( przestrzeń sekwencji ). Transformacje sekwencji obejmują odwzorowania liniowe , takie jak splot z inną sekwencją i wznowienie sekwencji, a bardziej ogólnie są powszechnie stosowane do przyspieszania szeregów , to znaczy do poprawy szybkości zbieżności wolno zbieżnej sekwencji lub szeregu . Transformacje sekwencji są również powszechnie używane do numerycznego obliczania antylimitu rozbieżnych szeregów i są używane w połączeniu z metodami ekstrapolacji .

Przegląd

Klasyczne przykłady transformacji sekwencji obejmują transformację dwumianową , transformację Möbiusa , transformację Stirlinga i inne.

Definicje

Dla danej sekwencji

{\ Displaystyle S = \ {s_ {n} \} _ {n \ w \ mathbb {N}}, \,}

przekształcona sekwencja jest

{\ Displaystyle \ mathbf {T} (S) = S '= \ {s'_ {n} \} _ {n \ w \ mathbb { N} },\,}

gdzie elementy przekształconej sekwencji są zwykle obliczane z pewnej skończonej liczby elementów sekwencji oryginalnej, tj

{\ Displaystyle s_ {n} '= T (s_ {n}, s_ {n + 1}, \ kropki, s_ {n +k})}

dla niektórych ${\ displaystyle n}$ które często zależą od $($ por. np. Transformacja dwumianowa ). W najprostszym przypadku i ${\ displaystyle s_$ { $n}$ } są lub zespolonymi Mówiąc bardziej ogólnie, mogą to być elementy jakiejś przestrzeni wektorowej lub algebry .

W kontekście przyspieszenia zbieżności mówi się, że przekształcona sekwencja zbiega się szybciej niż oryginalna sekwencja if

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {s'_ {n} - \ ell} {s_ {n} - \ ell} }=0}

gdzie $granicą$ $.$ się , że jest zbieżna W takim przypadku uzyskuje się przyspieszenie konwergencji . Jeśli oryginalna sekwencja jest $rozbieżna$ , transformacja sekwencji działa jako metoda ekstrapolacji do .

Jeśli odwzorowanie jest liniowe w każdym ze swoich argumentów, tj. ${\ displaystyle T}$

{\ Displaystyle s'_ {n} = \ suma _ {m = 0} ^ {k} c_ {m} s_ {n + m}}

dla niektórych stałych (które mogą zależeć od ${0}, \ kropki, c_ {$ ) transformacja sekwencji nazywana jest liniową ${\ Displaystyle \ mathbf {T}} do k {\ Displaystyle$ transformacja sekwencji . Transformacje sekwencji, które nie są liniowe, nazywane są transformacjami sekwencji nieliniowych.

Przykłady

) transformacji $odp .$ wszystkich elementów ( jeśli k <0 dla ustalonego k i skalarne mnożenie sekwencji.

Mniej trywialnym przykładem byłby dyskretny splot ze stałą sekwencją. Szczególnie podstawową $z$ różnicy i jest dyskretnym analogiem Transformacja dwumianowa to kolejna transformacja liniowa jeszcze bardziej ogólnego typu.

Przykładem nieliniowej transformacji sekwencji jest proces delta-kwadrat Aitkena , używany do poprawy szybkości zbieżności wolno zbieżnej sekwencji. Rozszerzoną formą tego jest transformacja Shanksa . Transformata Möbiusa jest również transformacją nieliniową, możliwą tylko dla sekwencji całkowitych .

Zobacz też

Hugh J. Hamilton, „ Twierdzenie Mertensa i transformacje sekwencji ”, AMS (1947)

Linki zewnętrzne

Transformacje ciągów całkowitych , podstrona Encyklopedii on-line ciągów całkowitych