Podstawowe szeregi hipergeometryczne

W matematyce podstawowe szeregi hipergeometryczne lub q -szeregi hipergeometryczne są q -analogowymi uogólnieniami uogólnionych szeregów hipergeometrycznych , które z kolei są uogólniane przez eliptyczne szeregi hipergeometryczne . Szereg x _n nazywamy hipergeometrycznym, jeśli stosunek kolejnych wyrazów x _{n +1} / x _n jest funkcją wymierną n . Jeżeli stosunek kolejnych wyrazów jest funkcją wymierną q ⁿ , to szereg nazywamy podstawowym szeregiem hipergeometrycznym. Liczbę q nazywamy bazą.

Podstawowy szereg hipergeometryczny ${\ Displaystyle {} _ {2} \ phi _ {1} (q ^ {\ alfa}, q ^ {\ beta} ;q^{\gamma};q,x)}$ został po raz pierwszy rozważony przez Eduarda Heinego ( 1846 ). ${$ szeregiem hipergeometrycznym $Displaystyle$ granicy, gdy }

Definicja

Istnieją dwie formy podstawowych szeregów hipergeometrycznych, jednostronny podstawowy szereg hipergeometryczny φ i bardziej ogólny dwustronny podstawowy szereg hipergeometryczny ψ. Jednostronny podstawowy szereg hipergeometryczny definiuje się jako

${\ Displaystyle \; _ {j} \ phi _ {k} \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} a_ {1} & a_ {2} & \ ldots & a_ {j} \ \b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{ 1},a_{2},\ldots,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots,b_{k},q;q)_{n }}}\lewo((-1)^{n}q^{n \wybierz 2}\prawo)^{1+kj}z^{n}}$

Gdzie

${\ Displaystyle (a_ {1}, a_ {2 },\ldots,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q )_{N}}$

I

${ \displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq ^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

jest silnią z przesunięciem q . Najważniejszym przypadkiem szczególnym jest sytuacja, gdy j = k + 1, kiedy staje się

${\ Displaystyle \; _ {k + 1} \ phi _ {k} \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} a_ {1} i a_ {2} i \ ldots & a_ {k} i a_ {k + 1} \\ b_ {1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(a_{1} ,a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n }}}z^{n}.}$

Ten szereg nazywamy zrównoważonym , jeśli a ₁ ... a _{k + 1} = b ₁ ... b _k q . Ten szereg nazywamy dobrze ustawionym , jeśli a ₁ q = a ₂ b ₁ = ... = a _{k + 1} b _k , i bardzo dobrze ustawionym , jeśli dodatkowo a ₂ = − a ₃ = qa ₁ ^1/2 . Od tego czasu jednostronny podstawowy szereg hipergeometryczny jest q-analogiem szeregu hipergeometrycznego

${\ Displaystyle \ lim _ {q \ do 1} \; _ {j} \ phi _ {k} \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} q ^ {a_ {1}} & q ^ {a_ {2} }&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{macierz}};q, (q-1)^{1+kj}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldokropki &a_{j} \\b_{1}&b_{2}&\ldokropki &b_{k}\end{macierz}};z\right]}$

posiada ( Koekoek i Swarttouw (1996) ). Dwustronny podstawowy szereg hipergeometryczny , odpowiadający dwustronnemu szeregowi hipergeometrycznemu , jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle \; _ {j} \ psi _ {k} \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} a_ {1} & a_ {2} & \ ldots & a_ {j} \\ b_ {1} & b_ {2} & \ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty}^{\infty}{\frac {(a_{1},a_{2}, \ldots,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots,b_{k};q)_{n}}}\left((-1) ^{n}q^{n \wybierz 2}\right)^{kj}z^{n}.}$

Najważniejszym przypadkiem szczególnym jest sytuacja, gdy j = k , kiedy staje się

${\ Displaystyle \; _ {k} \ psi _ {k} \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} a_ {1} & a_ {2} & \ ldots & a_ {k} \\ b_ {1} & b_ {2} & \ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty}^{\infty}{\frac {(a_{1},a_{2}, \ldots,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.}$

Szereg jednostronny można otrzymać jako szczególny przypadek dwustronnego, ustawiając jedną ze zmiennych b na q , przynajmniej wtedy, gdy żadna ze zmiennych a nie jest potęgą q , ponieważ wszystkie wyrazy z n <0 znikają.

Prosta seria

Niektóre proste wyrażenia szeregowe obejmują

${\ Displaystyle {\ Frac {z} {1-q}} \; _ {2} \ phi _ { 1}\left[{\begin{macierz}q\;q\\q^{2}\end{macierz}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}} +{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }$

I

${z} {1-q ^ {1/2 }}}\;_{2}\phi_{1}\left[{\begin{macierz}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{macierz}}\ ;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}} +{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots}$

I

${\ Displaystyle \; _ {2} \ phi _ {1} \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} q \; -1 \\ - q \ koniec {macierz}} \;; q, z \ prawej] = 1 +{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^ {3}}}+\ldkropki .}$

Twierdzenie q -dwumianowe

Twierdzenie q -dwumianowe (po raz pierwszy opublikowane w 1811 r. przez Heinricha Augusta Rothe'a ) stwierdza, że

${\ Displaystyle \; _ {1} \ phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}}=\prod _{n=0}^ {\infty}{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}}$

co następuje przez wielokrotne stosowanie tożsamości

${\ Displaystyle \; _ {1} \ phi _ {0} (a; q, z) = {\ Frac {1-az} {1-z}} \; _ {1} \ phi _ {0} ( a;q,qz).}$

Szczególny przypadek a = 0 jest ściśle powiązany z q-wykładniczym .

Twierdzenie dwumianowe Cauchy'ego

Twierdzenie dwumianowe Cauchy'ego jest szczególnym przypadkiem twierdzenia q-dwumianowego.

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0 }^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1 }^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad (|q|<1)}$

tożsamość Ramanujana

Srinivasa Ramanujan podał tożsamość

${\ Displaystyle \; _ {1} \ psi _ {1} \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} a \\ b \ koniec {macierz}}; q, z \ prawo]=\sum _{n=-\infty }^{\infty}{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}= {\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty}}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty}}}}$

ważne dla | q | < 1 i | b / a | < | z | < 1. $tożsamości$ dla zostały podane przez Takie tożsamości można rozumieć jako uogólnienia twierdzenia o potrójnym produkcie Jacobiego , które można zapisać za pomocą serii q jako

${\ Displaystyle \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {n (n + 1)/2} z ^ {n} = (q; q) _ {\ infty} \; (- 1/z;q)_{\infty}\;(-zq;q)_{\infty}.}$

Ken Ono podaje powiązany formalny szereg mocy

${\ Displaystyle A (z; q) {\ stackrel {\ rm {def}}} {=}} {\ Frac {1} {1 + z}} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\suma _{n=0}^{\infty}(-1)^{ n}z^{2n}q^{n^{2}}.}$

Całka konturowa Watsona

Jako analogię całki Barnesa dla szeregu hipergeometrycznego pokazał to Watson

${\ Displaystyle {} _ {2} \ phi _ {1} (a, b; c; q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty}}{(q,c;q)_{\infty}} }\int _{-i\infty }^{i\infty}}{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty}}{(aq^{s},bq ^{s};q)_ {\infty}}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds}$

$_$ bieguny _ bieguny leżą po prawej stronie. Istnieje podobna całka po konturze dla _{r +1} φ _r . Ta całka konturowa daje analityczną kontynuację podstawowej funkcji hipergeometrycznej w z .

Wersja Matrixa

Podstawową funkcję macierzy hipergeometrycznej można zdefiniować w następujący sposób:

${\ Displaystyle {} _ {2} \ phi _ {1} (A, B; C; q, z): = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(A; q) _{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{ 0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}).}$

Test ilorazowy pokazuje, że ta funkcja macierzowa jest bezwzględnie zbieżna.

Zobacz też

• Tożsamość Dixona
• Tożsamości Rogersa-Ramanujana

Linki zewnętrzne

• Wolfram Mathworld - funkcje q-hipergeometryczne .

•    Andrews, GE (2010), „q-funkcje hipergeometryczne i pokrewne” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
• WN Bailey, Generalized Hypergeometric Series , (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, nr 32, Cambridge University Press, Cambridge.
• William YC Chen i Amy Fu, Formy półskończone dwustronnych podstawowych serii hipergeometrycznych (2004)
•       Exton , H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications , Nowy Jork: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
• Sylvie Corteel i Jeremy Lovejoy, Podziały Frobeniusa i kombinatoryka podsumowania Ramanujana $psi _ {1}}$ \
•    Dobra, Nathan J. (1988), Podstawowe serie i zastosowania hipergeometryczne , Mathematical Surveys and Monografie, tom. 27, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-1524-3 , MR 0956465
•    Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Podstawowe serie hipergeometryczne , Encyklopedia matematyki i jej zastosowań, tom. 96 (wyd. 2), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8 , MR 2128719
• Heine, Eduard (1846), "Über die Reihe ${\ Displaystyle 1 + {\frac {(q^{\alpha}-1)(q^{\beta}-1)}{(q-1)(q^{\gamma}-1)}}x+{\frac {(q ^{\alfa }-1)(q^{\alfa +1}-1)(q^{\beta }-1)(q^{\beta +1}-1)}{(q-1)( q^{2}-1)(q^{\gamma }-1)(q^{\gamma +1}-1)}}x^{2}+\cdots }$ " , Journal for die reine und angewandte Mathematik , 32 : 210–212
• Victor Kac , Pokman Cheung, rachunek kwantowy   , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
• Koekoek, Roelof; Swarttouw, Rene F. (1996). Schemat Askeya wielomianów ortogonalnych i jego q-analogów (raport). Politechnika Delft. NIE. 98-17. . Sekcja 0.2
• Andrews, GE, Askey, R. i Roy, R. (1999). Funkcje specjalne, Encyklopedia matematyki i jej zastosowań, tom 71, Cambridge University Press .
• Eduard Heine , Theorie der Kugelfunctionen , (1878) 1 , s. 97–125.
• Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.