q -wykładniczy

Nie mylić z q-wykładniczym Tsallisa .

W matematyce kombinatorycznej q , -wykładniczy jest q -analogiem funkcji wykładniczej a mianowicie funkcją własną q - pochodnej. Istnieje wiele q , na przykład klasyczna pochodna q , operator Askeya-Wilsona itp. Dlatego w przeciwieństwie do klasycznych wykładniczych wykładniczych q nie są unikalne. Na przykład mi ${\ mathcal {E}} _ {q}$$( z )$ Displaystyle ( ) } są własnymi operatory Askeya-Wilsona.

Definicja

q -wykładniczy mi ${\ Displaystyle e_ {q} (z)}$ jest jako

${\ Displaystyle e_ {q} (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^ {n}} {[n]_{q}!}}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {z^{n}(1-q)^{n}}{(q;q) _{n}}}=\suma _{n=0}^{\infty}z^{n}{\frac {(1-q)^{n}}{(1-q^{n})( 1-q^{n-1})\cdots (1-q)}}}$

gdzie ${\ Displaystyle [n]! _ {q}}$ jest silnią q i

${\ Displaystyle (q; q) _ {n} = (1-q ^ {n}) ( 1-q^{n-1})\cdots (1-q)}$

jest symbolem q -Pochhammera . Z własności wynika, że ​​jest to q -analog potęgi wykładniczej

$\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {d} {dz}} \ prawej) _ {q} e_ {q} (z) = e_ { q}(z)}$

gdzie pochodna po lewej stronie to pochodna q . Powyższe można łatwo zweryfikować, biorąc pod uwagę q -pochodną jednomianu

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {d} {dz}} \ prawo) _ {q} z ^ {n} = z ^ {n-1} {\ frac {1-q ^ {n}} {1 -q}}=[n]_{q}z^{n-1}.}$

Tutaj ${\ Displaystyle [n] _ {q}}$ to nawias q . Inne definicje funkcji q można znaleźć w: Exton (1983) , Ismail i Zhang (1994) , Suslov (2003) i Cieśliński (2011) .

Nieruchomości

$\ displaystyle$ rzeczywistości funkcja $e_ {q} (z)}$ jest całą funkcją q $\ displaystyle q> 1$ . $Displaystyle q <1}$${\ Displaystyle e_ {q} (z)}$ , mi jest regularne na dysku ${\ Displaystyle | z | <1 / (1-q)}$ .

Zwróć uwagę na odwrotność, ${\ Displaystyle ~ e_ {q} (z) ~ e_ {1/q} (- z) = 1}$ .

Formuła dodatku

Analogia ${\ Displaystyle \ exp (x) \ exp (y) = \ exp (x + y)}$ nie obowiązuje dla liczb rzeczywistych ${\ displaystyle x}$ i ${\ displaystyle y}$ . jednak $mi$ relację ${\ Displaystyle e_ {q} (x) e_ {q} (y) = e_ {q} (x + y)}$ jest prawdziwe.

Relacje

Dla ${\ Displaystyle -1 <q <1}$ , ściśle powiązaną funkcją jest ${\ Displaystyle E_ {q} (z).}$ Jest to szczególny przypadek podstawowego szeregu hipergeometrycznego ,

${\ Displaystyle E_ {q} (z) = \; _ {1} \ phi _ {1} \ lewo ({\ scriptstyle {0 \ na górze 0}} \,; \, z \ prawej) = \ suma _ { n=0}^{\infty}{\frac {q^{\binom {n}{2}}(-z)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _ {n=0}^{\infty}(1-q^{n}z)=(z;q)_{\infty}.}$

Wyraźnie,

${\ Displaystyle \ lim _ {q \ do 1} E_ {q} \ lewo (z (1-q) \ prawej) = \ lim _ {q \ do 1} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}(-z)^{n}=e^ {-z}.~}$

Relacja z Dilogarytmem

${\ Displaystyle e_ {q} (x)}$ ma następującą nieskończoną reprezentację iloczynu:

${\ Displaystyle e_ {q} (x) = \ lewo (\ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {k} (1-q) x) \ prawo) ^ {-1} .}$

Z drugiej strony ${\ Displaystyle \ log (1-x) = - \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {x^{n}}{n}}}$ trzyma. kiedy ${\ displaystyle | q| <1}$ ,

${\ Displaystyle \ log e_ {q} (x) = - \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} \ log (1-q ^ {k} (1-q) x) = \ suma _ {k =0}^{\infty }\suma _{n=1}^{\infty}{\frac {(q^{k}(1-q)x)^{n}}{n}}=\suma _{n=1}^{\infty}{\frac {((1-q)x)^{n}}{(1-q^{n})n}}={\frac {1}{1 -q}}\suma _{n=1}^{\infty}{\frac {((1-q)x)^{n}}{[n]_{q}n}}.}$

Biorąc granicę ${\ displaystyle q \ do 1}$ ,

${\ Displaystyle \ lim _ {q \ do 1} (1-q) \ log e_ {q}(x/(1-q))=\mathrm {Li} _{2}(x),}$

gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (x)}$ jest dilogarytmem .

w fizyce

Główny artykuł: Dilogarytm kwantowy

Funkcja Q-wykładnicza jest również znana jako dylogarytm kwantowy .

•   Cieśliński, Jan L. (2011). „Ulepszone funkcje q-wykładnicze i q-trygonometryczne” . Litery z matematyki stosowanej . 24 (12): 2110–2114. doi : 10.1016/j.aml.2011.06.009 . S2CID 205496812 .
•   Exton, Harold (1983). q-Funkcje i zastosowania hipergeometryczne . Nowy Jork: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood. ISBN 0853124914 .
•   Gasper, George ; Rahman, Mizan Rahman (2004). Podstawowe serie hipergeometryczne . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0521833574 .
•   Ismail, Mourad EH (2005). Klasyczne i kwantowe wielomiany ortogonalne w jednej zmiennej . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. doi : 10.1017/CBO9781107325982 . ISBN 9780521782012 .
• Ismail, Mourad EH ; Zhang, Ruiming (1994). „Diagonalizacja niektórych operatorów całkowych” . Postępy w matematyce . 108 (1): 1–33. doi : 10.1006/aima.1994.1077 .
• Ismail, Mourad EH ; Rahman, Mizan ; Zhang, Ruiming (1996). „Diagonalizacja niektórych operatorów całkowych II” . Journal of Computational and Applied Mathematics . 68 (1–2): 163–196. doi : 10.1016/0377-0427(95)00263-4 .
•   Jackson, FH (1909). „O funkcjach q i pewnym operatorze różnicowym”. Transakcje Towarzystwa Królewskiego w Edynburgu . 46 (2): 253–281. doi : 10.1017/S0080456800002751 . S2CID 123927312 .