Dilogarytm kwantowy

W matematyce dilogarytm kwantowy jest specjalną funkcją określoną wzorem

${\ Displaystyle \ phi (x) \ równoważnik (x; q) _ {\ infty} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} (1-xq ^ {n}), \ quad | q |<1}$

Jest to to samo, co funkcja q -wykładnicza ${\ Displaystyle E_ {q} (x)}$ .

Niech ${\ displaystyle u, v}$ będzie „ q -zmiennymi dojeżdżającymi do pracy”, czyli elementami odpowiedniej nieprzemiennej algebry spełniającej relację Weyla ${\ displaystyle uv = qvu}$ . Wtedy kwantowy dilogarytm spełnia tożsamość Schützenbergera

${\ Displaystyle \ phi (u) \ phi (v) = \ phi (u + v)}$

Tożsamość Faddeeva-Volkova

${\ Displaystyle \ phi (v) \ phi (u) = \ phi (u + v-vu)}$

i tożsamość Faddeeva-Kashaeva

${\ Displaystyle \ phi (v) \ phi (u) = \ phi (u) \ phi (-vu) \ phi (v).}$

Wiadomo, że to ostatnie jest kwantowym uogólnieniem pięcioczłonowej tożsamości dylogarytmu Rogersa.

Dilogarytm kwantowy Faddeeva jest zdefiniowany następującym wzorem: ${\ Displaystyle \ Phi _ {b} (w)}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {b} (z) = \exp \left({\frac {1}{4}}\int _{C}{\frac {e^{-2izw}}{\sinh(wb)\sinh(w/b)}}{\frac {dw}{w}}\prawo),}$

gdzie kontur całkowania $biegnie$ wzdłuż rzeczywistej osi poza niewielkim sąsiedztwem początku i odchyla się do górnej półpłaszczyzny w początku. Tę samą funkcję można opisać całkową formułą Woronowicza:

${\ Displaystyle \ Phi _ {b} (x) = \ exp \ lewo ({\ Frac {i} {2 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R}}} {\ Frac {\ log (1 + e ^{tb^{2}+2\pi bx})}{1+e^{t}}}\,dt\prawo).}$

Ludvig Faddeev odkrył kwantową tożsamość pięciokąta:

${\ Displaystyle \ Phi _ {b} ({\ kapelusz {p }})\Phi _{b}({\kapelusz {q}})=\Phi _{b}({\kapelusz {q}})\Phi _{b}({\kapelusz {p}}+{ \kapelusz {q}})\Phi _{b}({\kapelusz {p}}),}$

gdzie $położenia$ są $) kwantowo-mechanicznymi operatorami pędu$ znormalizowanymi komutacji Heisenberga

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {p}}, {\ kapelusz {q}}] = {\ Frac {1} {2 \ pi i}}}$

i relacja inwersji

${\ Displaystyle \ Phi _ {b} (x) \ Phi _ {b} (-x) = \ Phi _ {b} (0) ^ {2} e ^ {\ pi ix ^ {2}}, \ quad \Phi _{b}(0)=e^{{\frac {\pi i}{24}}\left(b^{2}+b^{-2}\right)}.}$

Dilogarytm kwantowy znajduje zastosowanie w fizyce matematycznej , topologii kwantowej , teorii algebry skupień .

Dokładny związek między q -wykładniczym a wyraża się równością ${\ displaystyle \ Phi _ {b}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {b} (z) = {\ Frac {E_ {e ^ {2 \ pi ib ^ {2}}} (-e ^ {\ pi ib ^ {2} + 2 \ pi zb} )}{E_{e^{-2\pi i/b^{2}}}(-e^{-\pi i/b^{2}+2\pi z/b})}},}$

ważne dla ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} b ^ {2}> 0}$ .

• Faddeev, LD (1994). „Zmienne podobne do prądu w modelach całkowalnych masywnych i bezmasowych”. arXiv : hep-th/9408041 .
•   Faddeev, LD (1995). „Dyskretna grupa Heisenberga-Weyla i grupa modułowa”. Litery z fizyki matematycznej . 34 (3): 249–254. arXiv : hep-th/9504111 . Bibcode : 1995LMaPh..34..249F . doi : 10.1007/BF01872779 . MR 1345554 .
•   Faddeev, LD; Kaszajew, RM (1994). „Dilogarytm kwantowy”. Współczesne litery fizyki A. 9 (5): 427–434. arXiv : hep-th/9310070 . Bibcode : 1994MPLA....9..427F . doi : 10.1142/S0217732394000447 . MR 1264393 .

• Faddeev, LD; Wołkow, A. Yu. (1993). „Algebra prądu abelowego i algebra Virasoro na siatce”. Fizyka Litery B. 315 (3–4): 311–318. arXiv : hep-th/9307048 . Bibcode : 1993PhLB..315..311F . doi : 10.1016/0370-2693(93)91618-W .

• Kiriłłow, AN (1995). „Tożsamości dilogarytmów”. Postęp dodatku do fizyki teoretycznej . 118 : 61–142. arXiv : hep-th/9408113 .   Bibcode : 1995PThPS.118...61K . doi : 10.1143/PTPS.118.61 . MR 1356515 .

• Schützenberger, poseł (1953). „Une interprétation de surees solutions de l'équation fonctionnelle: F (x + y) = F (x) F (y)”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris . 236 : 352–353.

• Woronowicz, SL (2000). „Kwantowa funkcja wykładnicza”. Recenzje w fizyce matematycznej . 12 (6): 873–920. Kod bibliograficzny :   2000RvMaP..12..873W . doi : 10.1142/S0129055X00000344 . MR 1770545 .

Linki zewnętrzne

• dilogarytm kwantowy w n Lab