Henryka Augusta Rotha

Nie mylić z Erichem Rothe .

Heinrich August Rothe (1773-1842) był niemieckim matematykiem, profesorem matematyki w Erlangen . Był uczniem Carla Hindenburga i członkiem jego szkoły kombinatoryki .

Biografia

Rothe urodził się w 1773 r. w Dreźnie , aw 1793 r. został docentem uniwersytetu w Lipsku . Został profesorem nadzwyczajnym w Lipsku w 1796 r., aw 1804 r. przeniósł się do Erlangen jako profesor zwyczajny, obejmując katedrę, którą wcześniej piastował Karl Christian von Langsdorf . Zmarł w 1842 r., a jego stanowisko w Erlangen objął z kolei Johann Wilhelm Pfaff, brat bardziej znanego matematyka Johanna Friedricha Pfaffa .

Badania

Tożsamość Rothe-Hagena , formuła sumowania współczynników dwumianowych , pojawiła się w tezie Rothe'a z 1793 r. Został nazwany na cześć niego i późniejszej pracy Johanna Georga Hagena . Ta sama praca zawierała również wzór na obliczenie szeregu Taylora funkcji odwrotnej z szeregu Taylora dla samej funkcji, związanej z twierdzeniem o inwersji Lagrange'a .

W badaniu permutacji Rothe jako pierwszy zdefiniował odwrotność permutacji w 1800 r. Opracował technikę wizualizacji permutacji znaną obecnie jako diagram Rothe'a , kwadratową tabelę z kropką w każdej komórce ( i , j ) dla której permutacja odwzorowuje pozycję i na pozycję j oraz krzyżyk w każdej komórce ( i , j ) dla których jest kropka później w wierszu i i kolejna kropka później w kolumnie j . Za pomocą diagramów Rothe'a wykazał, że liczba inwersje w permutacji są takie same jak w jej odwrotności, ponieważ permutacja odwrotna ma za swój diagram transpozycję pierwotnego diagramu, a inwersje obu permutacji są zaznaczone krzyżykami. Rothe wykorzystał ten fakt, aby pokazać, że wyznacznik macierzy jest taki sam, jak wyznacznik transpozycji: jeśli rozwinie się wyznacznik jako wielomian , każdy wyraz odpowiada permutacji, a znak wyrazu jest określony przez parzystość swojej liczby inwersji. Ponieważ każdy wyraz wyznacznika transpozycji odpowiada wyrazowi pierwotnej macierzy z odwrotną permutacją i taką samą liczbą inwersji, ma on ten sam znak, a więc oba wyznaczniki są również takie same.

W swojej pracy na temat permutacji z 1800 r. Rothe był również pierwszym, który rozważał permutacje będące inwolucjami ; to znaczy, że są swoją własną odwrotnością lub równoważnie mają symetryczne diagramy Rothe'a. Znalazł zależność rekurencyjną

${\ Displaystyle T (n) = T (n-1) + (n-1) T (n-2)}$

do zliczania tych permutacji, która zlicza również liczbę tablic Younga i której rozwiązaniem są numery telefonów

1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (sekwencja A000085 w OEIS ).

Rothe był także pierwszym, który sformułował twierdzenie q -dwumianowe , q -analog twierdzenia dwumianowego , w publikacji z 1811 roku.

Wybrane publikacje

• Formuły De Serierum Reversione Demonstratio Universalis Signis Localibus Combinatorio-Analyticorum Vicariis Exhibita: Dissertatio Academica , Lipsk, 1793.
• " Ueber Permutationen, in Beziehung auf die Stellen ihrer Elemente. Anwendung der daraus abgeleiteten Satze auf das Eliminationsproblem ". W Hindenburg, Carl , red., Sammlung Combinatorisch-Analytischer Abhandlungen , s. 263–305, Bey G. Fleischer dem jüngern, 1800.
• Systematisches Lehrbuch der Arithmetik , Lipsk, 1811