Dwustronne serie hipergeometryczne

W matematyce dwustronny szereg hipergeometryczny to szereg Σ a _n zsumowany po wszystkich liczbach całkowitych n i taki, że stosunek

za _n / za _{n +1}

z dwóch wyrazów jest funkcją wymierną n . Definicja uogólnionego szeregu hipergeometrycznego jest podobna, z tym wyjątkiem, że wyrazy z ujemnym n muszą zniknąć; szereg dwustronny będzie na ogół miał nieskończoną liczbę wyrazów niezerowych zarówno dla dodatniego, jak i ujemnego n .

Dwustronny szereg hipergeometryczny nie jest zbieżny dla większości funkcji wymiernych, chociaż można go analitycznie kontynuować do funkcji zdefiniowanej dla większości funkcji wymiernych. Istnieje kilka formuł sumowania podających jego wartości dla wartości specjalnych, w których jest zbieżny.

Definicja

Dwustronny szereg hipergeometryczny _p H _p jest określony przez

${\ Displaystyle {} _ {p} H_ {p} (a_ {1}, \ldots,a_{p};b_{1},\ldots,b_{p};z)={}_{p}H_{p}\left({\begin{matrix}a_{1}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&\ldots &b_{p}\\\end{macierz}};z\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty}{\frac { (a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\ldots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2}) _{n}\ldots (b_{p})_{n}}}z^{n}}$

Gdzie

${\ Displaystyle (a) _ {n} = a (a + 1) (a + 2) \ cdots (a +n-1)\,}$

jest wznoszącą silnią lub symbolem Pochhammera .

Zwykle przyjmuje się, że zmienna z ma wartość 1 iw takim przypadku jest pomijana w zapisie. Możliwe jest zdefiniowanie szeregu _p H _q z różnymi p i q w podobny sposób, ale to albo nie jest zbieżne, albo można je sprowadzić do zwykłego szeregu hipergeometrycznego przez zmiany zmiennych.

Konwergencja i kontynuacja analityczna

Załóżmy, że żadna ze zmiennych a lub b nie jest liczbą całkowitą, więc wszystkie wyrazy szeregu są skończone i niezerowe. Wtedy wyrazy z n <0 są rozbieżne, jeśli | z | <1, a wyrazy z n > 0 są rozbieżne, jeśli | z | >1, więc szereg nie może być zbieżny, chyba że | z |=1. kiedy | z |=1, szereg jest zbieżny, jeśli

${\ Displaystyle \ Re (b_ {1} + \ cdots b_ {n} -a_ {1} - \ cdots -a_ {n} )>1.}$

Dwustronny szereg hipergeometryczny można analitycznie kontynuować do wielowartościowej funkcji meromorficznej kilku zmiennych, których osobliwościami są punkty rozgałęzienia przy z = 0 i z = 1 oraz proste bieguny przy a _i = −1, −2, ... i b _i = 0 , 1, 2, ... Można to zrobić w następujący sposób. Załóżmy, że żadna ze a lub b nie jest liczbą całkowitą. Wyrazy z n zbiegają się dla | z | <1 do funkcji spełniającej niejednorodne równanie liniowe z osobliwościami w z = 0 i z = 1, więc można kontynuować do funkcji wielowartościowej z tymi punktami jako punktami rozgałęzienia. Podobnie wyrazy z n ujemnym zbiegają się dla | z | > 1 do funkcji spełniającej niejednorodne równanie liniowe z osobliwościami w z = 0 i z = 1, więc można również kontynuować do funkcji wielowartościowej z tymi punktami jako punktami rozgałęzienia. Suma tych funkcji daje analityczną kontynuację dwustronnego szeregu hipergeometrycznego do wszystkich wartości z innych niż 0 i 1 i spełnia liniowe równanie różniczkowe w z podobne do hipergeometrycznego równania różniczkowego.

Formuły sumujące

Dwustronna suma Dougalla

$\ Displaystyle {} _ {2}H_{2}(a,b;c,d;1)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}}{\frac {(a)_{n}(b)_{ n}}{(c)_{n}(d)_{n}}}={\frac {\Gamma (d)\Gamma (c)\Gamma (1-a)\Gamma (1-b)\ Gamma (c+dab-1)}{\Gamma (ca)\Gamma (cb)\Gamma (da)\Gamma (db)}}}$

( Dougall 1907 )

Czasami jest to zapisywane w równoważnej formie

${\ Displaystyle \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {\ Gamma (a + n) \ Gamma (b + n)}} {\ Gamma (c + n) \ Gamma (d + n)}}={\frac {\pi ^{2}}{\sin(\pi a)\sin(\pi b)}}{\frac {\Gamma (c+dab-1)}{\Gamma (ca)\Gamma (da)\Gamma (cb)\Gamma (db)}}.}$

Formuła Baileya

( Bailey 1959 ) podał następujące uogólnienie wzoru Dougalla:

${\ Displaystyle {} _ {3} H_ {3} (a, b, f + 1; d, e, f; 1) = \ suma _ {n = - \ infty }^{\infty}{\frac {(a)_{n}(b)_{n}(f+1)_{n}}{(d)_{n}(e)_{n} (f)_ {n}}} = \ lambda {\ frac {\ Gamma (d) \ Gamma (e) \ Gamma (1-a) \ Gamma (1-b) \ Gamma (d + eab-2)} {\Gamma (da)\Gamma (db)\Gamma (ea)\Gamma (eb)}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ lambda = f ^ {- 1} \ lewo [(fa) (fb) - (1 + fd) (1 + fe) \ prawo].}$

Zobacz też

• Podstawowe bilateralne szeregi hipergeometryczne

•    Bailey, WN (1959), „O sumie określonego dwustronnego szeregu hipergeometrycznego ₃ H ₃ ”, The Quarterly Journal of Mathematics , Second Series, 10 : 92–94, doi : 10.1093/qmath/10.1.92 , ISSN 0033- 5606 , MR 0107727
• Dougall, J. (1907), „O twierdzeniu Vandermonde'a i niektórych bardziej ogólnych rozszerzeniach”, Proc. Matematyka w Edynburgu. soc. , 25 : 114–132, doi : 10.1017/S0013091500033642
•     Slater, Lucy Joan (1966), Uogólnione funkcje hipergeometryczne , Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press, ISBN 0-521-06483-X , MR 0201688 (jest wydanie w miękkiej oprawie z 2008 r. z ISBN 978-0-521-09061-2 )