Czwórka pitagorejska

Wszystkie cztery prymitywne czwórki pitagorejskie z wartościami tylko jednocyfrowymi

Czwórka pitagorejska to krotka liczb całkowitych a , b , c i d , taka że a ² + b ² + c ² = d ² . Są to rozwiązania równania diofantycznego i często brane są pod uwagę tylko dodatnie wartości całkowite. Jednak, aby zapewnić pełniejszą interpretację geometryczną, wartości całkowite mogą być ujemne i zerowe (pozwalając w ten sposób na pitagorejskie trójki do uwzględnienia) z jedynym warunkiem, że d > 0 . W tym ustawieniu poczwórna pitagorejska ( a , b , c , d ) definiuje prostopadłościan o całkowitych długościach boków | | _ , | b | , i | c | , którego przekątna przestrzenna ma całkowitą długość d ; przy tej interpretacji poczwórne pitagorejskie są również nazywane pudełka pitagorejskie . W tym artykule założymy, o ile nie zaznaczono inaczej, że wszystkie wartości poczwórnej czwórki pitagorejskiej są dodatnimi liczbami całkowitymi.

Parametryzacja poczwórek pierwotnych

Czwórka pitagorejska nazywana jest pierwotną , jeśli jej największy wspólny dzielnik wynosi 1. Każda czwórka pitagorejska jest całkowitą wielokrotnością pierwotnej czwórki. Zbiór pierwotnych czwórek pitagorejskich, dla których a jest nieparzyste , można wygenerować za pomocą wzorów

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a & = m ^ {2} + n ^ {2} - p ^ {2} -q ^ {2}, \\ b & = 2 (mq + np), \\ c & = 2(nq-mp),\\d&=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},\end{wyrównane}}}$$

gdzie m , n , p , q są nieujemnymi liczbami całkowitymi z największym wspólnym dzielnikiem 1 takim, że m + n + p + q jest nieparzyste. Zatem wszystkie prymitywne czwórki pitagorejskie charakteryzują się tożsamością

$${\ Displaystyle (m ^ {2} + n ^ {2} + p ^ {2} + q ^ {2}) ^ {2} = (2mq + 2np) ^ {2} + (2nq-2mp) ^ { 2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.}$$

Alternatywna parametryzacja

czworaczki pitagorejskie ( w tym nie-prymitywy i powtórzenia, chociaż a , b i c nie pojawiają się we wszystkich możliwych rzędach) można wygenerować z dwóch dodatnich liczb całkowitych aib w następujący sposób:

Jeśli a i b mają różną parzystość , niech p będzie dowolnym czynnikiem a ² + b ² takim, że p ² < a ² + b ² . Wtedy c = za ² + b ² − p ² / 2 p i re = za ² + b ² + str ² / 2 str . Zauważ, że p = re − do .

Podobna metoda istnieje do generowania wszystkich czwórek pitagorejskich, dla których a i b są parzyste. Niech l = a / 2 i m = b / 2 i niech n będzie takim współczynnikiem l ² + m ² , że n ² < l ² + m ² . Wtedy c = l ² + m ² - n ² / n i re = l ² + m ² + n ² / n . Ta metoda generuje wszystkie poczwórne pitagorejskie dokładnie raz, gdy l i m przebiegają przez wszystkie pary liczb naturalnych, a n przechodzi przez wszystkie dopuszczalne wartości dla każdej pary.

Żadna taka metoda nie istnieje, jeśli zarówno a, jak i b są nieparzyste, w którym to przypadku nie istnieją żadne rozwiązania, jak widać z parametryzacji w poprzedniej sekcji.

Nieruchomości

Największą liczbą, która zawsze dzieli iloczyn abcd, jest 12. Czwórka z iloczynem minimalnym to (1, 2, 2, 3).

Związek z kwaternionami i wymiernymi macierzami ortogonalnymi

Pierwotna czwórka pitagorejska ( a , b , c , d ) sparametryzowana przez ( m , n , p , q ) odpowiada pierwszej kolumnie reprezentacji macierzowej E ( α ) koniugacji α (⋅) α przez kwaterniony Hurwitza α = m + ni + pj + qk ograniczona do podprzestrzeni kwaternionów rozpiętej przez i , j , k , która jest dana przez

$${\ Displaystyle E (\ alfa) = {\ rozpocząć {pmatrix} m ^ {2} +n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2} &2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmacierz}},}$$

gdzie kolumny są parami ortogonalne i każda ma normę d . Ponadto mamy, że 1 / re mi ( α ) należy do grupy ortogonalnej i faktycznie wszystkie macierze ortogonalne 3 × 3 ${\ Displaystyle SO (3, \ mathbb {Q})}$ z racjonalnymi współczynnikami powstają w ten sposób.

Pierwotne czwórki pitagorejskie z małą normą

Istnieje 31 pierwotnych czwórek pitagorejskich, w których wszystkie wpisy są mniejsze niż 30.

(	1	,	2	,	2	,	3	)	(	2	,	10	,	11	,	15	)	(	4	,	13	,	16	,	21	)	(	2	,	10	,	25	,	27	)
(	2	,	3	,	6	,	7	)	(	1	,	12	,	12	,	17	)	(	8	,	11	,	16	,	21	)	(	2	,	14	,	23	,	27	)
(	1	,	4	,	8	,	9	)	(	8	,	9	,	12	,	17	)	(	3	,	6	,	22	,	23	)	(	7	,	14	,	22	,	27	)
(	4	,	4	,	7	,	9	)	(	1	,	6	,	18	,	19	)	(	3	,	14	,	18	,	23	)	(	10	,	10	,	23	,	27	)
(	2	,	6	,	9	,	11	)	(	6	,	6	,	17	,	19	)	(	6	,	13	,	18	,	23	)	(	3	,	16	,	24	,	29	)
(	6	,	6	,	7	,	11	)	(	6	,	10	,	15	,	19	)	(	9	,	12	,	20	,	25	)	(	11	,	12	,	24	,	29	)
(	3	,	4	,	12	,	13	)	(	4	,	5	,	20	,	21	)	(	12	,	15	,	16	,	25	)	(	12	,	16	,	21	,	29	)
(	2	,	5	,	14	,	15	)	(	4	,	8	,	19	,	21	)	(	2	,	7	,	26	,	27	)

Zobacz też

• Przypuszczenie Beala
• Cegła Eulera
• Przypuszczenie sumy potęg Eulera
• Wzór Eulera-Rodriguesa na obroty 3D
• Sześcian Fermata
• Równanie Jacobiego-Maddena
• Twierdzenie Lagrange'a o czterech kwadratach (każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę czterech kwadratów całkowitych)
• Twierdzenie Legendre'a o trzech kwadratach (których liczb naturalnych nie można przedstawić jako sumy trzech kwadratów liczb całkowitych)
• Problem Prouheta-Tarry'ego-Escotta
• Kwaterniony i rotacja przestrzenna
• Numer taksówki

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „czwórka pitagorejska” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Tożsamość Lebesgue'a” . MathWorld .

• Carmichael. Analiza diofantyczna w Projekcie Gutenberg