Twierdzenie Legendre'a o trzech kwadratach
W matematyce twierdzenie Legendre'a o trzech kwadratach stwierdza, że liczbę naturalną można przedstawić jako sumę trzech kwadratów liczb całkowitych
wtedy i tylko wtedy, gdy n nie ma postaci dla nieujemnych liczb całkowitych a i b .
Pierwsze liczby, których nie można wyrazić jako suma trzech kwadratów (tj. Liczby, które można wyrazić jako ) to }
Historia
Pierre de Fermat podał kryterium, że liczby postaci 8 a + 1 i 8 a + 3 są sumami kwadratu plus dwa razy inny kwadrat, ale nie przedstawił dowodu. N. Beguelin zauważył w 1774 r., że każda liczba całkowita dodatnia, która nie jest ani postaci 8 n + 7, ani postaci 4 n , jest sumą trzech kwadratów, ale nie dostarczył zadowalającego dowodu. W 1796 Gauss udowodnił swoje twierdzenie Eureki , że każda dodatnia liczba całkowita n jest sumą 3 liczb trójkątnych ; jest to równoważne temu, że 8 n + 3 to suma trzech kwadratów. W 1797 lub 1798 r.-M. Legendre uzyskał pierwszy dowód swojego twierdzenia o trzech kwadratach. W 1813 roku AL Cauchy zauważył, że twierdzenie Legendre'a jest równoważne ze stwierdzeniem we wstępie powyżej. Wcześniej, w 1801 roku, CF Gauss uzyskał bardziej ogólny wynik, zawierający twierdzenie Legendre'a z lat 1797–1798 jako wniosek. W szczególności Gauss policzył liczbę rozwiązań wyrażenia liczby całkowitej jako sumę trzech kwadratów i jest to uogólnienie jeszcze jednego wyniku Legendre'a, którego dowód jest niepełny. Ten ostatni fakt wydaje się być przyczyną późniejszych błędnych twierdzeń, zgodnie z którymi dowód twierdzenia o trzech kwadratach Legendre'a był wadliwy i musiał zostać uzupełniony przez Gaussa.
Dzięki twierdzeniu Lagrange'a o czterech kwadratach i twierdzeniu Girarda, Fermata i Eulera o dwóch kwadratach problem Waringa dla k = 2 jest całkowicie rozwiązany.
Dowody
„Tylko jeśli” twierdzenia jest po prostu dlatego, że modulo 8, każdy kwadrat jest przystający do 0, 1 lub 4. Istnieje kilka dowodów odwrotności (oprócz dowodu Legendre'a). Jeden z nich pochodzi od JPGL Dirichleta w 1850 roku i stał się klasyczny. Wymaga trzech głównych lematów:
- kwadratowe prawo wzajemności ,
- Twierdzenie Dirichleta o postępach arytmetycznych , i
- klasa równoważności trywialnej trójskładnikowej formy kwadratowej .
Związek z twierdzeniem o czterech kwadratach
Twierdzenie to można wykorzystać do udowodnienia twierdzenia Lagrange'a o czterech kwadratach , które mówi, że wszystkie liczby naturalne można zapisać jako sumę czterech kwadratów. Gauss zwrócił uwagę, że twierdzenie o czterech kwadratach łatwo wynika z faktu, że każda dodatnia liczba całkowita, która wynosi 1 lub 2 mod 4, jest sumą 3 kwadratów, ponieważ każdą dodatnią liczbę całkowitą niepodzielną przez 4 można sprowadzić do tej postaci, odejmując 0 lub 1 z tego. Jednak udowodnienie twierdzenia o trzech kwadratach jest znacznie trudniejsze niż bezpośredni dowód twierdzenia o czterech kwadratach, który nie wykorzystuje twierdzenia o trzech kwadratach. Rzeczywiście, twierdzenie o czterech kwadratach zostało udowodnione wcześniej, w 1770 roku.