Twierdzenie o sumie dwóch kwadratów

W teorii liczb twierdzenie o sumie dwóch kwadratów wiąże rozkład liczb pierwszych dowolnej liczby całkowitej $n > 1$ z tym, czy można ją zapisać jako sumę dwóch kwadratów , tak że $n = a 2 + b 2$ dla niektórych liczb całkowitych $a$ , $b$ .

Liczbę całkowitą większą niż jeden można zapisać jako sumę dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozkład na liczby pierwsze nie zawiera czynnika $p k$ , gdzie liczba pierwsza ${\ Displaystyle p \ równoważnik 3 {\ pmod {4}} }$ i k jest nieparzyste .

Zapisując liczbę jako sumę dwóch kwadratów, jeden z kwadratów może być równy zero lub oba są sobie równe, więc wszystkie kwadraty i wszystkie podwojenia kwadratów są zawarte w liczbach, które mogą być reprezentowana w ten sposób. To twierdzenie uzupełnia twierdzenie Fermata o sumach dwóch kwadratów , które mówi, kiedy liczbę pierwszą można zapisać jako sumę dwóch kwadratów, ponieważ obejmuje również przypadek liczb złożonych .

Liczba może mieć wielokrotne reprezentacje jako suma dwóch kwadratów liczonych przez funkcję sumy kwadratów ; $}$ przykład każda potrójna pitagorejska daje drugą reprezentację dla za $^ {2} + b ^ {2} =$ $c ^ {2}$ poza trywialną reprezentacją ${\ Displaystyle c ^ {2} + 0 ^ {2}}$ .

Przykłady

Pierwsza dekompozycja liczby 2450 jest dana przez 2450 = 2 · 5 ² · 7 ² . Spośród liczb pierwszych występujących w tym rozkładzie, 2, 5 i 7, tylko 7 jest przystające do 3 modulo 4. Jej wykładnik w rozkładzie, 2, jest równy . Dlatego twierdzenie stwierdza, że można je wyrazić jako sumę dwóch kwadratów. Rzeczywiście, $2450 = 7 2 + 49 2$ .

Pierwszy rozkład liczby 3430 to 2 · 5 · 7 ³ . Tym razem wykładnikiem 7 w rozkładzie jest 3, liczba nieparzysta. Zatem 3430 nie może być zapisane jako suma dwóch kwadratów.

Reprezentowalne liczby

Liczby, które można przedstawić jako sumy dwóch kwadratów, tworzą ciągi całkowite

0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, ...

Tworzą zbiór wszystkich norm liczb całkowitych Gaussa ; ich pierwiastki kwadratowe tworzą zbiór wszystkich długości odcinków między parami punktów dwuwymiarowej sieci całkowitej .

Liczba reprezentowalnych liczb w zakresie od 0 do dowolnej liczby jest proporcjonalna do ${$ $Displaystyle n / {\ sqrt {\ log n}}}$ z daną stałą graniczną proporcjonalności przez stałą Landaua-Ramanujana , około 0,764.

Iloczyn dowolnych dwóch reprezentowalnych liczb jest inną reprezentowalną liczbą. Jego reprezentację można wyprowadzić z reprezentacji jej dwóch czynników, używając tożsamości Brahmagupty – Fibonacciego .

Zobacz też