Równanie Jacobiego-Maddena

Jacobiego -Maddena to równanie diofantyczne

${\ Displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4} = (a+b+c+d)^{4},}$

zaproponowane przez fizyka Lee W. Jacobiego i matematyka Daniela J. Maddena w 2008 r. Zmienne a , b , c i d mogą być dowolnymi liczbami całkowitymi , dodatnimi, ujemnymi lub 0. Jacobi i Madden wykazali, że istnieje nieskończona liczba rozwiązań tego równania ze wszystkimi zmiennymi niezerowymi.

Historia

Równanie Jacobiego – Maddena reprezentuje szczególny przypadek równania

${\ Displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4} = e ^ {4},}$

po raz pierwszy zaproponowany w 1772 roku przez Leonharda Eulera , który przypuszczał, że cztery to minimalna liczba (większa niż jeden) czwartych potęg niezerowych liczb całkowitych, które mogą sumować się do innej czwartej potęgi. Hipoteza ta, obecnie znana jako hipoteza sumy potęg Eulera , była naturalnym uogólnieniem ostatniego twierdzenia Fermata , które zostało udowodnione dla czwartej potęgi przez samego Pierre'a de Fermata .

Noam Elkies jako pierwszy znalazł nieskończoną serię rozwiązań równania Eulera z dokładnie jedną zmienną równą zeru, obalając w ten sposób hipotezę Eulera o sumie potęg dla czwartej potęgi.

Jednak do czasu publikacji Jacobiego i Maddena nie było wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania Eulera ze wszystkimi zmiennymi niezerowymi. Znana była tylko skończona liczba takich rozwiązań. Jedno z tych rozwiązań, odkryte przez Simchę Brudno w 1964 r., Dało rozwiązanie równania Jacobiego – Maddena:

${\ Displaystyle 5400 ^ {4} + 1770 ^ {4} + (-2634) ^ {4} + 955 ^ {4} = (5400 + 1770-2634 + 955) ^ {4}.}$

Zbliżać się

Jacobi i Madden zaczęli od,

${\ Displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4} = ( a+b+c+d)^{4}}$

i tożsamość,

${\ Displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + (a + b) ^ {4} = 2(a^{2}+ab+b^{2})^{2}}$

Dodanie ${\ Displaystyle (a + b) ^ {4} + (c + d) ^ {4}}$ po obu stronach równania,

${\ Displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + (a + b) ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4} + (c + d) ^ {4} = (a + b)^{4}+(c+d)^{4}+(a+b+c+d)^{4}}$

widać, że jest to specjalna trójka pitagorejska ,

${\ Displaystyle (a ^ {2} + ab + b ^ {2}) ^ {2} +(c^{2}+cd+d^{2})^{2}={\big (}(a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+ d)^{2}{\big )}^{2}={\tfrac {1}{4}}{\big (}(a+b)^{2}+(c+d)^{2} +(a+b+c+d)^{2}{\big )}^{2}}$

Następnie wykorzystali rozwiązanie Brudno i pewną krzywą eliptyczną do skonstruowania nieskończonej serii rozwiązań równania Jacobiego-Maddena.

Inne rozwiązania początkowe

Jacobi i Madden zauważyli, że inna wartość początkowa, np

${\ Displaystyle (-31764) ^ {4} + 27385 ^ {4} + 48150 ^ {4} + 7590^{4}=(-31764+27385+48150+7590)^{4}\,}$

znalezione przez Jarosława Wróblewskiego, skutkowałoby inną nieskończoną serią rozwiązań.

W sierpniu 2015 r. Seiji Tomita ogłosił dwa nowe, małe rozwiązania równania Jacobiego – Maddena:

$^ { 4}+1984340^{ 4}+(-107110)^{4}=(1229559-1022230+1984340-107110)^{4}\,,}$

${\ Displaystyle 561760 ^ {4} + 1493309 ^ {4} + 3597130 ^ {4} + (-1953890) ^ {4} = (561760 + 149 3309 +3597130-1953890)^{4}\,,}$

co prowadzi do dwóch nowych serii rozwiązań skonstruowanych metodą Jacobiego i Maddena.

Zobacz też

• Przypuszczenie Beala
• Problem Prouheta-Tarry'ego-Escotta
• Numer taksówki
• Czwórka pitagorejska
• Hipoteza Landera, Parkina i Selfridge'a
• Sumy potęg , lista powiązanych przypuszczeń i twierdzeń