Rozkład na liniowej grupie algebraicznej

W geometrii algebraicznej, biorąc pod uwagę $spełniającym$ algebraiczną G na polu k , rozkład na niej liniowym pewien warunek Splot rozkładów jest znowu rozkładem iw ten sposób tworzą one algebrę Hopfa na G , oznaczoną przez Dist( G ), która zawiera algebrę Lie Lie( G ) związaną z G . Twierdzenie Cartiera mówi, że nad polem o charakterystycznym zerze Dist( G ) jest izomorficzne z uniwersalną algebrą obwiedni algebry Liego G , a zatem konstrukcja nie dostarcza żadnych nowych informacji. W dodatnim przypadku charakterystycznym algebra może być używana jako substytut korespondencji grupy Liego – algebry Liego i jej wariantu dla grup algebraicznych w charakterystycznym zera; na przykład to podejście przyjęte w ( Jantzen 1987 ).

Budowa

Algebra Liego liniowej grupy algebraicznej

Niech k będzie ciałem algebraicznie zamkniętym, a G liniową grupą algebraiczną (czyli afiniczną grupą algebraiczną) nad k . Z definicji Lie( G ) jest algebrą Liego wszystkich pochodnych k [ G ], które dojeżdżają z lewą akcją G . Podobnie jak w przypadku grupy Liego, można ją utożsamiać z przestrzenią styczną do G w elemencie tożsamości.

Obwiednia algebry

Istnieje następująca ogólna konstrukcja algebry Hopfa. Niech A będzie algebrą Hopfa. Skończona liczba dualna A jest przestrzenią funkcjonałów liniowych na A z jądrami zawierającymi lewe ideały o skończonych współwymiarach. Konkretnie, można to postrzegać jako przestrzeń współczynników macierzy.

Grupa sprzężona algebry Liego

Rozkłady na grupie algebraicznej

Definicja

Niech X = Spec A będzie $pozostałości$ polu k i niech x _będzie restrykcyjnej polem x . $Z$ definicji rozkład f przy x ' jest - liniowym na A takim, pewnego n (Uwaga: definicja jest nadal ważna, jeśli k jest dowolnym pierścieniem).

Teraz, jeśli G jest grupą algebraiczną nad k , niech Dist( G ) będzie zbiorem wszystkich rozkładów na G wspieranych na elemencie tożsamości (często nazywanych po prostu rozkładami na G ). Jeśli f , g są w nim, definiujemy iloczyn f i g , zdegradowany przez f * g , jako funkcjonał liniowy

{\ Displaystyle k [G] {\ overset {\ Delta} {\ do}} k [G] \ otimes k [G] {\overset {f\oraz g}}{\do}}k\orazy k=k}

gdzie Δ jest komultiplikacją , czyli homomorfizmem wywołanym przez mnożenie ${\ Displaystyle G \ razy G \ do G$ . $G$ mnożenie ( stąd Dist jest algebrą asocjacyjną, ponieważ zbiór jest domknięty przez mnożenie wzorem:

(*)

{\ Displaystyle \ Delta (I_ {1} ^ {n}) \ podzbiór \ suma _ {r = 0} ^ {n} I_ {1} ^ {r} \ czasami I_ {1} ^ {nr}.}

Jest również jednością z jednością, która jest funkcjonałem liniowym ${\ Displaystyle k [G] \ to k, \ phi \ mapsto \ phi (1)}$ , delta Diraca zmierzyć .

Algebra Liego Lie( G ) znajduje się wewnątrz Dist( G ). Rzeczywiście, z definicji Lie( G ) jest przestrzenią styczną do G w elemencie tożsamości 1; tj. podwójna przestrzeń ${\ Displaystyle I_ {1}/I_ {1} ^ {2}}$ . Zatem wektor styczny sprowadza się do liniowego funkcjonału na I ₁ , który nie ma stałego wyrazu i zabija kwadrat I ₁ , a wzór (*) implikuje ${\ Displaystyle [f ,g]=f*gg*f}$ nadal jest wektorem stycznym.

Niech ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {Kłamstwo (G)}$ będzie algebrą Liego G . Następnie, zgodnie z właściwością uniwersalną, inkluzja indukuje homomorfizm algebry: ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ hookrightarrow \ operatorname {Dist} (G)}$

{\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}}) \ do \ nazwa operatora {Odległość} (G).}

Gdy pole podstawowe k ma charakterystyczne zero, ten homomorfizm jest izomorfizmem.

Przykłady

Grupa dodatków

Niech ${\ Displaystyle G = \ mathbb {G} _ {a}}$ będzie grupą addytywną; tj. G ( R ) = R dla dowolnej k -algebry R . Jako odmiana G jest linią afiniczną; tj. pierścień współrzędnych to k [ t ] i I ⁿ
₀ = ( t ⁿ ).

Grupa multiplikatywna

Niech ${\ Displaystyle G = \ mathbb {G} _ {m}}$ będzie grupą multiplikatywną; tj. G ( R ) = R ^* dla dowolnej k -algebry R . Pierścień współrzędnych G to k [ t , t ⁻¹ ] (ponieważ G to tak naprawdę GL ₁ ( k ).)

Korespondencja

Dla dowolnych zamkniętych podgrup H , ' K od G , jeśli k jest doskonałe i H jest nieredukowalne, to

{\ Displaystyle H \ podzbiór K \ Strzałka w prawo \ nazwa operatora {Odległość} (H) \ podzbiór \ nazwa operatora {Odległość} (K).}

Jeśli V jest modułem G (to jest reprezentacją G ), to dopuszcza naturalną strukturę modułu Dist ( G ), co z kolei daje strukturę modułu ponad ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .
Każde działanie G na afinicznej rozmaitości algebraicznej X indukuje reprezentację G na pierścieniu współrzędnych k [ G ]. W szczególności działanie koniugacyjne G indukuje działanie G na k [ G ]. Można pokazać, I
ⁿ₁ jest stabilne pod G , a zatem G działa na ( k [ G ]/ I
ⁿ₁ ) ^* i skąd na jego związek Odległość ( G ). Wynikowe działanie nazywa się działaniem sprzężonym G .

Przypadek skończonych grup algebraicznych

Niech G będzie grupą algebraiczną, która jest „skończona” jako schemat grupowy ; na przykład dowolną skończoną grupę można postrzegać jako skończoną grupę algebraiczną. Istnieje równoważność kategorii między kategorią skończonych grup algebraicznych a kategorią skończenie wymiarowych algebr koprzemiennych Hopfa, daną przez odwzorowanie G na k [ G ] ^* , liczbę podwójną pierścienia współrzędnych G . Zauważ, że Dist( G ) jest podalgebrą (Hopf) k [ G ] ^* .

Związek z korespondencją grupy Liego – algebry Liego

Notatki

Jantzen, Jens Carsten (1987). Reprezentacje grup algebraicznych . Matematyka czysta i stosowana . Tom. 131. Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-380245-3 .
Milne, iAG: Grupy algebraiczne: Wprowadzenie do teorii schematów grup algebraicznych na polach
Claudio Procesi , Grupy kłamstw: podejście poprzez niezmienniki i reprezentacje , Springer, Universitext 2006
Mukai, S. (2002). Wprowadzenie do niezmienników i modułów . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Tom. 81. ISBN 978-0-521-80906-1 .
Springer, Tonny A. (1998), Liniowe grupy algebraiczne , Progress in Mathematics, tom. 9 (wyd. 2), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7 , MR 1642713

Dalsza lektura

Liniowe grupy algebraiczne i ich algebry Liego autorstwa Daniela Millera, jesień 2014