Automorfizm algebry Liego

W algebrze abstrakcyjnej automorfizm \ algebry Liego jest izomorfizmem od siebie do siebie, to znaczy mapą liniową zachowującą kłamstwo $displaystyle {\ mathfrak {g}$ $}$ nawias. Zbiór automorfizmów $\$ oznaczony $Displaystyle {\ tekst {Aut}} ({\ mathfrak {g}})} sol {\ mathfrak {g$ $} \ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ } } ) .

Automorfizmy wewnętrzne i zewnętrzne

Podgrupa ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} ({\ mathfrak {g}})}$ wygenerowana przy użyciu akcji sprzężonej mi $)}, x \ in {\ mathfrak {g}}}$ $\ Displaystyle e ^ {\ operatorname { ad} ($ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ nazywa się wewnętrzną grupą automorfizmów sol . Grupa jest oznaczona ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} ^ {0} ({\ mathfrak {g}})}$ . Tworzą one normalną podgrupę w grupie automorfizmów, a iloraz ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} ({\ mathfrak {g}}) / \ operatorname {Aut} ^ { 0}({\mathfrak {g}})}$ jest znana jako zewnętrzna grupa automorfizmu .

Automorfizmy diagramów

Wiadomo, że zewnętrzna grupa automorfizmów dla prostej algebry Liego $jest$ z grupą automorfizmów diagramów dla odpowiedniego diagramu Dynkina w klasyfikacji algebr Liego. Jedynymi algebrami z nietrywialną zewnętrzną grupą automorfizmu są zatem ${\ Displaystyle A_ {n} (n \ geq 2), D_ {n}}$ i mi ${\ displaystyle E_ {$ .

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$	Zewnętrzna grupa automorfizmów
${\ Displaystyle A_ {n}, n \ geq 2}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$
${\ Displaystyle D_ {n}, n \ neq 4}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$
${\ Displaystyle D_ {4}}$	${\ displaystyle S_ {3}}$
${\ Displaystyle E_ {6}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Istnieją sposoby na konkretną realizację tych automorfizmów w macierzowych reprezentacjach tych grup. ZA ${\ Displaystyle A_ {n} = {\ mathfrak {sl}} (n + 1, \ mathbb {C})}$ można zrealizować jako ujemną transpozycję . Dla ${\ Displaystyle D_ {n} = {\ mathfrak {tak}} (2n)}$ automorfizm uzyskuje się przez sprzężenie przez macierz ortogonalną w ${\ Displaystyle O (2n)}$ z wyznacznikiem -1.

pochodne

Wyprowadzenie na algebrze Liego jest mapą liniową

{\ Displaystyle \ delta: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}}

spełniając regułę Leibniza

{\ Displaystyle \ delta [X, Y] = [\ delta X, Y] + [X, \ delta Y].}

Zbiór wyprowadzeń na algebrze Lie

sol

oznaczony

{\ Displaystyle \ operatorname {der} ({\ mathfrak {g}})}

jest podalgebrą . sol {\ Displaystyle {\

{der} ({\ mathfrak {g}}) <\ nazwa operatora {Koniec} ({\mathfrak {g}})}

{g}}}

, czyli Koniec . Dziedziczą strukturę algebry Liego ze struktury algebry Liego na algebrze endomorfizmu, a zamknięcie nawiasu wynika z reguły Leibniza.

Ze względu na tożsamość Jacobiego można wykazać, że obraz ${\ Displaystyle \ operatorname {reklama}: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow \ operatorname {Koniec} ( {\ mathfrak {g}}}}$ sprzężonej reprezentacji leży w ${\ Displaystyle \ operatorname {der} ({\ mathfrak {g}})}$ .

Poprzez zgodność grupy Liego z algebrą Liego , grupa Liego automorfizmów ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} ({\ mathfrak {g}})}$ odpowiada algebrze Liego wyprowadzeń ${ \ displaystyle \ operatorname {der} ({\ mathfrak {g}})}$ .

Dla $.$ wszystkie wyprowadzenia są wewnętrzne

Przykłady

Dla każdego w grupie kłamstwa niech $displaystyle \ operatorname {reklama} _ {g}}$ ${$ $\$ oznacza różnicę w tożsamości koniugacji przez $}$ ${\ displaystyle$ . Wtedy $)$ jest automorfizmem ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {Kłamstwo} ($ G } działanie przez ${\ displaystyle g}$ .

Twierdzenia

Twierdzenie Borela-Morozowa stwierdza, że każdą rozwiązywalną podalgebrę złożonej półprostej algebry Liego $mathfrak$ odwzorować na podalgebrę podalgebry Cartana ${h}}}$ sol ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ przez wewnętrzny automorfizm ${\ mathfrak {g}}}$ . W szczególności mówi, że ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alfa > 0} {\ mathfrak {g}} _ {\ alfa } =: {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {g}} ^ {+}}$ gdzie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ alfa}}$ to spacje korzeni, to maksymalna rozwiązywalna podalgebra (to znaczy podalgebra Borela ).

E. Cartan, Le principe de dualité et la théorie des groupes simples et semi-simples. Byk. Sc. matematyka. 49, 1925, s. 361–374.
Humphreys, James (1972). Wprowadzenie do algebr Liego i teorii reprezentacji . Skoczek. ISBN 0387900535 .
Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Complex Semisimple Lie Algebras ], przekład Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4 .