Rotacja Wignera

Nie mylić z precesją Thomasa .

Eugeniusz Wigner (1902–1995)

W fizyce teoretycznej złożenie dwóch niewspółliniowych wzmocnień Lorentza skutkuje transformacją Lorentza, która nie jest czystym wzmocnieniem, ale jest złożeniem wzmocnienia i obrotu. Ta rotacja nazywana jest rotacją Thomasa , rotacją Thomasa – Wignera lub rotacją Wignera . Rotacja została odkryta i udowodniona przez Ludwika Silbersteina w jego książce „Względność” z 1914 r., Ponownie odkryta przez Llewellyna Thomasa w 1926 r. i wznowiony przez Wignera w 1939 r. Wigner uznał Silbersteina. Jeśli sekwencja niewspółliniowych wzmocnień przywraca obiektowi jego prędkość początkową, to sekwencja obrotów Wignera może się połączyć, tworząc obrót netto zwany precesją Thomasa .

Nadal toczą się dyskusje na temat prawidłowej postaci równań dla rotacji Thomasa w różnych układach odniesienia, a wyniki są sprzeczne. Goldstein :

Rotacja przestrzenna wynikająca z kolejnego zastosowania dwóch niewspółliniowych transformacji Lorentza została uznana za równie paradoksalną, jak częściej omawiane pozorne naruszenie zdrowego rozsądku, takie jak paradoks bliźniąt .

Zasada wzajemności prędkości Einsteina (EPVR) brzmi

Postulujemy, że zależność między współrzędnymi obu układów jest liniowa. Wtedy transformacja odwrotna jest również liniowa i całkowity brak preferencji jednego lub drugiego systemu wymaga, aby transformacja była identyczna z pierwotną, z wyjątkiem zmiany v na −v

Przy mniej starannej interpretacji, w niektórych modelach wydaje się, że EPVR jest naruszany. Nie ma oczywiście żadnego prawdziwego paradoksu.

Niech będzie to prędkość u , z jaką porusza się laboratoryjny układ odniesienia względem obiektu o nazwie A i niech będzie to v prędkość, z jaką porusza się inny obiekt o nazwie B, mierzony od laboratoryjnego układu odniesienia. Jeśli u i v nie są wyrównane, względne prędkości tych dwóch ciał nie będą przeciwne, to znaczy ${\ textstyle \ mathbf {v} _ {AB} \ neq - \ mathbf {v} _ {BA}},$ ponieważ istnieje rotacja między nimi

Prędkość, którą A zmierzy na B, będzie równa:

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {AB} = {\ Frac {1} {1 + {\ Frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}}} \ left[\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u}}}{1+\gamma _{\mathbf {u}}} }\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} \right], }$

Współczynnik Lorentza dla prędkości, które albo A widzi na B, albo B widzi na A:

${\ Displaystyle \ gamma = \ gamma _ {\ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v}} = \gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u}}=\gamma _{\mathbf {u}}\gamma _{\mathbf {v}}\left(1+{\frac {\mathbf { u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,,}$

Kąt obrotu można obliczyć na dwa sposoby:

${\ Displaystyle \ cos \ epsilon = {\ Frac {(1 +\gamma +\gamma _{\mathbf {u}}+\gamma _{\mathbf {v}})^{2}}{(1+\gamma)(1+\gamma _{\mathbf {u} })(1+\gamma _{\mathbf {v}})}}-1~,}$

Lub:

${\ Displaystyle \ cos \ epsilon = - {\ Frac {(\ mathbf {v} _ {AB} \ cdot \ mathbf {v} _{BA})}{(v_{AB}^{2})}}}$

A oś obrotu to:

${\ Displaystyle \ mathbf {e} = - {\ Frac {\ mathbf {u} \ razy \ mathbf {v}}} {| \ mathbf {u} \ razy \ mathbf {v} |}} ~.}$

Układ ramek i prędkości względne między nimi

Skład prędkości i obrót Thomasa w płaszczyźnie xy, prędkości u i v oddzielone kątem θ . Po lewej: mierzone w Σ′ , orientacje Σ i Σ′′ wydają się równoległe do Σ′ . Środek: W układzie Σ Σ′′ jest obracany o kąt ε wokół osi równoległej do u × v , a następnie porusza się z prędkością w _d względem Σ . Po prawej: W układzie Σ′′ Σ porusza się z prędkością − w _d względem Σ′′ , a następnie porusza się z _{prędkością} wd względem Σ .

Skład prędkości i obrót Thomasa w płaszczyźnie xy, prędkości − u i − v oddzielone kątem θ . Po lewej: mierzone w Σ′ , orientacje Σ i Σ′′ wydają się równoległe do Σ′ . Środek: W układzie Σ′′ Σ jest obracany o kąt ε wokół osi równoległej do −( u × v ) , a następnie porusza się z prędkością − w _i względem Σ′′ . Po prawej: W układzie Σ Σ′′ porusza się z prędkością w _i względem Σ , a następnie jest obracany o kąt ε wokół osi równoległej do u × v .

Porównanie składów prędkości w _d i w _i . Zwróć uwagę na te same wielkości, ale różne kierunki.

Dwa ogólne wzmocnienia

Podczas badania rotacji Thomasa na poziomie podstawowym zwykle stosuje się układ z trzema układami współrzędnych Σ, Σ′ Σ′′ . Rama Σ′ ma prędkość u względem klatki Σ , a rama Σ′′ ma prędkość v względem klatki Σ′ .

Osie są z założenia zorientowane w następujący sposób. Patrząc od Σ′ , osie Σ′ i Σ są równoległe (to samo dotyczy pary ramek patrząc od Σ ). Również patrząc od Σ′ , osie przestrzenne Σ′ i Σ′′ są równoległe (i to samo odnosi się do pary klatek patrząc od Σ′′ .) Jest to zastosowanie EVPR: Jeśli u jest prędkością Σ′ względem Σ , to u ′ = − u jest prędkością Σ względem Σ′ . Prędkość 3 -wektor u tworzy te same kąty względem osi współrzędnych zarówno w układzie torowanym, jak i niegruntowanym. Nie oznacza to migawki wykonanej w żadnej z dwóch ramek połączonego systemu w dowolnym momencie, co powinno jasno wynikać z poniższego szczegółowego opisu.

Jest to możliwe, ponieważ wzmocnienie w, powiedzmy, dodatnim kierunku z , zachowuje ortogonalność osi współrzędnych. Ogólne wzmocnienie B ( w ) można wyrazić jako L = R ⁻¹ ( e _z , w ) B _z ( w ) R ( e _z , w ) , gdzie R ( e _z , w ) jest obrotem prowadzącym oś z w kierunku w , a B _z jest wzmocnieniem w nowym kierunku z . Każdy obrót zachowuje właściwość, że osie współrzędnych przestrzennych są ortogonalne. Wzmocnienie rozciągnie (pośrednią) oś z o współczynnik γ , pozostawiając pośrednią oś x i oś y na miejscu. Fakt, że osie współrzędnych nie są równoległe w tej konstrukcji po dwóch kolejne niewspółliniowe wzmocnienia jest precyzyjnym wyrazem zjawiska rotacji Thomasa.

Prędkość Σ′′ widziana w Σ jest oznaczona w _d = u ⊕ v , gdzie ⊕ odnosi się do relatywistycznego dodawania prędkości (a nie zwykłego dodawania wektorów ), określonego przez

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} = {\ Frac {1} {1 + {\ Frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} }}\left[\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u}}}{1+\gamma _{\mathbf {u } }}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} \ Prawidłowy],}$

 

 

 

 

()

I

${\ Displaystyle \ gamma _ {\ mathbf {u}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {1- {\ Frac {| \ mathbf {u} | ^ {2}} {c ^ {2 }}}}}}}$

jest współczynnikiem Lorentza prędkości u (pionowe kreski | u | wskazują wielkość wektora ). Prędkość u można sobie wyobrazić jako prędkość układu Σ′ względem układu Σ , a v jest prędkością obiektu, na przykład cząstki lub innego układu Σ′′ względem układu Σ′ . W obecnym kontekście wszystkie prędkości najlepiej traktować jako prędkości względne ramek, chyba że określono inaczej. Wynik w = u ⊕ v jest zatem prędkością względną układu Σ′′ względem układu Σ .

Chociaż dodawanie prędkości jest nieliniowe , nieasocjacyjne i nieprzemienne , wynik operacji poprawnie daje prędkość o wartości mniejszej niż c . Gdyby zastosować zwykłe dodawanie wektorów, można by uzyskać prędkość o wartości większej niż c . Współczynnik Lorentza γ obu prędkości złożonych jest równy,

${\ Displaystyle \ gamma = \ gamma _ {\ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v}} = \gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u}}=\gamma _{\mathbf {u}}\gamma _{\mathbf {v}}\left(1+{\frac {\mathbf { u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,,}$

a normy są równe przy wymianie wektorów prędkości

${\ Displaystyle |\ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} |=|\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} |= {\ Frac {c} {\ gamma}}} {\ sqrt {\ gamma ^{2}-1}}\,.}$

Ponieważ dwie możliwe prędkości złożone mają taką samą wielkość, ale różne kierunki, jedna musi być obróconą kopią drugiej. Więcej szczegółów i inne właściwości, które nie mają tu bezpośredniego znaczenia, można znaleźć w głównym artykule.

Odwrócona konfiguracja

Rozważmy konfigurację odwróconą, mianowicie układ Σ porusza się z prędkością − u względem układu Σ′ , a układ Σ′ z kolei porusza się z prędkością − v względem układu Σ′′ . Krótko mówiąc, u → − u i v → − v przez EPVR. Wtedy prędkość Σ względem Σ′′ wynosi (− v ) ⊕ (− u ) ≡ − v ⊕ u . Z EPVR ponownie, prędkość Σ′′ względem Σ wynosi wtedy w _i = v ⊕ u .

Można znaleźć w _d ≠ w _ja . Chociaż są one równe pod względem wielkości, istnieje między nimi kąt. Dla pojedynczego wzmocnienia między dwoma układami inercjalnymi istnieje tylko jedna jednoznaczna prędkość względna (lub jej ujemna). W przypadku dwóch wzmocnień osobliwy wynik dwóch nierównoważnych prędkości względnych zamiast jednej wydaje się zaprzeczać symetrii ruchu względnego między dowolnymi dwoma klatkami. Jaka jest poprawna prędkość Σ′′ względem Σ ? Ponieważ ta nierówność może być nieco nieoczekiwana i potencjalnie łamać EPVR, to pytanie jest uzasadnione.

Formułowanie w kategoriach przekształceń Lorentza

Klatka Σ′′ jest wzmacniana z prędkością v względem innej klatki Σ′, która jest wzmacniana z prędkością u względem innej klatki Σ.

Klatka Σ jest wzmacniana z prędkością − u względem innej klatki Σ′, która jest wzmacniana z prędkością − v względem innej klatki Σ′′ .

Oryginalna konfiguracja z wymienionymi prędkościami u i v .

Odwrotność wymienionej konfiguracji.

Dwa doładowania równają się doładowaniu i rotacji

Odpowiedź na to pytanie leży w rotacji Thomasa i należy zachować ostrożność przy określaniu, który układ współrzędnych jest zaangażowany w każdy krok. Patrząc od punktu Σ , osie współrzędnych Σ i Σ′′ nie są równoległe. Chociaż może to być trudne do wyobrażenia, ponieważ obie pary (Σ, Σ′) i (Σ′, Σ′′) mają równoległe osie współrzędnych, łatwo jest to wyjaśnić matematycznie.

Dodawanie prędkości nie zapewnia pełnego opisu relacji między klatkami. Należy sformułować pełny opis w postaci przekształceń Lorentza odpowiadających prędkościom. Wzmocnienie Lorentza przy dowolnej prędkości v (wartość mniejsza niż c ) jest podane symbolicznie przez

${\ Displaystyle X '= B (\ mathbf {v}) X}$

gdzie współrzędne i macierz transformacji są zwięźle wyrażone w postaci macierzy blokowej

${\ Displaystyle X' = {\ rozpocząć {bmatrix} ct' \\\ mathbf {r} '\ koniec {bmatrix}} \ quad B (\ mathbf {v}) = {\ rozpocząć {bmatrix} \ gamma _ {\ mathbf {v}}&- {\dfrac {\gamma _{\mathbf {v}}}{c}}\mathbf {v} ^{\mathrm {T}}\\-{\dfrac {\gamma _{ \mathbf {v}}}{c}}\mathbf {v} &\mathbf {I} +{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v}}^{2}}{\gamma _{\mathbf { v} }+1}}{\dfrac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T}}}{c^{2}}}\\\end{bmatrix}}\quad X={\begin{bmatrix }ct\\\mathbf {r} \end{bmacierz}}}$

a z kolei r , r ′, v są wektorami kolumnowymi ( transpozycja macierzy tych wektorów to wektory rzędowe), a γ _v jest współczynnikiem Lorentza prędkości v . Macierz wzmocnienia jest macierzą symetryczną . Transformacja odwrotna jest dana przez

${\ Displaystyle B (\ mathbf {v}) ^ {-1} = B (- \ mathbf {v}) \ quad \ Strzałka w prawo \ quad X = B (- \ mathbf {v}) X'.}$

Jest oczywiste, że każdej dopuszczalnej prędkości v odpowiada czyste przyspieszenie Lorentza,

${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ leftrightarrow B (\ mathbf {v}).}$

Dodanie prędkości u ⊕ v odpowiada złożeniu wzmocnień B ( v ) B ( u ) w tej kolejności. B B ( u ) działa najpierw na X , potem . ( v ) działa na B ( u ) X Zauważ, że kolejne operatory działają po lewej stronie w dowolnym składzie operatorów, więc B ( v ) B ( u ) należy interpretować jako przyspieszenie z prędkościami u wtedy v , a nie v wtedy u . Wykonywanie przekształceń Lorentza przez mnożenie macierzy bloków,

${\ Displaystyle X'' = B (\ mathbf {v}) X '\, \ quad X' = B (\mathbf {u} )X\quad \Strzałka w prawo \quad X''=\Lambda X}$

złożona macierz transformacji to

${\ Displaystyle \ Lambda = B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) = {\ rozpocząć {bmatrix} \ gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}}$

a z kolei

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ gamma & = \ gamma _ {\ mathbf {v}} \ gamma _ {\ mathbf {u}} \ lewo (1 + {\ Frac {\ mathbf {v} ^ {\ mathrm {T} }\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {a} &={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {u} \oplus \ mathbf {v} \,,\quad \mathbf {b} ={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \\\mathbf {M} &=\gamma _ {\mathbf {u}}\gamma _{\mathbf {v}}}{\frac {\mathbf {vu} ^{\mathrm {T}}}{c^{2}}}+\left(\mathbf { ja} +{\frac {\gamma _{\mathbf {v}}^{2}}{\gamma _{\mathbf {v}}+1}}{\frac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)\left(\mathbf {I} +{\frac {\gamma _{\mathbf {u}}^{2}}{\gamma _{\ mathbf {u} }+1}}{\frac {\mathbf {uu} ^{\mathrm {T}}}{c^{2}}}\right)\end{wyrównane}}}$

Tutaj γ jest złożonym czynnikiem Lorentza, a aib są wektorami kolumnowymi 3 × 1 proporcjonalnymi do złożonych prędkości. Macierz M 3×3 okaże się mieć znaczenie geometryczne.

Odwrotne transformacje są

${\ Displaystyle X = B (- \ mathbf {u}) X '\ , \ quad X '=B(-\mathbf {v} )X''\quad \Strzałka w prawo \quad X=\Lambda ^{-1}X''}$

a kompozycja sprowadza się do zaprzeczenia i zamiany prędkości,

${\ Displaystyle \ Lambda ^ {- 1} = B (- \ mathbf {u}) B (- \ mathbf {v } )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix }}}$

Jeśli prędkości względne są wymieniane, patrząc na bloki Λ , obserwuje się złożoną transformację jako transpozycję macierzy Λ . To nie to samo, co oryginalna macierz, więc złożona macierz transformacji Lorentza nie jest symetryczna, a zatem nie ma pojedynczego wzmocnienia. To z kolei przekłada się na niekompletność składu prędkości z wyniku dwóch doładowań; symbolicznie,

${\ Displaystyle B (\ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v}) \ neq B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) \,.}$

Aby opis był pełny, konieczne jest wprowadzenie rotacji, przed lub po doładowaniu. Ta rotacja jest rotacją Thomasa . Rotacja jest dana przez

${\ Displaystyle X '= R ({\ boldsymbol {\ teta}}) X}$

gdzie jest macierz rotacji 4×4

${\ Displaystyle R ({\ boldsymbol {\ theta}}) = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 0 \\ 0 & \ mathbf {R} ({\ boldsymbol {\ theta} })\end{bmacierz}}}$

a R jest macierzą rotacji 3×3 . W tym artykule zastosowano reprezentację kąta osi , a θ = θ e jest „wektorem kąta osi”, czyli kątem θ pomnożonym przez wektor jednostkowy e równoległy do ​​osi. Stosowana jest również prawoskrętna konwencja współrzędnych przestrzennych (patrz orientacja (przestrzeń wektorowa) ), dzięki czemu obroty są dodatnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara zgodnie z regułą prawej dłoni i ujemne w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Z tymi konwencjami; macierz obrotu obraca dowolny wektor 3d wokół osi e o kąt θ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ( aktywna transformacja ), co ma równoważny efekt obracania układu współrzędnych zgodnie z ruchem wskazówek zegara wokół tej samej osi o ten sam kąt (transformacja pasywna).

Macierz obrotu jest macierzą ortogonalną , jej transpozycja jest równa jej odwrotności, a zanegowanie kąta lub osi w macierzy obrotu odpowiada obrotowi w przeciwnym kierunku, więc odwrotną transformację można łatwo uzyskać przez

${\ Displaystyle R ({\ boldsymbol {\ theta}}) ^ {-1} = R ({\ boldsymbol {\ theta}}) ^ {\ operatorname {T}} = R (- {\ boldsymbol {\ theta} })\quad \strzałka w prawo \quad X=R(-{\boldsymbol {\theta}})X'\,.}$

Wzmocnienie, po którym następuje lub poprzedzone obrotem, jest również transformacją Lorentza, ponieważ te operacje pozostawiają niezmienny przedział czasoprzestrzenny. Ta sama transformacja Lorentza ma dwie dekompozycje dla odpowiednio dobranych wektorów prędkości i kąta osi;

${\ Displaystyle \ Lambda ({\ boldsymbol {\ theta}} \ mathbf {u}) = R ({\ boldsymbol {\ teta}}) B ( \ mathbf {u} )}$

${\ Displaystyle \ Lambda (\ mathbf {v}, {\ boldsymbol {\ theta}}) = B (\ mathbf {v} } )R({\boldsymbol {\theta}})}$

a jeśli są to dwa rozkłady są równe, dwa wzmocnienia są powiązane przez

${\ Displaystyle B (\ mathbf {u}) = R (- {\ pogrubiony symbol {\ teta}}) B (\ mathbf {v}) R ({\boldsymbol {\theta}})}$

więc wzmocnienia są powiązane przez macierzową transformację podobieństwa .

Okazuje się, że równość między dwoma przyspieszeniami i obrotem, po którym lub poprzedza je jedno przyspieszenie, jest poprawna: obrót klatek odpowiada odległości kątowej prędkości złożonych i wyjaśnia, w jaki sposób jedna prędkość złożona odnosi się do jednej klatki, a druga do obrócona rama. Obrót łamie również symetrię w całej transformacji Lorentza, czyniąc ją niesymetryczną. Dla tego określonego obrotu niech kąt będzie równy ε , a oś będzie zdefiniowana przez wektor jednostkowy e , więc wektor kąta osi to ε = ε e .

W sumie dwie różne kolejności dwóch wzmocnień oznaczają, że istnieją dwie nierównoważne transformacje. Każdy z nich można podzielić na wzmocnienie, a następnie obrót lub obrót, a następnie wzmocnienie, podwajając liczbę równoważnych transformacji do czterech. Równie ważne są przekształcenia odwrotne; dostarczają informacji o tym, co postrzega drugi obserwator. W sumie należy rozważyć osiem przekształceń, tylko dla problemu dwóch wzmocnień Lorentza. Podsumowując, z kolejnymi operacjami działającymi po lewej stronie, są

Dwa wzmocnienia...	...podział na wzmocnienie, a następnie obrót...	... lub podziel na rotację, a następnie wzmocnij.
${\ Displaystyle \ Lambda = B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) = {\ rozpocząć {bmatrix} \ gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}}$	${\ Displaystyle \ Lambda = R ({\ boldsymbol {\ epsilon}}) B (c \ mathbf {a} / \ gamma)}$	${\ Displaystyle \ Lambda = B (c \ mathbf {b} / \ gamma) R ({\ boldsymbol {\ epsilon}})}$
${\ Displaystyle \ Lambda ^ {- 1} = B (- \ mathbf {u}) B (- \ mathbf {v } )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix }}}$	${\ Displaystyle \ Lambda ^ {-1} = B (-c \ mathbf {a} / \ gamma) R (- {\ boldsymbol {\ epsilon }})}$	${\ Displaystyle \ Lambda ^ {-1} = R (- {\ boldsymbol {\ epsilon}}) B (-c \ mathbf {b} / \gamma )}$
${\ Displaystyle \ Lambda ^ {\ operatorname {T}} = B (\ mathbf {u}) B (\ mathbf {v } )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end {bmacierz}}}$	${\ Displaystyle \ Lambda ^ {\ operatorname {T}} = B (c \ mathbf {a} / \ gamma) R (- {\ boldsymbol {\ epsilon }})}$	${\ Displaystyle \ Lambda ^ {\ operatorname {T}} = R (- {\ boldsymbol {\ epsilon}}) B (c \ mathbf {b} / \gamma )}$
${\ Displaystyle \ lewo (\ Lambda ^ {\ operatorname {T}} \ prawej) ^ {- 1} = B(-\mathbf {v} )B(-\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {a} ^{\mathrm {T}}\\\mathbf {b} &\ mathbf {M} \end{bmacierz}}}$	${\ Displaystyle \ lewo (\ Lambda ^ {\ operatorname {T}} \ prawej) ^ {- 1} = R ({\ pogrubiony symbol { \epsilon }})B(-c\mathbf {a} /\gamma )}$	${\ Displaystyle \ lewo (\ Lambda ^ {\ operatorname {T}} \ prawej) ^ {- 1} = B (-c \ mathbf {b} /\gamma)R({\boldsymbol {\epsilon}})}$

Dopasowując wzmocnienia, po których następują obroty, w pierwotnym układzie obserwator w Σ zauważa, że ​​Σ′′ porusza się z prędkością u ⊕ v , a następnie obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara (pierwszy diagram), a z powodu obrotu obserwator w Σ′′ zauważa, że ​​Σ poruszaj się z prędkością − v ⊕ u, a następnie obracaj w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (drugi diagram). Jeżeli prędkości są zamienione, obserwator w Σ zauważa, że ​​Σ′′ porusza się z prędkością v ⊕ u następnie obróć przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (trzeci diagram), a z powodu obrotu obserwator w Σ′′ zauważa, że ​​Σ porusza się z prędkością − u ⊕ v , a następnie obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara (czwarty diagram).

Przypadki obrotów, a następnie wzmocnień są podobne (nie pokazano żadnych wykresów). Dopasowując obroty, po których następują wzmocnienia, w pierwotnym ustawieniu obserwator w Σ zauważa, że ​​Σ′′ obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a następnie porusza się z prędkością v ⊕ u , a z powodu obrotu obserwator w Σ′′ zauważa, że ​​Σ obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a następnie porusza się z prędkością − u ⊕ v . Jeśli prędkości są zamienione, obserwator w Σ zauważa Σ′′ aby obrócić się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, wówczas poruszaj się z prędkością u ⊕ v , a ze względu na obrót obserwator w Σ′′ zauważa, że ​​Σ obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a następnie porusza się z prędkością − u ⊕ v .

Znalezienie osi i kąta obrotu Thomasa

Powyższe wzory stanowią relatywistyczne dodawanie prędkości i rotację Thomasa wprost w ogólnych przekształceniach Lorentza. Przez cały czas, w każdej kompozycji podbić i dekompozycji na podbicie i rotację, ważna formuła

${\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {R} + {\ Frac {1} {\ gamma + 1}} \ mathbf {ba} ^ {\ operatorname {T } }}$

utrzymuje się, umożliwiając całkowite zdefiniowanie macierzy rotacji w kategoriach prędkości względnych u i v . Kąt macierzy obrotu w reprezentacji oś-kąt można znaleźć ze śladu macierzy obrotu , ogólny wynik dla dowolnej osi to tr( R ) = 1 + 2 cos ε . Biorąc ślad równania daje

${\ Displaystyle \ sałata \ epsilon = {\ Frac {(1+ \gamma +\gamma _{\mathbf {u}}+\gamma _{\mathbf {v}})^{2}}{(1+\gamma)(1+\gamma _{\mathbf {u}} )(1+\gamma _{\mathbf {v}})}}-1}$

Kąt ε między a i b nie jest taki sam jak kąt α między u i v .

W obu układach Σ i Σ′′ dla każdego złożenia i rozkładu inny ważny wzór

${\ Displaystyle \ mathbf {b} = \ mathbf {Ra}}$

posiada. Wektory aib są rzeczywiście powiązane przez obrót, w rzeczywistości przez tę samą macierz obrotu R , która obraca układy współrzędnych . Zaczynając od a , macierz R obraca to do b przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, podąża za ich iloczynem krzyżowym (w konwencji prawej ręki)

${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ razy \ mathbf {b} = {\ Frac {\ gamma _ {\ mathbf {u}} \ gamma _ {\ mathbf {v}} \ lewo (\ gamma ^ {2} - 1\right)(\gamma +\gamma _{\mathbf {v}}+\gamma _{\mathbf {u}}+1)}{c^{2}(\gamma _{\mathbf {v}} +1)(\gamma _{\mathbf {u}}+1)(\gamma +1)}}\mathbf {u} \times \mathbf {v}}$

poprawnie definiuje oś, więc oś jest również równoległa do u × v . Wielkość tego pseudowektora nie jest ani interesująca, ani ważna, liczy się tylko kierunek, więc można go znormalizować do wektora jednostkowego

${\ Displaystyle \ mathbf {e} = {\ Frac {\ mathbf {u} \ razy \ mathbf {v}}} {|\ mathbf {u} \ razy \ mathbf {v} |}}}$

który nadal całkowicie określa kierunek osi bez utraty informacji.

Obrót jest po prostu obrotem „statycznym” i nie ma względnego ruchu obrotowego między klatkami, występuje względny ruch translacyjny we wzmocnieniu. Jeśli jednak klatki przyspieszają, to obrócona rama obraca się z prędkością kątową. Efekt ten jest znany jako precesja Thomasa i wynika wyłącznie z kinematyki kolejnych wzmocnień Lorentza.

Znalezienie rotacji Thomasa

Opisany (poniżej) proces dekompozycji można przeprowadzić na iloczynie dwóch czystych transformacji Lorentza, aby uzyskać jawny obrót osi współrzędnych wynikający z dwóch kolejnych „wzmocnień”. Ogólnie rzecz biorąc, zastosowana algebra jest dość zniechęcająca, zwykle więcej niż wystarczająca, aby zniechęcić do jakiejkolwiek rzeczywistej demonstracji macierzy rotacji

— Goldstein (1980 , s. 286)

Zasadniczo jest to dość łatwe. Ponieważ każda transformacja Lorentza jest iloczynem wzmocnienia i rotacji, kolejne zastosowanie dwóch czystych wzmocnień jest czystym wzmocnieniem, po którym następuje lub poprzedza czysty obrót. Przypuśćmy więc

${\ Displaystyle \ Lambda = B (\ mathbf {w}) R.}$

Zadanie polega na zebraniu z tego równania prędkości doładowania w i obrotu R z wpisów macierzy Λ . Współrzędne wydarzeń są powiązane przez

${\ Displaystyle x' ^ {\ mu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} x ^ {\ nu}.}$

Odwrócenie tej relacji daje wyniki

${\ Displaystyle {\ lewo (\ Lambda ^ {- 1} \ prawej) ^ {\ nu}} _ {\ mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\rho}x^{\rho }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x' ^{\mu},}$

Lub

${\ Displaystyle x ^ {\ nu} = {\ Lambda _ {\ mu}} ^ {\ nu} x' ^ {\ mu}.}$

Zestaw x ′ = ( ct ′, 0, 0, 0). Wtedy x ^ν zapisze położenie w czasoprzestrzeni początku układu pierwotnego,

${\ Displaystyle x ^ {\ nu} = {\ Lambda _ {0}} ^ {\ nu} x' ^ {0},}$

Lub

${\ Displaystyle x = {\ rozpocząć {pmatrix} ct \\ x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} {\ Lambda _ {0} }^{0}ct'\\{\Lambda_{0}}^{1}ct'\\{\Lambda_{0}}^{2}ct'\\{\Lambda_{0}}^ {3}ct'\end{pmacierz}}..}$

Ale

${\ Displaystyle \ Lambda ^ {-1} = (B (\ mathbf {w}) R) ^ {-1} = R ^ {-1} B (- \ mathbf {w}).}$

Pomnożenie tej macierzy przez czysty obrót nie wpłynie na zerowe kolumny i wiersze oraz

${\ Displaystyle x = {\ rozpocząć {pmatrix} ct \\ x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} \ gamma ct '\\\ gamma \beta _{x}ct'\\\gamma \beta _{y}ct'\\\gamma \beta _{z}ct'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct' \\\gamma w_{x}t'\\\gamma w_{y}t'\\\gamma w_{z}t'\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{pmatrix}ct'\\w_ {x}t'\\w_{y}t'\\w_{z}t'\end{pmatrix}},}$

co można było przewidzieć ze wzoru na proste przyspieszenie w kierunku x oraz ze wzoru na wektor prędkości względnej

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {ct}} \ mathbf {x} = {\ Frac {\ mathbf {w}}} {c}} = {\ boldsymbol {\ beta}} = {\ rozpocząć {pmatrix}} \frac {x_{1}}{ct}}\\{\frac {x_{2}}{ct}}\\{\frac {x_{3}}{ct}}\end{pmatrix}}={ \begin{pmatrix}\beta _{x}\\\beta _{y}\\\beta _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Lambda _{0}}^{ 1}/{\Lambda _{0}}^{0}\\{\Lambda _{0}}^{2}/{\Lambda _{0}}^{0}\\{\Lambda _{0 }}^{3}/{\Lambda_{0}}^{0}\end{pmatrix}}.}$

W ten sposób biorąc pod uwagę Λ , uzyskuje się β i w niewiele więcej niż sprawdzenie Λ ⁻¹ . (Oczywiście, w można również znaleźć używając dodawania prędkości jak powyżej.) Z w skonstruuj B (− w ) . Rozwiązaniem dla R jest wtedy

${\ Displaystyle R = B (- \ mathbf {w}) \ Lambda.}$

Z ansatzem

${\ Displaystyle \ Lambda = RB (\ mathbf {w}),}$

można znaleźć w ten sam sposób

${\ Displaystyle R = \ Lambda B (- \ mathbf {w}).}$

Znalezienie formalnego rozwiązania na podstawie parametrów prędkości u i v obejmuje najpierw formalne pomnożenie B ( v ) B ( u ) , formalne odwrócenie, następnie odczytanie β _w z wyniku, formalne zbudowanie B (− w ) z wyniku i, wreszcie, formalnie mnożąc B (− w ) B ( v ) B ( ty ) . Powinno być jasne, że jest to zniechęcające zadanie i trudno jest zinterpretować/zidentyfikować wynik jako rotację, chociaż z góry wiadomo, że tak jest. To właśnie do tych trudności odnosi się cytat Goldsteina na górze. Problem ten był przez lata dokładnie badany przy założeniach upraszczających.

Teoretyczne pochodzenie grup

Główne artykuły: grupa Lorentza i teoria reprezentacji grupy Lorentza

Innym sposobem wyjaśnienia pochodzenia rotacji jest spojrzenie na generatory grupy Lorentza .

Dopalacze od prędkości

Przejście od prędkości do wzmocnienia uzyskuje się w następujący sposób. Dowolne zwiększenie jest podane przez

${\ Displaystyle e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K}},}$

gdzie ζ jest potrójną liczbą rzeczywistą służącą jako współrzędne w podprzestrzeni wzmocnienia algebry Liego, więc (3, 1) rozpięte przez macierze

${\ Displaystyle (K_ {1}, K_ {2}, K_ {3}) = \ lewo (\ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} 0 i 1 i 0 i 0 \\ 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 0 \ koniec {mała macierz}} \ prawo ],\left[{\begin{małamacierz}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{małamacierz}}\right],\left[{\begin{małamacierz}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0 \end{małamacierz}}\prawo]\prawo).}$

Wektor

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ zeta}} = {\ Frac {\ boldsymbol {\ beta}} {\ beta}} \ tanh ^ {- 1} \ beta}$

nazywa się parametrem doładowania lub wektorem doładowania , podczas gdy jego normą jest szybkość . Tutaj β jest parametrem prędkości , wielkością wektora β = u / c .

Podczas gdy dla ζ mamy 0 ≤ ζ < ∞ , parametr β jest ograniczony do 0 ≤ β < 1 , a zatem 0 ≤ u < c . Zatem

${\ Displaystyle e ^ {- \ tanh ^ {- 1} (\ beta) {\ Frac {\ boldsymbol {\ beta}} {\ beta}} \ cdot \ mathbf {K}} = e ^ {- {\ tanh ^{-1}\beta \over c\beta }\mathbf {u} \cdot \mathbf {K} }\equiv B(\mathbf {u} )~.}$

Zbiór prędkości spełniających 0 ≤ u < c jest kulą otwartą w ℝ ^{3 iw} literaturze nazywany jest przestrzenią prędkości dopuszczalnych . Jest wyposażony w hiperboliczną geometrię opisaną w połączonym artykule.

Komutatory

Generatory wzmocnień, K ₁ , K ₂ , K ₃ , w różnych kierunkach nie dojeżdżają do pracy. Powoduje to, że dwa kolejne wzmocnienia nie są ogólnie czystym wzmocnieniem, ale rotacją poprzedzającą wzmocnienie.

Rozważ serię wzmocnień w kierunku x, a następnie w kierunku y, rozszerzając każde wzmocnienie do pierwszego rzędu

${\ Displaystyle e ^ {\ zeta _ {y} K_ {y}} e ^ {\ zeta _ {x} K_ {x}} = (I- \ zeta _ {y} K_ {y} + \ cdots) (I-\zeta _{x}K_{x}+\cdots )=I-\zeta _{x}K_{x}-\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

Następnie

${\ Displaystyle e ^ {- \ zeta _ {y} K_ { y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}=I+\zeta _{x}K_{x}+\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

a komutator grupowy jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} e ^ {- \ zeta _ {y} K_ {y}} e ^ {- \ zeta _ {x} K_ {x}} e ^ {\ zeta _ {y} K_ { y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=I&+\zeta _{x}\zeta _{y}[K_{y},K_{x}]-(\zeta _{x }K_{x})^{2}-(\zeta _{y}K_{y})^{2}\\&+\zeta _{x}^{2}\zeta _{y}[K_{ x},K_{y}]K_{x}+\zeta _{x}\zeta _{y}^{2}K_{y}[K_{y},K_{x}]\\&+(\ zeta _{x}\zeta _{y})^{2}K_{y}K_{x}K_{y}K_{x}+\cdots \end{wyrównane}}}$

Trzy relacje komutacji generatorów Lorentza to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} [][ J_ {x}, J_ { y}]&=J_{z}\\[][K_{x},K_{y}]&=-J_{z}\\[][J_{x},K_{y}]&=K_{ z}\end{wyrównane}}}$

gdzie nawias [ A , B ] = AB − BA jest operacją binarną znaną jako komutator , a pozostałe relacje można znaleźć, biorąc cykliczne permutacje składowych x, y, z (tj. zamiana x na y, y na z, i od z do x, powtórz).

Wracając do komutatora grupowego, relacje komutacji generatorów podwyższających implikują, że dla wzmocnienia wzdłuż kierunków x, a następnie y nastąpi obrót wokół osi z. Jeśli chodzi o prędkości, kąt obrotu θ jest określony wzorem

${\ Displaystyle \ dębnik {\ Frac {\ teta} {2}} = \ tanh {\ Frac {\ zeta _ {x}} {2}} \tanh {\frac {\zeta _{y}}{2}},}$

równoważnie wyrażalne jako

${\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ Frac {\ sinh {\ zeta _ {x}} ~ \ sinh \ zeta _ {y}} {\ cosh \ zeta _ {x} + \ cosh \ zeta _ {y} }}~.}$

Diagramy czasoprzestrzenne dla wzmocnień niewspółliniowych

Znane pojęcie dodawania wektorów dla prędkości na płaszczyźnie euklidesowej można wykonać w formacji trójkątnej lub ponieważ dodawanie wektorów jest przemienne, wektory w obu rzędach tworzą geometrycznie równoległobok (patrz „ prawo równoległoboku ”). Nie dotyczy to relatywistycznego dodawania prędkości; zamiast tego trójkąt hiperboliczny , którego krawędzie są związane z szybkością przyspieszeń. Zmieniając kolejność prędkości doładowania, nie można stwierdzić, że wypadkowe prędkości doładowania nie pokrywają się.

Zobacz też

• Równanie Bargmanna-Michela-Telegdiego
• Pseudowektor Pauli-Lubański
• Wzór na dodawanie prędkości # Geometria hiperboliczna

przypisy

• Macfarlane, AJ (1962). „O ograniczonej grupie Lorentza i grupach homomorficznie z nią spokrewnionych”. Journal of Mathematical Physics . 3 (6): 1116–1129. Bibcode : 1962JMP.....3.1116M . doi : 10.1063/1.1703854 . hdl : 2027/mdp.39015095220474 .
• Wzmianka o Sexl Urbantke na s. 39 Geometria Łobaczewskiego musi zostać wprowadzona do zwykłych diagramów czasoprzestrzennych Minkowskiego dla prędkości niewspółliniowych.
•     Wigner, EP (1939), „O jednolitych reprezentacjach niejednorodnej grupy Lorentza” , Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307/1968551 , JSTOR 1968551 , MR 1503456 , S2CID 121773411 .
• Ben-Menachem, A. (1985). „Powrót do rotacji Wignera” . Jestem. J. Fiz . 53 (1): 62–66. Bibcode : 1985AmJPh..53...62B . doi : 10.1119/1.13953 .
• Ben-Menachem, S. (1986). „Precesja Thomasa i krzywizna przestrzeni prędkości”. J. Matematyka. fizyka . 27 (5): 1284–1286. Bibcode : 1986JMP....27.1284B . doi : 10.1063/1.527132 .
• Cushinga, JT (1967). „Wektorowe transformacje Lorentza”. Jestem. J. Fiz . 35 (9): 858–862. Bibcode : 1967AmJPh..35..858C . doi : 10.1119/1.1974267 .
• Ferraro, R. i Thibeault, M. (1999). „Ogólny skład wzmocnień: elementarne wyprowadzenie rotacji Wignera”. Europejskie czasopismo fizyki 20 (3):143.
•    Mocanu, CI (1992). „O relatywistycznym paradoksie składu prędkości i rotacji Thomasa”. Znaleziony. fizyka Lett . 5 (5): 443–456. Bibcode : 1992FoPhL...5..443M . doi : 10.1007/BF00690425 . ISSN 0894-9875 . S2CID 122472788 .
• Rebilas, K. (2013). „Komentarz do analizy elementarnej szczególnej relatywistycznej kombinacji prędkości, rotacji Wignera i precesji Thomasa”. Eur. J. Fiz . 34 (3): L55–L61. Bibcode : 2013EJPh...34L..55R . doi : 10.1088/0143-0807/34/3/L55 . (Darmowy dostęp)
•   Rodos, JA; Semon, MD (2005). „Relatywistyczna przestrzeń prędkości, rotacja Wignera i precesja Thomasa”. Jestem. J. Fiz . 72 (7): 943–960. arXiv : gr-qc/0501070v1 . Bibcode : 2005APS..NES..R001S . doi : 10.1119/1.1652040 . S2CID 14764378 .
•   Tomasz, LH (1926). „Ruch wirującego elektronu” . Natura . 117 (2945): 514. Bibcode : 1926Natur.117..514T . doi : 10.1038/117514a0 . S2CID 4084303 .
•    Ungar, AA (1988). „Obrót Thomasa i parametryzacja grupy Lorentza”. Podstawy fizyki Listy . 1 (1): 57–81. Bibcode : 1988FoPhL...1...57U . doi : 10.1007/BF00661317 . ISSN 0894-9875 . S2CID 121240925 .
•   Weinberg, S. (2002), Kwantowa teoria pól , tom. 1, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7
•   Goldstein, H. (1980) [1950]. "Rozdział 7". Mechanika klasyczna (wyd. 2). Czytanie MA: Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-02918-5 .
•   Jackson, JD (1999) [1962]. „Rozdział 11”. Elektrodynamika klasyczna (wyd. 3). John Wiley & Synowie . ISBN 978-0-471-30932-1 .
•   Jackson, JD (1975) [1962]. „Rozdział 11” . Elektrodynamika klasyczna (wyd. 2). John Wiley & Synowie . s. 542–545 . ISBN 978-0-471-43132-9 .
•   Landau, LD ; Lifszyc, EM (2002) [1939]. Klasyczna teoria pól . Kurs Fizyki Teoretycznej. Tom. 2 (wyd. 4). Butterwortha-Heinemanna . P. 38. ISBN 0-7506-2768-9 .
•   Ryder, LH (1996) [1985]. Kwantowa teoria pola (wyd. 2). Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0521478144 .
•   Sard, RD (1970). Mechanika relatywistyczna - szczególna teoria względności i klasyczna dynamika cząstek . Nowy Jork: WA Benjamin. ISBN 978-0805384918 .
•   RU Sexl, HK Urbantke (1992). Teoria Względności, Grupy Cząstek. Szczególna teoria względności i symetria relatywistyczna w fizyce pola i cząstek elementarnych . Skoczek. ISBN 978-3211834435 .
•   Gourgoulhon, Eric (2013). Szczególna teoria względności w ogólnych ramach: od cząstek do astrofizyki . Skoczek. P. 213. ISBN 978-3-642-37276-6 .
• Varićak, Włodzimierz (1912). „Tłumaczenie: O nieeuklidesowej interpretacji teorii względności” . s. 103–127.
• Thomas LH Kinematyka elektronu z osią, Phil. Mag. 7, 1927 http://www.clifford.org/drbill/csueb/4250/topics/thomas_papers/Thomas1927.pdf
• Silberstein L. Teoria względności, MacMillan 1914

Dalsza lektura

• Relatywistyczna przestrzeń prędkości, rotacja Wignera i precesja Thomasa (2004) John A. Rhodes i Mark D. Semon
• Hiperboliczna teoria szczególnej teorii względności (2006) autorstwa JF Barretta