Kula Blocha

W mechanice kwantowej i informatyce sfera Blocha jest geometryczną reprezentacją czystej przestrzeni stanów dwupoziomowego układu mechaniki kwantowej ( kubit ), nazwanego na cześć fizyka Felixa Blocha .

Mechanika kwantowa jest matematycznie formułowana w przestrzeni Hilberta lub rzutowej przestrzeni Hilberta . Czyste stany układu kwantowego odpowiadają jednowymiarowym podprzestrzeniom odpowiedniej przestrzeni Hilberta (i „punktom” rzutowej przestrzeni Hilberta). Dla dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta przestrzeń wszystkich takich stanów jest zespoloną linią rzutową ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}.}$ To jest sfera Blocha, którą można odwzorować na sferę Riemanna .

Sfera Blocha jest jednostką 2-sfery , z antypodalnymi punktami odpowiadającymi parze wzajemnie ortogonalnych wektorów stanu. Północny i południowy biegun sfery Blocha są zwykle wybierane tak, aby odpowiadały standardowym wektorom bazowym ${\ Displaystyle | 0 \ rangle}$ i ${\ Displaystyle | 1 \ rangle}$ , co z kolei może odpowiadać np. Stanom spin -up i spin -down elektronu. Wybór ten jest jednak arbitralny. Punkty na powierzchni kuli odpowiadają stanom czystym układu, natomiast punkty wewnętrzne odpowiadają stanom mieszanym . Sferę Blocha można uogólnić na n -poziomowy system kwantowy, ale wtedy wizualizacja jest mniej użyteczna.

Ze względów historycznych w optyce sfera Blocha jest również znana jako sfera Poincarégo i w szczególności reprezentuje różne rodzaje polaryzacji . Istnieje sześć typowych typów polaryzacji, które są nazywane wektorami Jonesa . Rzeczywiście, Henri Poincaré jako pierwszy zasugerował użycie tego rodzaju reprezentacji geometrycznej pod koniec XIX wieku jako trójwymiarowej reprezentacji parametrów Stokesa .

Metryką naturalną sfery Blocha jest metryka Fubiniego – Study . Odwzorowanie z jednostki 3-sfery w dwuwymiarowej przestrzeni stanów na sferę Blocha to $jest$ Hopfa , czym każdy promień spinorów odwzorowywany na jeden punkt na Kula Blocha.

Definicja

Biorąc pod uwagę podstawę ortonormalną, każdy czysty stan ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ dwupoziomowego systemu kwantowego można zapisać jako superpozycję wektorów bazowych ${\ Displaystyle | 0 \ rangle}$ i ${\ Displaystyle | 1 \ rangle}$ , gdzie współczynnik (lub udział) każdego z dwóch wektorów bazowych jest liczbą zespoloną . Oznacza to, że stan jest opisany czterema liczbami rzeczywistymi. Jednak tylko względna faza między współczynnikami dwóch wektorów bazowych ma jakiekolwiek znaczenie fizyczne (faza układu kwantowego nie jest bezpośrednio mierzalna ), więc w tym opisie występuje redundancja. Możemy przyjąć współczynnik ${\ Displaystyle | 0 \ rangle}$ być rzeczywiste i nieujemne. Pozwala to na opisanie stanu tylko trzema liczbami rzeczywistymi, co daje początek trzem wymiarom sfery Blocha.

Wiemy również z mechaniki kwantowej, że całkowite prawdopodobieństwo układu musi wynosić jeden:

{\ Displaystyle \ langle \ psi |\ psi \ rangle = 1}

lub równoważnie

{\ Displaystyle {\ duży \|} | \ psi \ rangle {\ duży \|} ^ {2} = 1}

.

Biorąc pod uwagę to ograniczenie, możemy napisać ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ przy użyciu następującej reprezentacji:

{\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ cos \ lewo (\ teta / 2 \ prawo) | 0 \ rangle \, + \, e ^ {i \ phi} \ sin \ lewo (\ teta / 2 \ prawo )|1\rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \left(\theta /2 \ prawej) | 1 \ rangle}

, gdzie

{\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ teta \ równoważnik \ pi}

i

{\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ phi <2 \ pi}

.

Reprezentacja jest zawsze wyjątkowa, ponieważ chociaż wartość $unikalna,$ gdy ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ jest jednym ze stanów (patrz notacja Bra-ket ) ${\ Displaystyle | 0 \ rangle}$ lub ${\ Displaystyle | 1 \ rangle}$ $wyjątkowy$ $punkt$ reprezentowany przez jest .

Parametry i ponownie zinterpretowane we współrzędnych sferycznych jako odpowiednio współrzędne geograficzne w odniesieniu do osi z i długość geograficzna w odniesieniu do osi x , $displaystyle \ theta \$ $\$ , } określ punkt

{\ Displaystyle {\ vec {a}} = (\ sin \ teta \ sałata \ phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)}

na kuli jednostkowej w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ .

W przypadku stanów mieszanych bierze się pod uwagę operator gęstości . Dowolny dwuwymiarowy operator gęstości $ρ$ można rozszerzyć za pomocą tożsamości $I$ i hermitowskich , bezśladowych macierzy Pauliego ${\ Displaystyle {\ vec {\ sigma}}}$ ,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ rho & = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (I + {\ vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{ \frac {a_{x}}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{y}}{2}}{\begin{pmatrix}0&- i\\i&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{z}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\frac { 1}{2}}{\begin{pmatrix}1+a_{z}&a_{x}-ia_{y}\\a_{x}+ia_{y}&1-a_{z}\end{pmatrix}} \end{wyrównane}}}

,

gdzie za ${\ Displaystyle {\ vec {a}} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$ się wektorem Blocha .

To właśnie ten wektor wskazuje punkt w sferze, który odpowiada danemu stanowi mieszanemu. W szczególności, jako podstawowa cecha wektora Pauliego , wartości własne $ρ$ to ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ lewo (1 \ pm | {\ vec { a}}|\prawo)}$ . Operatory gęstości muszą być dodatnio-półskończone, więc wynika z tego, że ${\ Displaystyle \ lewo | {\ vec {a}} \ prawo | \ równoważnik 1}$ .

Dla czystych stanów jeden ma

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {tr} \ lewo (\ rho ^ {2} \ prawej) = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (1+ \ lewo | {\ vec {a}} \ prawo|^{2}\prawo)=1\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\vec {a}}\right|=1~,}

zgodnie z powyższym.

W konsekwencji powierzchnia sfery Blocha reprezentuje wszystkie czyste stany dwuwymiarowego układu kwantowego, podczas gdy wnętrze odpowiada wszystkim stanom mieszanym.

reprezentacja u , v , w

Wektor Blocha $w$ $\rho }$ następujący sposób $\$ :

{\ Displaystyle u = \ rho _ {10} + \ rho _ {01} = 2 \ operatorname {Re} (\ rho _ {01})}

{\ Displaystyle v = ja (\ rho _ {01} - \ rho _ {10}) = 2 \ operatorname {im} (\ rho _ { 10})}

{\ Displaystyle w = \ rho _ {00} - \ rho _ {11}}

Gdzie

{\ Displaystyle \ rho = {\ rozpocząć {pmatrix} \ rho _ {00}& \ rho _ {01} \\\ rho _ {10} & \ rho _ {11} \ koniec {pmatrix}} = {\ frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+w&u-iv\\u+iv&1-w\end{pmatrix}}.}

$podstawa$ jest często używana w teorii laserów , gdzie znana jako inwersja populacji . Na tej podstawie liczby są oczekiwaniami trzech macierzy Pauliego $}$ pozwalającymi zidentyfikować trzy współrzędne $, v,$ z osiami xy i z.

Czyste stany

Rozważ n -poziomowy system mechaniki kwantowej. Układ ten jest opisany n -wymiarową _{przestrzenią} Hilberta Hn . Czysta _przestrzeń stanów jest z definicji zbiorem jednowymiarowych promieni Hn .

Twierdzenie . Niech U( n ) będzie grupą Liego macierzy unitarnych o rozmiarze n . Wtedy czystą przestrzeń stanów Hn można utożsamiać ze zwartą przestrzenią _coset

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {U} (n) / (\ nazwa operatora {U} (n-1) \ razy \ nazwa operatora {U} (1)).}

_, zauważmy, że istnieje naturalne działanie grupowe U( n ) na zbiór stanów Hn . To działanie jest ciągłe i przechodnie w stanach czystych. Dla dowolnego stanu $Displaystyle | \ psi \ rangle}$ ${\ Displaystyle |\ psi \ rangle}$ grupa izotropowa | , (zdefiniowany jako zbiór elementów $)$ ( n takich, że ${\ Displaystyle g | \ psi \ rangle = |\psi \rangle }$ ) jest izomorficzna z grupą produktów

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {U} (n-1) \ razy \ nazwa operatora {U} (1).}

W kategoriach algebry liniowej można to uzasadnić w następujący sposób. Dowolny ${\ displaystyle g}$ z U ( n ), który opuszcza ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ niezmiennik musi mieć ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ jako wektor własny . Ponieważ odpowiednia wartość własna musi być liczbą zespoloną modułu 1, daje to współczynnik U (1) grupy izotropii. Druga część grupy izotropii jest parametryzowana przez macierze unitarne na dopełnieniu ortogonalnym ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ , który jest izomorficzny z U ( n - 1). Z tego twierdzenie twierdzenia wynika z podstawowych faktów dotyczących przechodnich działań grupowych grup zwartych.

Ważnym faktem, na który należy zwrócić uwagę powyżej, jest to, że grupa unitarna działa przechodnio na stany czyste.

Teraz (rzeczywisty) wymiar U( n ) to n ² . Jest to łatwe do zauważenia, ponieważ mapa wykładnicza

{\ Displaystyle A \ mapsto e ^ {iA}}

jest lokalnym homeomorfizmem z przestrzeni samosprzężonych macierzy zespolonych do U( n ). Przestrzeń samosprzężonych macierzy zespolonych ma wymiar rzeczywisty n ² .

Wniosek . Rzeczywisty wymiar czystej przestrzeni stanów H _n wynosi 2 n − 2.

W rzeczywistości,

{\ Displaystyle n ^ {2} - \ lewo ((n-1) ^ {2} + 1 \ prawo) = 2n-2. \quad}

Zastosujmy to do rozważenia rzeczywistego wymiaru rejestru kwantowego m qubit. Odpowiednia przestrzeń Hilberta ma wymiar 2 ^m .

Wniosek . Rzeczywisty wymiar czystej przestrzeni stanów m - kubitowego rejestru kwantowego wynosi 2 ^{m +1} − 2.

Wykreślanie czystych stanów dwuspinorowych za pomocą projekcji stereograficznej

Kula Blocha wyśrodkowana na początku .

{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

. Para punktów na nim,

_

_

{\ displaystyle \ lewo | \ strzałka w dół \ w prawo \ rangle}

zostały wybrane jako podstawa. Matematycznie są one ortogonalne, chociaż graficznie kąt między nimi wynosi π. W

0,0,1

-1). Dowolny spinor

{\ Displaystyle \ lewo | \ nearrow \ prawo \ rangle}

na kuli Blocha można przedstawić jako unikalną liniową kombinację dwóch spinorów bazowych, przy czym współczynniki są parą liczb zespolonych; nazwijmy je α i β . Niech ich stosunek będzie równy liczbie

{\ Displaystyle u = {\ beta \ nad \ alfa}}

, co jest również liczbą zespoloną

{\ displaystyle u_ {x} + iu_ {y}}

. Rozważ płaszczyznę z = 0, płaszczyznę równikową kuli, niejako płaszczyznę zespoloną i że punkt u jest na niej wykreślony jako

{\ Displaystyle (u_ {x}, u_{y},0)}

. Rzutuj punkt u stereograficznie na sferę Blocha z dala od bieguna południowego — niejako — (0,0,−1). Rzut jest na punkt oznaczony na kuli jako

{\ Displaystyle \ lewo | \ w pobliżu \ prawo \ rangle}

.

Biorąc pod uwagę czysty stan

{\ Displaystyle \ alfa \ lewo | \ góra \ prawo \ ranga + \ beta \ lewo | \ strzałka w dół \ prawo \ rangle = \ lewo | \ blisko \ prawo \ ranga}

gdzie i są liczbami zespolonymi, które są znormalizowane tak, że ${\ displaystyle \$ $}$

{\ Displaystyle |\ alfa | ^ {2} + | \ beta | ^ {2} = \ alfa ^ {*} \ alfa + \ beta ^ {*} \ beta = 1}

i takie, że ${\ Displaystyle \ langle \ strzałka w dół |\ górna \ rangle = 0}$ i ${\ Displaystyle \ langle \ strzałka w dół |\ strzałka w dół \ rangle = \ langle \ górna |\ górna \ rangle = 1}$ , tj. takie, że $_$ _ ${\ Displaystyle \ lewo | \ strzałka w dół \ w prawo \ rangle}$ tworzą podstawę i mają diametralnie przeciwne reprezentacje na kuli Blocha, a następnie niech

{\ Displaystyle u = {\ beta \ ponad \ alfa} = {\ alfa ^ {*} \ beta \ ponad \ alfa ^ {*} \ alfa} = {\ alfa ^ {*} \beta \over |\alpha |^{2}}=u_{x}+iu_{y}}

być ich proporcją.

Jeśli uważa się, że kula Blocha jest osadzona w środku ze środkiem na początku i promieniu jeden, to płaszczyzna z = 0 (która przecina kulę Blocha w punkcie ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}}$ koło wielkie, równik kuli) można traktować jako diagram Arganda . Narysuj punkt u na tej płaszczyźnie - tak, aby miał współrzędne $0)}$ ${\$ $Displaystyle (u_ {x}, u_ {y},$ .

Narysuj linię prostą przechodzącą przez u i przez punkt na kuli reprezentujący ${\ Displaystyle \ lewo | \ strzałka w dół \ prawo \ rangle}$ . (Niech (0,0,1) reprezentuje ${\ Displaystyle \ lewo | \ uparrow \ prawo \ rangle}$ i (0,0, -1) reprezentuje ${\ Displaystyle \ lewo | \ strzałka w dół \ prawo \ rangle }$ .) Ta prosta przecina sferę w innym punkcie niż ${\ Displaystyle \ lewo | \ strzałka w dół \ prawo \ rangle}$ . (Jedynym wyjątkiem jest sytuacja, gdy $Displaystyle$ $\ Displaystyle u = \ infty}$ $\ beta \ neq 0}$ tj. Kiedy i .) Nazwij ten punkt P . Punkt u na płaszczyźnie z = 0 jest rzutem stereograficznym punktu P na sferę Blocha. Wektor z ogonem w początku i wierzchołkiem w P to kierunek w przestrzeni 3D odpowiadający spinorowi ${\ Displaystyle \ lewo | \ w pobliżu \ prawo \ rangle}$ . Współrzędne P to

{\ Displaystyle P_ {x} = {2u_ {x} \ ponad 1 + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2}} }

{\ Displaystyle P_ {y} = {2u_ {y} \ ponad 1 + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2} }}

{\ Displaystyle P_ {z} = {1-u_ {x} ^ {2} -u_ {y} ^ {2 } \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}

.

Matematycznie sferę Blocha dla stanu dwóch spinorów można odwzorować na sferę Riemanna lub zespoloną dwuwymiarową rzutową przestrzeń Hilberta , oznaczoną jako ${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ mathbf {H} ^ {2}}$ . Złożona dwuwymiarowa przestrzeń Hilberta $mathbf {H} ^ {2}$ z której projekcją ) ${\ Displaystyle \$ jest przestrzenią reprezentacji SO(3) .

Operatory gęstości

Sformułowania mechaniki kwantowej w kategoriach stanów czystych są odpowiednie dla układów izolowanych; ogólnie systemy mechaniki kwantowej muszą być opisywane za pomocą operatorów gęstości . Sfera Blocha parametryzuje nie tylko stany czyste, ale także stany mieszane dla systemów dwupoziomowych. Operator gęstości opisujący stan mieszany dwupoziomowego układu kwantowego (kubit) odpowiada punktowi wewnątrz sfery Blocha o następujących współrzędnych:

{\ Displaystyle \ lewo (\ suma p_ {i} x_ {i} \ suma p_ {i} y_ {i} \ suma p_{i}z_{i}\right),}

gdzie ${\ displaystyle p_ {i}}$ jest prawdopodobieństwem poszczególnych stanów w zespole i są ${\ displaystyle x_ {i}, y_ {i}, z_ {i}}$ współrzędne poszczególnych stanów (na powierzchni sfery Blocha). Zbiór wszystkich punktów na kuli Blocha i wewnątrz niej jest znany jako kula Blocha.

W przypadku stanów o wyższych wymiarach trudno jest rozszerzyć to na stany mieszane. Opis topologiczny komplikuje fakt, że grupa unitarna nie działa przechodnie na operatory gęstości. Ponadto orbity są niezwykle zróżnicowane, co wynika z następującej obserwacji:

Twierdzenie . Załóżmy, że A jest operatorem gęstości na n- poziomowym systemie mechaniki kwantowej, którego różne wartości własne to μ ₁ , ..., μ _k z krotnościami n ₁ , ..., n _k . Wtedy grupa operatorów unitarnych V taka, że VAV * = A jest izomorficzna (jako grupa Liego) do

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {U} (n_ {1}) \ razy \ cdots \ razy \ nazwa operatora {U} (n_ {k}).}

W szczególności orbita A jest izomorficzna z

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {U} (n) / \ lewo (\ nazwa operatora {U} (n_ {1}) \ razy \ cdots \ razy \ nazwa operatora {U} (n_ {k}) \ po prawej).}

Możliwe jest uogólnienie budowy kuli Blocha do wymiarów większych niż 2, ale geometria takiego „ciała Blocha” jest bardziej skomplikowana niż w przypadku kuli.

Rotacje

Użyteczną zaletą reprezentacji kuli Blocha jest to, że ewolucję stanu kubitu można opisać za pomocą obrotów sfery Blocha. Najbardziej zwięzłym wyjaśnieniem, dlaczego tak jest, jest to, że algebra Liego dla grupy macierzy unitarnych i hermitowskich jest izomorficzna z algebrą Liego grupy trójwymiarowych obrotów $)}$ ${\ Displaystyle SO (3)}$ .

Operatory rotacji o bazie Blocha

Obroty sfery Blocha wokół osi kartezjańskich w bazie Blocha są podane przez

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R_ {x} (\ teta) i = e ^ {(-i \ teta X/2)} = \cos(\theta /2)Ii\sin(\theta /2)X={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-i\sin \theta /2\\-i\sin \theta /2&\ cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )&=e^{(-i\theta Y/2)}=\cos(\theta /2)Ii\sin(\ theta /2)Y={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-\sin \theta /2\\\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{z }(\theta )&=e^{(-i\theta Z/2)}=\cos(\theta /2)Ii\sin(\theta /2)Z={\begin{bmatrix}e^{- i\theta /2}&0\\0&e^{i\theta /2}\end{bmacierz}}\end{wyrównane}}}

Obroty wokół osi ogólnej

Jeśli ${\ Displaystyle {\ kapelusz {n}} = (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z})} jest$ rzeczywistym wektorem jednostkowym w trzech wymiarach , obrót sfery Blocha wokół tej osi jest określony wzorem:

{\ Displaystyle R _ {\ kapelusz {n}} (\ teta) = \ exp \ lewo (-i \ teta {\ kapelusz { n}}\cdot {\frac {1}{2}}{\vec {\sigma}}\right)}

Warto zauważyć, że to wyrażenie jest identyczne po zmianie etykiety z rozszerzonym wzorem Eulera dla kwaternionów .

{\ Displaystyle \ mathbf {q} =e^{{\frac {1}{2}}\theta (u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}=\ sałata {\frac {\theta}}{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k})\sin {\frac { \teta }{2}}}

Wyprowadzenie generatora obrotów Blocha

Ballentine przedstawia intuicyjne wyprowadzenie nieskończenie małej transformacji jednostkowej. Jest to ważne dla zrozumienia, dlaczego obroty sfer Blocha są wykładniczymi kombinacjami liniowymi macierzy Pauliego . Dlatego tutaj podano krótkie omówienie tego zagadnienia. Pełniejszy opis w kontekście mechaniki kwantowej można znaleźć tutaj .

$Rozważmy$ rodzinę operatorów unitarnych obrót wokół pewnej osi. Ponieważ obrót ma jeden stopień swobody, operator działa na polu skalarów w taki sposób, że: ${\ displaystyle S}$