Rzutowa przestrzeń Hilberta

W matematyce $i$ podstawach kwantowej rzutowa przestrzeń $złożonej$ przestrzeni Hilberta zbiorem klas niezerowych $_ displaystyle v}$ w ${\ Displaystyle H}$$Displaystyle \ sim$ relacji podanej przez $}$

${\ Displaystyle w \ sim v}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle v = \ lambda w}$ dla jakiejś niezerowej liczby zespolonej ${\ Displaystyle \ lambda}$ .

Klasy równoważności $również$$rzutowymi$ są nazywane promieniami lub promieniami .

Jest to zwykła konstrukcja projekcji zastosowana do złożonej przestrzeni Hilberta.

Przegląd

Fizyczne znaczenie rzutowej przestrzeni Hilberta polega na tym, że w $\neq 0}$$kwantowej$ funkcje falowe i ten sam stan fizyczny dla każdego $}$$\ Displaystyle \ lambda$ . Tradycyjnie wybiera się $promienia$ tak, aby miał on jednostkową , ${\ Displaystyle \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1}$ , w takim przypadku nazywa się to znormalizowaną funkcją falową . Ograniczenie normy jednostkowej nie określa całkowicie $promienia$ , ponieważ można pomnożyć przez dowolną wartość bezwzględną 1 ( działanie U (1) $lambda$${\ displaystyle \$ ) i zachować jego normalizację. Taki a $e$ jako $}}$$phi$ z fazą globalną .

Promienie różniące się o takie $odpowiadają$ temu samemu stanowi (por. Stan kwantowy (definicja algebraiczna) , biorąc pod uwagę $)$ -algebrę obserwowalnych i reprezentację na . Żaden pomiar nie może odtworzyć fazy promienia; nie da się tego zaobserwować. Mówi się, że $pierwszego$ mierników rodzaju

Jeśli jest $nieredukowalną$ reprezentacją algebry obserwowalnych, to promienie indukują stany czyste Wypukłe liniowe kombinacje promieni w naturalny sposób dają macierz gęstości, która (jeszcze w przypadku reprezentacji nieredukowalnej) odpowiada stanom mieszanym.

Tę samą konstrukcję można zastosować również do rzeczywistych przestrzeni Hilberta.

W przypadku, gdy $;$$wymiarowo$ , to znaczy zbiór promieni rzutowych może być traktowany jak każda jest to $Displaystyle \ operatorname {O} (n)$ przestrzeń dla grupy unitarnej $)$ grupy O , odpowiednio w złożonych i rzeczywistych przypadkach. Pisze się o skończenie wymiarowej złożonej przestrzeni Hilberta

${\ Displaystyle P (H_ {n}) = \ mathbb {C} P ^ {n-1}}$

tak że na przykład rzutowanie dwuwymiarowej zespolonej przestrzeni Hilberta (przestrzeń opisująca jeden ${C} P ^ {1}}$ { \ Displaystyle . Jest to znane jako sfera Blocha . Zobacz fibrację Hopfa , aby poznać szczegóły konstrukcji projekcji w tym przypadku.

Złożonej rzutowej przestrzeni Hilberta można nadać naturalną metrykę, metrykę Fubiniego – Study , wywodzącą się z normy przestrzeni Hilberta.

Produkt

Iloczyn kartezjański rzutowych przestrzeni Hilberta nie jest przestrzenią rzutową. Odwzorowanie Segre to osadzenie iloczynu kartezjańskiego dwóch przestrzeni rzutowych w przestrzeni rzutowej związanej z iloczynem tensorowym dwóch przestrzeni Hilberta, określonym przez ${\ Displaystyle P (H) \ razy P (H ') \ do P (H \ czasami H '), ([x], [y]) \ mapsto [x \ czasami y]}$ . W teorii kwantowej opisuje, jak tworzyć stany układu złożonego ze stanów jego składników. Jest to tylko osadzanie , a nie surjekcja; większość przestrzeni iloczynu tensorowego nie leży w jego zakresie i reprezentuje stany splątane .

Zobacz też

• Przestrzeń rzutowa , ogólnie dla pojęcia
• Złożona przestrzeń rzutowa
• Reprezentacja projekcyjna

Ashtekar, Abhay ; Szyling, Troy A. (1997). „Geometryczne sformułowanie mechaniki kwantowej”. arXiv : gr-qc/9706069 .