Uniwersalna forma kwadratowa

W matematyce uniwersalna forma kwadratowa to forma kwadratowa na pierścieniu , która reprezentuje każdy element pierścienia. Niepojedyncza forma nad polem , które nietrywialnie reprezentuje zero, jest uniwersalna.

Przykłady

• Nad liczbami rzeczywistymi postać x ² w jednej zmiennej nie jest uniwersalna, ponieważ nie może reprezentować liczb ujemnych: postać z dwiema zmiennymi x ² − y ² nad R jest uniwersalna.
• Twierdzenie Lagrange'a o czterech kwadratach mówi, że każda dodatnia liczba całkowita jest sumą czterech kwadratów . Stąd forma x ² + y ² + z ² + t ² − u ² nad Z jest uniwersalna.
• W skończonym polu uniwersalna jest dowolna nieosobliwa postać kwadratowa o wymiarze 2 lub większym.

Formy nad liczbami wymiernymi

Twierdzenie Hassego-Minkowskiego implikuje, że forma jest uniwersalna względem Q wtedy i tylko wtedy, gdy jest uniwersalna względem Q _p dla wszystkich p (gdzie uwzględniamy p = ∞ , pozwalając Q _∞ oznaczać R ). Forma nad R jest uniwersalna wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest określona ; forma nad Q _p jest uniwersalna, jeśli ma wymiar co najmniej 4. Można stwierdzić, że wszystkie nieokreślone formy o wymiarze co najmniej 4 nad Q są uniwersalne.

Zobacz też

• Twierdzenia 15 i 290 dają warunki, aby forma kwadratowa reprezentowała wszystkie dodatnie liczby całkowite.

•     Lam, Tsit-Yuen (2005). Wprowadzenie do form kwadratowych na polach . Studia podyplomowe z matematyki . Tom. 67. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 0-8218-1095-2 . MR 2104929 . Zbl 1068.11023 .
•    Rajwade, AR (1993). Kwadraty . Seria notatek z wykładów London Mathematical Society. Tom. 171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5 . Zbl 0785.11022 .
•    Serre, Jean-Pierre (1973). Kurs z arytmetyki . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 7. Springer-Verlag . ISBN 0-387-90040-3 . Zbl 0256.12001 .